Suites et s´eries de fonctions Licence de Math´ematiques,

Suites et s´ eries de fonctions

Licence de Math´ematiques, 2`eme ann´ee

Chapitre 1. Convergence des suites et s´eries de fonctions 3

1. Convergence simple des suites de fonctions 3

2. Convergence uniforme des suites de fonctions 4

3. Convergence simple ou uniforme des s´eries de fonctions 6

4. Convergence normale des s´eries de fonctions 9

5. Lien avec la “norme uniforme” 11

6. Approximation par des polynˆomes 12

Chapitre 2. Propri´et´es de la limite d’une suite de fonctions 15

1. Int´egrabilit´e 15

2. Continuit´e 17

3. D´erivabilit´e 18

4. Application : int´egrales `a param`etres 19

5. Convergence born´ee et convergence domin´ee 21

5.1. Convergence born´ee 21

5.2. Convergence domin´ee 27

Chapitre 3. Espaces m´etriques complets 31

1. “Rappel” : espaces m´etriques 31

1.1. D´efinition et exemples 31

1.2. Ce qu’on peut faire avec des espaces m´etriques 31

1.3. Sous-espaces 32

1.4. Produits 33

2. Suites de Cauchy, espaces m´etriques complets 34

3. Sous-espaces et produits 36

3.1. Parties compl`etes d’un espace m´etrique 36

3.2. Produits d’espaces complets 37

4. S´eries dans un evn 38

5. Points fixes pour les applications contractantes 39

6. Ferm´es emboit´es 40

7. Th´eor`eme de Baire 42

Chapitre 4. S´eries enti`eres 45

1. D´efinition et remarques 45

2. Convergence des s´eries enti`eres 45

2.1. Lemme d’Abel ; rayon de convergence 45

2.2. D´etermination pratique du rayon de convergence 47

3. Comportement au bord du disque de convergence 49

4. Sommes et produits 50

5. R´egularit´e de la somme d’une s´erie enti`ere 51 6. Fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere 52

3

6.1. D´efinition, et exemples “indispensables” 52

6.2. Op´erations sur les fonctions DSE 55

7. D´eveloppements des “fonctions usuelles” 59

7.1. Ceux qu’il faut absolument connaitre par coeur 59

7.2. Ceux qu’on doit savoir retrouver 59

8. Fonctions holomorphes 60

Chapitre 5. S´eries de Fourier 67

1. Fonctions p´eriodiques, coefficients de Fourier 67

1.1. G´en´eralit´es 67

1.2. Un probl`eme naturel 68

1.3. Coefficients de Fourier 69

1.4. Fourier et convolution 70

1.5. Le “Lemme de Riemann-Lebesgue” 71

2. Densit´e des polynˆomes trigonom´etriques 72

2.1. Le r´esultat de base 72

2.2. Une illustration 74

2.3. Le “Th´eor`eme de Fej´er” 75

3. Th´eorie “L²” 78

3.1. Un “produit scalaire” sur R_2π 78

3.2. Signification g´eom´etrique de la s´erie de Fourier 79

3.3. Le Th´eor`eme de Parseval 80

4. Convergence normale 83

5. Convergence ponctuelle 87

Convergence des suites et s´ eries de fonctions

1. Convergence simple des suites de fonctions

D´efinition1.1. SoitaPN, et soitpfnqněaune suite de fonctions `a valeurs (r´eelles ou) complexes d´efinies sur un ensembleI.

(1) Etant donn´´ e t₀ P I, on dit que la suite pf_nq converge au point t₀, ou converge en t0, si la suite num´erique pfnpt0qq admet une limite quandnÑ 8.

(2) Etant donn´´ e un ensembleE ĎI, on dit quepf_nqconverge simplement sur Esi elle convergeen tout pointtPE; autrement dit, si pour touttPE, la suite pf_nptqq_něa est convergente. On peut aussi dire “f_nptqconverge simplement sur E”.

(3) Etant donn´´ eE ĎI et une fonction f :E ÑC, on dit que la suite pfnq tend simplement vers f sur E si f_nptq Ñ fptq pour tout t PE. On ´ecrit alors

“f_nÑf simplement surE”, ou encore “f_nÝÝÝÑ^{CV S} f sur E”.

Remarque. On note limfn la fonction f d´efinie par fptq “ limnÑ8fnptq en tout point t o`u la suite pf_nptqqconverge.

Fait ´evident. Sipfnq converge simplement surE, alors elle converge simplement sur tout ensemble E¹ ĎE.

Tautologie. Pour montrer quefnÑf simplement sur E, il faut

‚ fixer un point quelconque tPE;

‚ se d´ebrouiller pour montrer que f_nptq Ñfptq.

Exemple 1. Pour ně0, soitfn la fonction d´efinie sur r´1,1sparfnptq:“tⁿ. (i) La suite pf_nq converge simplement vers 0 surs ´1,1r.

(ii) La suite pf_nq converge simplement sur s ´1,1s vers la fonction f d´efinie par fp1q:“1 et fptq:“0 si ´1ătă1.

(iii) La suitefnne converge pas au pointt“ ´1, donc ne converge pas simplement surr´1,1s.

Exemple 2. Pour ně1, soit fnla fonction d´efinie surRparfnptq:“ pt`_n¹q². La suite pfnq converge simplement surR vers la fonctionfptq:“t².

Exemple 3. Soitα:I ÑCtelle que@tPI : |αptq| ă1. Alorsf_nptq:“αptqⁿÑ0 simplement sur I.

5

Exemple 4. Soient I et Λ deux intervalles de R, et soit F : ΛˆI Ñ C une fonction continue. Si pλnq est une suite de points de Λ telle que λn Ñ λ P Λ, alors f_nptq:“fpλ_n, tq Ñfptq “Fpλ, tq simplement surI.

