G241. La grille aux 2010 carrés
Je dénombre 2010 carrés à l’intérieur d’une grille quadrillée rectangulaire de dimensions a et b, entiers naturels tels que a > b ≥2. Les nœuds du quadrillage sont confondus avec les points de coordonnées entières. Les bords des carrés reposent sur le quadrillage et peuvent se chevaucher comme le montre à titre d’exemple la grille (10,5) ci-après :
Quelles sont les dimensions de la grille ?
Solution proposée par Paul Voyer :
Une grille a.b contient : ab carrés 1x1
(a-1)(b-1) carrés 2x2 (a-2)(b-2) carrés 3x3 etc…
(a-b+1) carrés bxb.
g(a, b)=g(a-1,b) + b carrés 1x1 + (b-1) carrés 2x2 + (b-2) carrés 3x3 + …
= g(a-1,b)+b(b+1)/2 (somme des b premiers entiers)
= g(b,b)+(a-b)b(b+1)/2 (pour (a-b) colonnes)
g(b,b)=g(b-1,b-1) + (2b-1) carrés 1x1+ (2b-3) carrés 2x2 + (2b-5) carrés 3x3 + …
=g(b-1, b-1)+ b² (somme des b premiers entiers impairs)
=b(b+1)(2b+1)/6 (somme des b premiers carrés) d'où g(a,b) = b(b+1)((a-b)/2+(2b+1)/6)=b(b+1)(3a-b+1)/6
L'équation 6x2010=2².3².5.67 = b(b+1)(3a-b+1) offre seulement 4 possibilités pour b : b=2, alors 3a-2+1=2010, inacceptable car a non entier,
b=4, alors 3a-4+1=603, a=202
b=5, alors 3a-5+1=402, inacceptable car a non entier b=9, alors 3a-9+1=134, inacceptable car a non entier.
La grille a pour dimensions 202x4
Elle comporte 808 carrés 1x1, 603 carrés 2x2, 400 carrés 3x3 et 199 carrés 4x4, soit 2010 carrés.