Ecriture de la d´´ efinition avec des quantificateurs. fn Ñf simplement sur E si et seulement si

@tPE @εą0 DN “Nt,ε tel que |fnptq ´fptq| ďε pour toutněN. Donc : pour montrer quefnÑf simplement surE, il faut en principe

‚ fixer un point quelconque tPE;

‚ se d´ebrouiller pour obtenir une majoration de la forme|fnptq ´fptq| ďεnptq, o`u “on voit bien” queε_nptq Ñ0 quandnÑ 8.

Crit`ere de Cauchy. La suitepfnqconverge simplement surE si et seulement si

@tPE@εą0 DN “Nt,ε tel que |fqptq ´fpptq| ďε pour tousp, qěN. Donc : pour montrer quef_nÑf simplement surE, on peut

‚ fixer un point quelconque tPE;

‚ se d´ebrouiller pour trouver une majoration de la forme|fpptq ´fqptq| ďεp,qptq, o`u “on voit bien” queε_p,qptq Ñ0 quandp etq tendent vers l’infini.

Int´erˆet. Le crit`ere de Cauchy permet de montrer qu’une suite converge sans connaitre a priori la limite.

2. Convergence uniforme des suites de fonctions

D´efinition 2.1. Soitpf_nq une suite de fonctions, f_n:I ÑC, et soit EĎI. (1) On suppose que pf_nq converge simplement sur E vers une fonctionf. Alors,

on dit que fn tenduniform´ement vers f sur E si la chose suivante a lieu

@εą0DN “N_ε tel que |f_nptq ´fptq| ďε pour tout něN et pour tout tPE.

Autrement dit, si pour εą0 donn´e, on peut prendre “le mˆeme Nε pour tous les t de E”. On ´ecrit alors “f_nptq Ñ fptq uniform´ement sur E”, ou encore fn CV U

ÝÝÝÑf sur E”.

(2) On dit que pfnq converge uniform´ement sur E si elle tend uniform´ement sur E vers une certaine fonctionf.

Remarque triviale 1. CVUùñCVS.

Remarque triviale 2. CVS surE ùñ CVU sur tout ensemblefini F ĎE.

D´emonstration. Exo.

Tautologie. Pour montrer quef_n Ñf uniform´ement sur E, il suffit de trouver une suite pεnq de nombres r´eels positifs telle que

@tPI @n : |f_nptq ´fptq| ďε_n et ε_nÑ0 quandnÑ 8

D´emonstration. Exo.

Pratique. Pour montrer que f_n Ñ f uniform´ement sur E, on proc`ede comme suit.

‚ On montred’abord que f_nÑf simplement; autrement dit, on fixe un tPE quelconque, et on essaye d’obtenir une majoration de la forme|fnptq ´fptq| ď ε_nptq, o`uε_nptq Ñ0 ;

‚ On se d´ebrouille pour montrer qu’on peut se d´ebarasser de la d´ependance en tdans ε_nptq, i.e.on cherche une majoration de la formeε_nptq ďε_n, o`uε_n ne d´epend pas de tPE etεnÑ0.

Exemple 2.2. Soit I un intervalle de R, et soitα :I Ñ C une fonction continue v´erifiant |αptq| ă 1 pour tout t P I. Alors f_nptq “ αptqⁿ Ñ 0 uniform´ement sur tout compact EĎI.

D´emonstration. SoitE un compact de I comme la fonction|α|est continue surE, on peut trouver t0 PE tel que |αpt0q| ě |αptq| pour tout t PE. Alors c“ |αpt0q| est ă1, et|f_nptq| ďε_n“cⁿ pour touttPE; d’o`u le r´esultat puisque cⁿÑ0.

Exemple 2.3. Soient Λ et I deux intervalles de R, et soit F : ΛˆI Ñ C une fonction continue. Si pλnq est une suite de points de Λ telle que λn Ñ λ P Λ, alors f_nptq “Fpλ_n, tq Ñfptq “Fpλ, tquniform´ement sur tout compact E ĎI.

D´emonstration. Commeλ_nÑλ, on peut trouver un intervalle compact ra, bs ĎΛ tel que λ P ra, bs et λ_n P ra, bs pour tout n P N. Alors ra, bs ˆE est un compact de R², donc la fonction continue F est uniform´ement continue sur ra, bs ˆE. Pour εą0 donn´e, on peut donc trouverδą0 tel que |Fpu¹, s¹q ´Fpu, sq| ďεd`es queu, u¹ P ra, bs et s, s¹ P E v´erifient |u¹´u| ď δ et |s¹ ´s| ď δ. Ensuite, on peut trouver N tel que

|λ_n´λ| ďδ pour tout něN; et on obtient alors|Fpλ_n, tq ´Fpλ, tq| ďεpour něN

et pour tout tPE.

Remarque. La “morale” des deux exemples pr´ec´edents est quela compacit´e donne de l’uniformit´e. C’est un principe qu’il est important de retenir.

Fait 2.4. Soientfn:I ÑC, EĎI etf :EÑC. Si fnÑf uniform´ement sur E alors, pour toute suite pt_nq de points deE, la suitef_npt_nq ´fpt_nq tend vers 0.

D´emonstration. Supposons que f_n ÝÝÝÑ^{CV U} f, et soit pt_nq une suite quelconque de points de E. Pourεą0 donn´e, on peut trouverN PNtel que|fnptq ´fptq| ďεpour tout něN et pour touttPE. En particulier|f_npt_nq ´fpt_nq| ďεpour toutněN, ce

qui prouve que f_npt_nq ´fpt_nq Ñ0.

Cons´equence. Si on a r´eussi `a trouver une suite pt_nq de points de E telle que fnptnq ´fptnq ne tend pas vers 0, alors on peut conclure que pfnq ne tend pas uni- form´ement vers f sur E.

Exemple 1. f_nptq:“tⁿ ne tend pas uniform´ement vers 0 surs ´1,1r.

D´emonstration. Pour ně1, on prend par exemplet_n:“1´_n¹¨Alors fnptnq “

ˆ 1´ 1

n

˙n

“e^nlog

`

1´¹_n˘

ÝÝÝÑnÑ8 1{e;

et en particulier f_npt_nq ne tend pas vers 0.

Exemple 2. fnptq:“ pt`_n¹q² ne tend pas uniform´ement verst² sur R.

D´emonstration. Pour touttPR, on af_nptq ´t² “ ^2t_n`<sub>n</sub><sup>1</sup>2¨Si on prend par exemple tn:“n, on voit ainsi quefnptnq ´t<sup>2</sup><sub>n</sub>“2`_n¹2 ne tend pas vers 0 quandnÑ 8.

Exercice. Montrer que la r´eciproque du Fait 2.4 est vraie : si f_npt_nq ´fpt_nq Ñ 0 pour toute suite ptnq ĎE, alorsfnÑf uniform´eent sur E.

Crit`ere de Cauchy uniforme. Une suitepf_nqconverge uniform´ement surEĎI si et seulement si

@εą0DN “Nε tel que |fqptq ´fpptq| ďε pour tousp, qěN et pour touttPE.

D´emonstration. Si pfnq v´erifie le crit`ere de Cauchy uniforme, elle v´erifie en parti- culier le crit`ere de Cauchy en tout point tPE; doncpf_nq converge simplement surE vers une fonction f :EÑC. Si maintenant on se donneεą0 et siN “Nε est choisi comme plus haut, on obtient en faisant qÑ 8 :

|fptq ´f_pptq| ďε pour toutpěN et pour touttPE;

ce qui prouve que fnptq Ñfptq uniform´ement surE.

Cons´equence pratique. Pour montrer qu’une suitepf_nqconverge uniform´ement sur E, il suffit d’obtenir des majorations de la forme

|f_pptq ´f_qptq| ďε_p,q,

o`uε_p,q est ind´ependant de tPE etε_p,qÑ0 quandp, qÑ 8.

3. Convergence simple ou uniforme des s´eries de fonctions

D´efinition 3.1. Soit pu_kqkPN une suite de fonctions d´efinies sur I, et soit EĎI.

Pour n PN, on pose Snptq “ řn

k“0u_kptq. On dit que la s´erie ř

u_k converge sim- plement sur E suite la suite de fonctionspS_nq converge simplement surE, et que la s´erie ř

uk converge uniform´ement sur E si la suitepSnq converge uniform´ement sur E.

Remarque. On note ř₈

k“0u_k la fonction S d´efinie par Sptq “ ř₈

k“0u_kptq en tout point t o`u la s´erie ř

u_kptq converge.

Exemple 3.2. Soit pb_kqkě1 une suite de fonctions `a valeurs r´eelles d´efinies sur I, avec b_kptq ě 0 pour tout t P I. On suppose que la suite pb_kq est d´ecroissante, i.e.

b_k`1ptq ďb_kptq pour touttPI et pour tout k.

(i) Sib_kptq Ñ0 simplement surI, alors la s´erieř

p´1q^kb_kptqconverge simplement surI.

(ii) Si b_kptq Ñ 0 uniform´ement sur I, alors la s´erie ř

p´1q^kb_kptq converge uni- form´ement surI.

D´emonstration. (i) est simplement le crit`ere de convergence des s´eries altern´ees.

Pour (ii), on utilise la majoration du reste d’une s´erie altern´ee : en posant rnptq “Sptq ´Snptq “

8

ÿ

k“n`1

p´1q^kbkptq, on a

|r_nptq| ďb_n`1ptq;

donc r_nptq Ñ0 uniform´ement sur I sib_kptq Ñ0 uniform´ement.

Crit`eres de Cauchy. Sipăq, on a Sq´Sp “

q

ÿ

k“p`1

uk.

Donc, les crit`eres de Cauchy pour la convergence de la s´erie ř

u_kptq s’´ecrivent comme suit.

(a) Crit`ere de Cauchy pour la convergence simple (surE) :

@tPE@εą0DN “Nt,ε : ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

q

ÿ

k“p`1

ukptq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ďε pour tout něN . (b) Crit`ere de Cauchy pour la convergence uniforme (sur E) :

@εą0DN “N_ε : ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

q

ÿ

k“p`1

u_kptq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ďε pour něN et pour touttPE.

Proposition 3.3. (Crit`eres d’Abel uniformes)

Soit pukq une suite de fonctions uk :I Ñ C. On suppose que les uk sont de la forme u_kptq “ a_kptqb_kptq, o`u a<sub>k</sub> et b<sub>k</sub> sont des fonctions sur I, avec b<sub>k</sub> `a valeurs r´eelles et bkptq ě 0 sur I. On suppose de plus que la suite pbkq est d´ecroissante. Soit aussi E Ď I. Dans chacun des 2 cas suivants, la s´erie ř

u_kptq converge uniform´ement sur E.

(1) La s´erie ř

a_kptq converge uniform´ement sur E, et la suite pb_kq est uni- form´ement major´ee sur E, i.e il existe une constanteM telle que b_kptq ď M pour tout k et pour tout tPE.

(2) b_kptq Ñ 0 uniform´ement sur E, et les sommes partielles de la s´erie ř a_kptq sontuniform´ement born´ees, i.e. il existe une constante M telle que

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

n

ÿ

k“0

a_kptq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ďM pour tout nPN et pour tout tPE.

D´emonstration. (1) On va utiliser le crit`ere de Cauchy uniforme ; donc il s’agit de majorer en module des sommes du type

Sp,qptq “

q

ÿ

k“p`1

a_kptqb_kptq.

On effectue une transformation d’Abel sur les restesen posant rkptq “

8

ÿ

l“k`1

akptq.

Par hypoth`ese, lesr_kptq sont bien d´efinis et

rkptq Ñ0 uniform´ement surI.

De plus, on a

akptq “rk´1ptq ´rkptq pour toutkě1.

Donc, pour tous păq, on peut ´ecrire Sp,qptq “

q

ÿ

k“p`1

`rk´1ptq ´rkptq˘ bkptq

“

q

ÿ

k“p`1

r_k´1ptqb_kptq ´

q

ÿ

k“p`1

r_kptqb_kptq

“

q´1

ÿ

k“p

rkptqbk`1ptq ´

q

ÿ

k“p`1

rkptqbkptq

“

q´1

ÿ

k“p`1

r_kptq`

b_k`1ptq ´b_kptq˘

`r<sub>p</sub>ptqb<sub>p`1</sub>ptq ´r_qptqb_qptq.

On en d´eduit

|S_p,qptq| ď

q´1

ÿ

k“p

|r_kptq| |b<sub>k`1</sub>´b<sub>k</sub>ptq| ` |r_pptqb<sub>p`1</sub>ptq| ` |r_qptqb_qptq|

“

q´1

ÿ

k“p`1

|rkptq|`

bkptq ´bk`1ptq˘

` |rpptq|bp`1ptq ` |rqptq|bqptq, o`u on a utilis´e que la suite pb_kq est d´ecroissante avec b_kě0.

Maintenant, soit ε ą 0. Comme r_kptq Ñ 0 uniform´ement sur I, on peut trouver un entier K tel que

|rkptq| ďε pour kěK et pour tout tPI.

On d´eduit que si Kďpăq, alors on a pour tout tPI :

|S_p,qptq| ďε

q´1

ÿ

k“p`1

`b<sub>k</sub>ptq ´b<sub>k`1</sub>ptq˘

`ε`

b<sub>p`1</sub>ptq `b_qptq˘

“εpbp`1ptq ´bqptq˘

`ε`

bp`1ptq `bqptq˘

“2ε bp`1ptq ď2M ε.

On a donc bien montr´e que le crit`ere de Cauchy uniforme est satisfait.

(2) Avec les notations de (1), on effectue cette fois une transformation d’Abel sur les sommes partielles, en posant

Akptq “

k

ÿ

l“0

alptq, de sorte que

a_kptq “A_kptq ´A_k´1ptq pour tout kě1, et donc

Sp,qptq “

q

ÿ

k“p`1

`Akptq ´Ak´1ptq˘ bkptq.

Le calcul donne cette fois S_p,qptq “

q

ÿ

k“p`1

A_kptqb_kptq ´

q´1

ÿ

k“p

A_kptqb_k`1ptq

“

q´1

ÿ

k“p`1

A_kptq`

b_kptq ´b_k`1ptq˘

`A<sub>q</sub>ptqb<sub>q</sub>ptq ´A<sub>p</sub>ptqb<sub>p`1</sub>ptq;

et on en d´eduit

|Sp,qptq| ď

q´1

ÿ

k“p`1

|A_kptq|`

b_kptq ´b_k`1ptq˘

` |Aq`1ptq|bqptq ` |Ap`1ptq|bp`1ptq ď2M bp`1ptq,

o`u on a utilis´e le fait que |Akptq| ď M pour tout k et pour tout t P I. Comme bp`1ptq Ñ 0 uniform´ement sur I, cela montre que le crit`ere de Cauchy uniforme est

satisfait.

Exemple 3.4. Soit α ą 0. Les s´eries ř

kě1 cospktq

t^α et ř

kě1 sinpktq

k^α convergent uni- form´ement sur tout intervalle compact ra, bstel quera, bs X2πZ“ H.

D´emonstration. Comme cospktq et sinpktqsont les parties r´eelles et imaginaires de e^ikt, il suffit de montrer que la s´erie ř

kě1e^ikt

k converge uniform´ement surra, bs.

On applique “Abel 2” avec a_kptq “ e^ikt et les fonctionsconstantes b_kptq “ _k¹α. Il est ´evident que la suite pbkq est d´ecroissante et que bkptq Ñ0 uniform´ement. De plus, on a pour tout nPNet pour touttP ra, bs:

n

ÿ

k“1

a_kptq “

n

ÿ

k“1

`e^it˘k

“e^it1´e^int 1´e^it ,

o`u on a le droit d’´ecrire le quotient cartR2πZet donc e^it‰1. On en d´eduit ˇ

ˇ ˇ ˇ ˇ

n

ÿ

k“1

a_kptq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ď 2

|1´e^it| :“φptq.

Enfin, comme la fonction φ est continue sur l’intervalle compact ra, bs, on peut la majorer par une constante M. Ainsi,

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

n

ÿ

k“1

a_kptq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ďM pour tout net pour touttP ra, bs;

donc le crit`ere d’Abel s’applique.

4. Convergence normale des s´eries de fonctions

Notation. Pour toute suitepαkqkPN de nombres r´eelspositifs, on poseř₈

k“0αk“ lim_nÑ8ř_n

k“0α_k; limite qui existedansr0,8scar les sommes partiellesA_n“ř_n

k“0α_k forment une suite croissante. Par d´efinition, on a donc ř₈

k“0α_k ă 8 si et seulement si la s´erie ř

α_k est convergente. De mˆeme, une s´erie de nombres complexes ř c_k est absolument convergente si et seulement si ř₈

k“0|ck| ă 8.

D´efinition 4.1. Soit pu_kq une suite de fonctions d´efies sur I, et soit E Ď I. On dit que la s´erie ř

uk converge normalement sur E si la chose suivante a lieu : il existe une suite pα_kq de nombres r´eels positifs telle que

@k@tPI : |ukptq| ďαk et

8

ÿ

k“0

αk ă 8.

Th´eor`eme 4.2. Toute s´erie normalement convergente est uniform´ement conver- gente

D´emonstration. Supposons que la s´erie ř

uk converge normalement surE, et soit pα_kq comme dans la d´efinition. Pour touspăq ettPE, on a

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

q

ÿ

k“p`1

u_kptq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ď

q

ÿ

k“p`1

|u_kptq| ď

q

ÿ

k“p`1

α_k :“ε_p,q.

Comme ε_p,q ne d´epend pas de t P E et tend vers 0 quand p, q Ñ 8 puisque la s´erie řαk est convergente, cela montre que la s´erie ř

uk satisfait le crit`ere de Cauchy

uniforme.

Remarque importante. En g´en´eral, il n’est pas tr`es difficile de montrer qu’une s´erie de fonctions est normalement convergente si elle l’est effectivement. Donc, si on doit montrer qu’une s´erie de fonctionsř

u_kest uniform´ement convergente, il fautavant toute choseessayer de voir si elle ne serait pas normalement convergente.

Tautologie. Pour montrer queř

u_kconverge normalement surE, il faut obtenir une majoration de la forme |ukptq| ď αk pour t P E, o`u αk est est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente etne d´epend pas de t.

Exemple 4.3. Soit Ω“ tsPC; Repsq ą1u. La s´erieř

kě1 1

k^s converge absolument en tout pointsPΩ, et il y a convergence normale sur tout compactE ĎΩ. La somme de cette s´erie s’appelle lafonction ζ de Riemann :

ζpsq “ ÿ8 k“1

1

k^s pour Repsq ą1.

D´emonstration. Soit s“ x`iy P Ω. Pour tout k PN^˚, on a par d´efinition k^s “ e^slogpkq “e^xlogpkqe^iylogpkq“k^xe^iylogpkq. Donc

|k^s| “k^x “k^Repsq. On a ainsiˇ

ˇ¹

k^s

ˇ

ˇ“ _k¹x, et doncř₈

k“1

ˇ ˇ¹

k^s

ˇ

ˇă 8carxą1. Ainsi,ř ₁

k^s converge absolument en tout pointsPΩ.

Maintenant, soitEun compact de Ω. Comme la fonctionsÞÑRepsqestcontinue sur E, elle poss`ede un minimum surE: on a uns0 PEtel que@sPE Repsq ěβ0 “Reps0q.

On en d´eduit

@sPE @kě1 : ˇ ˇ ˇ ˇ

1 k^s

ˇ ˇ ˇ ˇ“ 1

k^Repsq ď 1

k^β0 :“α_k. Comme β₀ ą 1, la s´erie ř

α_k “ ř ₁

k^β0 est convergente ; et comme α_k ne d´epend pas de sPE, cela montre que la s´erie ř ₁

k^s converge normalement sur E.

5. Lien avec la “norme uniforme”

Notation. SiI est un ensemble quelconque, on note `<sup>8</sup>pIq l’ensemble de toutes les fonctions born´ees f :I ÑC. Pour f P`⁸pIq, on pose

}f}8“supt|fptq|; tPIu.

Fait. `<sup>8</sup>pIq est un espace vectoriel, et} ¨ }8 est une norme sur `⁸pIq.

D´emonstration. Exo `a savoir faire les yeux ferm´es.

Tautologie importante. Pour f :I ÑCetM PR<sup>`</sup>, on a l’´equivalence pf P`⁸pIq avec }f}₈ďďďMq ðñ p@tPI : |fptq|ďďďMq. Attention : l’´equivalence devient fausse si on remplace ďpară.

Lemme 5.1. Soit pfnq une suite de fonctions born´ees sur I, et soit f : I Ñ C une fonction born´ee. Alors f_n Ñ f uniform´ement si et seulement si }f_n´f}8 Ñ 0; autrement dit, si fnÑf dans l’espacep`⁸pIq,} ¨ }8).

Remarque. Pour cette raison, la norme } ¨ }8 s’appelle la norme de la conver- gence uniforme.

Preuve du lemme. Par d´efinition fnÑf uniform´ement si et seulement si

@εą0DN @něN

´

@tPI : |f_nptq ´fptq| ďε

¯ . Maintenant, par la “tautologie importante”, on a l’´equivalence

´

@tPI : |fnptq ´fptq| ďε

¯

ðñ }fn´f}8ďε.

Donc fn CV U

ÝÝÝÑf si et seulement si

@εą0DN @něN : }f_n´f}8ďε;

ce qui signifie exactement que fnÑf pour la norme } ¨ }8. Corollaire 5.2. Une suitepfnq de fonctions born´ees converge uniform´ement sur I si et seulement si elle converge dans `⁸pIq pour la norme } ¨ }8.

Corollaire 5.3. Soit pfnq une suite de fonctions born´ees sur I. Si pfnq converge uniform´ement sur I, alors pf_nq est uniform´ement born´ee sur I : il existe une constante M telle que

@n@tPI : |f_nptq| ďM.

D´emonstration. On sait que dans un evn, toute suite convergente est born´ee. Donc, si pfnq converge uniform´ement sur I, i.e. converge dans `⁸pIq, elle est born´ee dans

`⁸pIq: on a donc une constanteM telle que@n : }f_n}8ďM, ce qui est la conclusion

souhait´ee par la “tautologie importante”.

Corollaire 5.4. Soit ra, bs un intervalle compact de R. Si f_n est une suite de fonctions continues convergeant uniform´ement sur ra, bs, alors pfnq est uniform´ement born´ee.

D´emonstration. On sait que toute fonction continue sur ra, bsest born´ee ; donc le

corollaire pr´ec´edent s’applique.

Remarque. Une suite de fonctions pf_nq peut converger uniform´ement sur un en- sembleI sans qu’aucune fonctionfn ne soit born´ee surI. Par exemple,fnptq “t`2^´n converge vers fptq “t uniform´ement surR, mais aucunef_n n’est born´ee surR.

Lemme 5.5. Soit pu_kq une suite de fonctions d´efinies sur I. Alors la s´erie ř u_k converge normalement sur I si et seulement si lesu_k sont dans`⁸pIqetř₈

k“0}u_k}8ă 8.

D´emonstration. Par d´efinition, ř

uk converge normalement sur I si et seulement si il existe une suite de nombres r´eelspα_kq telle que

@k@tPI |u_kptq| ďα_k et

8

ÿ

k“0

α_k ă 8.

Autrement dit : ř

uk converge normalement si et seulement si Dpα_kq telle que p@k :u_k P`⁸pIq avec }u_k}8ďα_kq et

ÿ8 k“0

α_kă 8;

ce qui est une mani`ere alambiqu´ee d’´ecrire : “les u<sub>k</sub> sont dans `⁸pIq etř₈

k“0}u_k}8ă

8”.

6. Approximation par des polynˆomes Th´eor`eme 6.1. (Th´eor`eme de Weierstrass)

Soit ra, bs Ď R un intervalle ferm´e born´e. Si f : ra, bs Ñ C est une fonction conti- nue quelconque, on peut trouver une suite de fonctions polynomiales pPnq telle que P_nptq Ñfptq uniform´ement surra, bs.

D´emonstration. On le fait pour ra, bs “ r´¹₄,¹₄s.Exo : c’est suffisant. (Indication : pour un intervallera, bsquelconque (non trivial), il y a une bijection affineϕ:RÑRtelle que ϕpr´¹₄,¹₄sq “ ra, bs; et siPrest un polynˆome, alorsPptq:“Prpϕ^´1ptqqaussi.)

Soit doncf :r´¹₄,¹₄s ÑCcontinue. On prolongef en une fonction continue surR et nulle en dehors de r´¹₂,¹₂s(faire un dessin), et on note encore f ce prolongement.

Pour nPN, on d´efinit Kn:RÑR par Knptq:“ 1

α_np1´t²qⁿ, o`u αn:“ş₁

´1p1´t²qⁿdt.

Puis on d´efinit P_n:RÑCpar Pnpxq:“

ż₁

´1

fpx´tqKnptqdt.

Fait 1. Les fonctionsPn sont polynomiales sur r´¹₂,¹₂s, et donc sur r´¹₄,¹₄s.

Preuve du Fait 1. Par changement de variable, on a P_npxq “

ż_x`1

x´1

fpuqK_npx´uqdu.

De plus, si xP r´¹₂,¹₂s, alors x´1ď ´¹₂ ď ¹₂ ďx`1 ; donc l’intervalle rx´1, x`1s contient r´¹₂,¹₂s. Commef ”0 en dehors der´¹₂,¹₂s, on peut donc remplacerş_x`1

x´1 par

ş1{2

´1{2 :

@xP

”

´1 2,1

2 ı

: Pnpxq “ ż ¹

2

´¹₂

fpuqKnpx´uqdu.

Maintenant, comme K_nptq est une fonction polynomiale, K_npx´uq est une fonction polynomiale en x etu : on peut donc ´ecrire Knpx´uq “ř_N

i“0hipuqxⁱ, o`u leshi sont des polynˆomes. Donc, pourxP r´¹₂,¹₂s:

Pnpxq “ ż ¹

2

´¹₂

fpuq

˜_N ÿ

i“0

hipuqxⁱ

¸ du“

N

ÿ

i“0

˜ż ¹

2

´¹₂

fpuqhipuqdu

¸ xⁱ :“

N

ÿ

i“0

cixⁱ,

o`u les coefficientsci ne d´ependent pas dex.

Fait 2. La suitepKnq poss`ede les propri´et´es suivantes.

(i) Kně0 et ş₁

´1Knptqdt“1 pour tout nPN.

(ii) Pour toutδ v´erifiant 0ăδ ă1, on a

nÑ8lim ż₁

δ

Knptqdt“0“ lim

nÑ8

ż_´δ

´1

Knptqdt.

Preuve du Fait 2. (i) est ´evident par d´efinition de αn.

(ii) Fixons δ avec 0 ă δ ă 1. Comme K_n est paire, il suffit de montrer que ş₁

δK_nptqdt Ñ 0. Comme la fonction t ÞÑ p1´t²qⁿ est positive et d´ecroissante sur r0,1s, on a d’une part

αn“ ż₁

´1

p1´t²qⁿdtě ż_δ{2

0

p1´t²qⁿdtě p1´ pδ{2q²qⁿˆ δ 2, et d’autre part

ż₁

δ

p1´t²qⁿdtď p1´δ²qⁿˆ p1´δq ď p1´δ²qⁿ. Donc

ż₁

δ

K_nptqdt“ 1 αn

ż₁

δ

p1´t²qⁿdtď 2 δ

p1´δ²qⁿ

`1´ pδ{2q<sup>2</sup>˘<sub>n</sub> “ 2 δ ρ<sup>n</sup>, o`uρ:“ _1´pδ{2q^1´δ2 2 ă1. Et donc en effet ş₁

δK_nptqdtÑ0.

Fait 3. Pour toutxP r´¹₄,¹₄set pour toutn, on a

Pnpxq ´fpxq “ ż₁

´1

`fpx´tq ´fpxq˘

Knptqdt, et donc

|Pnpxq ´fpxq| ď ż₁

´1

ˇ

ˇfpx´tq ´fpxq|Knptqdt.

Preuve du Fait 3. Commeş₁

´1Knptqdt“1, on peut ´ecrire fpxq “fpxq ˆ

ż₁

´1

K_nptqdt“ ż₁

´1

fpxqK_nptqdt;

donc Pnpxq ´fpxq “ş₁

´1fpx´tqKnptqdt´ş₁

´1fpxqKnptqdt.

On a maintenant tout ce qu’il faut pour montrer que P_nptq Ñfptq uniform´ement sur r´¹₄,¹₄s(en fait, sur Rtout entier).

Soit εą0. On cherche un entier N tel que

@něN @xP

”

´1 4,1

4 ı

: |Pnpxq ´fpxq| ďε.

Commef est continue, elle estuniform´ement continue surr´¹₂,¹₂s. On peut donc trouver δą0,avec δď1{4 si on veut, tel que

@u, vP

”

´1 2,1

2 ı

v´erifiant |u´v| ďδ, on a |fpvq ´fpuq| ďε{2.

En particulier :

@xP

”

´1 4,1

4 ı

@tP r´δ, δs : |fpx´tq ´fpxq| ďε{2.

Enfin, la fonctionf estborn´ee surRcar elle est continue, donc born´ee surr´¹₂,¹₂s, et nulle en dehors de r´¹₂,¹₂s; donc on a une constanteM telle que

@x, tPR : |fpx´tq ´fpxq| ďM.

Par le Fait 3, on a donc, pour nPNetxP r´¹₄,¹₄s:

|Pnpxq ´fpxq| ď ż₁

´1

|fpx´tq ´fpxq|Knptqdt ď

ż_´δ

´1

p¨ ¨ ¨ q ` ż_δ

´δ

|fpx´tq ´fpxq|K_nptqdt` ż₁

δ

p¨ ¨ ¨ q ďM

ˆż_´δ

´1

K_nptqdt` ż₁

δ

K_nptqdt

˙

`ε{2 ż_δ

´δ

K_nptqdt ďM εn`ε{2.

Mais par le Fait 2, ε_n Ñ 0 quand nÑ 8; donc on peut trouver un entier N tel que @něN : M εnďε{2.On a alors

@něN @xP

”

´1 4,1

4 ı

: |Pnpxq ´fpxq| ďε{2`ε{2“ε.

Rappel. SoitE un evn. Une partieDdeE est ditedense dansE si on aD“E.

Il revient au mˆeme de dire

r qu’on a DXO‰ Hpour tout ouvert non vide O ĎE;

r que pour tout x P E et pour tout ε ą 0, on peut trouver z P D tel que }z´x} ăε;

r que pour toutxPE, on peut trouver une suitepz_nqd’´el´ements deDtelle que znÑx.

Corollaire6.2. NotonsCpra, bsql’espace des fonctions continues surra, bs. Alors les fonctions polynomiales sont denses dans pCpra, bsq,} ¨ }8q.

D´emonstration. Le Th´eor`eme de Weierstrass dit que pour toute f PCpra, bsq, on peut trouver une suite de fonctions polynomiales pPnqtelle que}Pn´f}8Ñ0 ; ce qui est la d´efinition (ou en tous cas une formulation ´equivalente) de la densit´e.

Propri´ et´ es de la limite d’une suite de fonctions

1. Int´egrabilit´e

Le th´eor`eme suivant est facile `a d´emontrer, et suffira amplement pour toutes les

“interversions de limites et d’int´egrales” qu’on aura besoin de faire ult´erieurement. Des r´esultat plus sophistiqu´es seront d´emontr´e `a la fin du chapitre.

Th´eor`eme 1.1. Soitra, bsun intervalleferm´e born´e deR, et soitpfnq une suite de fonctions int´egrables au sens de Riemann sur ra, bs. On suppose quepfnq converge uniform´ement sur ra, bsvers une fonction f. Alors f est int´egrable au sens de Rie- mann sur ra, bs et ş_b

afnptqdtÑş_b

afptqdt. Ainsi, on a le droit d’´ecrire ż_b

a

´

nÑ8lim f_nptq

¯

dt“ lim

nÑ8

ż_b

a

f_nptqdt si on a v´erifi´eque la suite pfnq converge uniform´ement sur ra, bs.

D´emonstration. (i) Supposons avoir montr´e que f est int´egrable au sens de Rie- mann sur ra, bs, et montrons queş_b

af_nptqdtÑş_b

afptqdt.

On a pour toutnPN: ˇ

ˇ ˇ ˇ

ż_b

a

f_nptqdt´ ż_b

a

fptqdt ˇ ˇ ˇ ˇ“

ˇ ˇ ˇ ˇ

ż_b

a

`f_nptq ´fptq˘ dt

ˇ ˇ ˇ ˇ

ď żb

a

|fnptq ´fptq|dtď }fn´f}₈ˆ pb´aq;

donc tout est clair !

(ii) Maintenant, montrons quef est int´egrable au sens de Riemann surra, bs. En consid´erant s´epar´ement parties r´eelles et imaginaires, on se ram`ene au cas o`uf et les f_n sont `a valeurs r´eelles.

Soit εą0. On cherche des fonctions en escalier ϕet ψtelles que ϕďf ďψ et

ż_b

a

`ψptq ´ϕptq˘

dtďε.

Commef_nÑf uniform´ement, on peut trouver un entier N tel que

@tP ra, bs : |f_Nptq ´fptq| ďε;

autrement dit :

@tP ra, bs : f_Nptq ´εďfptq ďf_Nptq `ε.

Ensuite,fN est int´egrable au sens de Riemann surra, bs; donc on peut trouver des fonctions en escalier ϕ_N etψ_N telles que

ϕN ďfN ďψN et

ż_b

a

`ψNptq ´ψNptq˘

dtďε.

17

On a alors

@tP ra, bs : ϕ_Nptq ´ε loooomoooon

ϕptq

ďf_Nptq ´εďfptq ďf_Nptq `εďϕ<sub>N</sub>ptq `ε loooomoooon

ψptq

.

Les fonctionsϕ etψsonten escalier, et ż_b

a

`ψptq ´ϕptq˘ dtď

ż_b

a

`pψ<sub>N</sub> ´ϕ<sub>N</sub>q `2ε˘ ďε`

1`2pb´aq˘ . Conclusion : en partant de ε<sup>1</sup> :“ε{`

1`2pb´aq˘

au lieu deε, on obtient le r´esultat

souhait´e.

Corollaire 1.2. Soitpukqune suite de fonctions int´egrables au sens de Riemann surra, bs. Si la s´erieř

u_kconvergenormalementsurra, bs, alors on a le droit d’´ecrire ż_b

a

´ÿ⁸

k“0

u_kptq

¯ dt“

8

ÿ

k“0

ż_b

a

u_kptqdt.

D´emonstration. On applique le th´eor`eme `a la suite des sommes partielles S_n “ ř_n

k“0uk, qui converge uniform´ement versS“ř₈

k“0ukpuisque la convergence normale entraine la convergence uniforme. Cela donne

ż_b

a

´ÿ⁸

k“0

u_k

¯

“ lim

nÑ8

ż_b

a

´ÿⁿ

k“0

u_k

¯

“ lim

nÑ8 n

ÿ

k“0

ż_b

a

u_k“

8

ÿ

k“0

ż_b

a

u_k.

Exemple 1.3. Pour tout xP r0,1r, on a

8

ÿ

k“1

x^k

k “ ´logp1´xq.

D´emonstration. D’apr`es le th´eor`eme fondamental de l’analyse, on a

´logp1´xq “ ż_x

0

dt 1´t¨ Par ailleurs,

1 1´t “

8

ÿ

k“0

t^k pour tout tP r0, xs,

o`u la s´erie converge normalement surr0, xscar |t^k| ďx^k sur r0, xs etx ă1. On peut donc ´ecrire

ż_x

0

dt 1´t “

8

ÿ

k“0

ż_x

0

t^kdt“

8

ÿ

k“0

x<sup>k`1</sup> k`1 “

8

ÿ

k“1

x^k k ¨

Exemple. Soitpf_nqně2la suite de fonctions surr0,1sd´efinie comme suit :f_nptq:“

0 en dehors de r_n¹,²_ns et f_nptq :“ n sur r_n¹,²_ns (faire un dessin). Alors f_nptq Ñ 0 simplement sur r0,1s (exo), mais ş₁

0f_nptqdt “ 1 pour tout n. Donc : pour pouvoir intervertir une limite et une int´egrale, la convergence simple ne suffit pas.

2. Continuit´e

Th´eor`eme 2.1. Soit I un intervalle de R, et soit pf_nq une suite de fonctions d´efinies sur I. On suppose que les fn sont continues, et que la suite pfnq converge simplement sur I vers une fonction f :I ÑC, avec de plus convergence uniforme sur tout compact E ĎI. Alors la fonction f :“limfn est continue sur I. En parti- culier : si lesf_n sont continues et si f_nÑf uniform´ement surI, alors f est continue.

D´emonstration. Il suffit de montrer que f est continue sur tout intervalle ferm´e born´e ra, bs ĎI (exo).

Soit t₀ P ra, bsquelconque, et soit εą0. On cherche unδ ą0 tel que

|fptq ´fpt0q| ďε pour touttP ra, bs v´erifiant |t´t0| ďδ.

Comme ra, bs est compact, on sait que fn Ñ f uniform´ement sur ra, bs. Donc on peut trouver un entier N tel que

@tP ra, bs : |f_Nptq ´fptq| ďε{3.

D’apr`es l’in´egalit´e triangulaire, on a alors

|fptq ´fpt₀q| ď |fptq ´f_Nptq| ` |f<sub>N</sub>ptq ´f<sub>N</sub>pt<sub>0</sub>q| ` |f_Npt₀q ´fpt₀q ď2ε{3` |f_Nptq ´f_Npt₀q| pour touttP ra, bs.

Ensuite,f_N ´etant continue au pointt₀, on peut trouver δą0 tel que

|f_Nptq ´f_Npt₀q| ďε{3 pour touttPI v´erifiant |t´t₀| ďδ.

Alors, si tP ra, bsv´erifie|t´t₀| ďδ, on a

|fptq ´fpt₀q| ď2ε{3` |f_Nptq ´f_Npt₀q| ďε.

Remarque. La preuve donne en fait le r´esultat suivant :Si f_nÑf uniform´ement sur tout compact, alors f est continue en tout point o`u lesfn sont continues.

Corollaire 2.2. Soit pu_kq une suite de fonctions continues sur un intervalle I ĎR. On suppose que la s´erieř

u_kptq converge en tout pointtPI, avecconvergence normale sur tout compact E ĎI. Alors la fonction f “ř₈

k“0u_k est continue sur I.

En particulier : si la s´erie ř

u_k converge normalement sur I, alors f “ ř₈

k“0u_k est continue sur I.

D´emonstration. On applique le th´eor`eme aux sommes partiellesS_n“ř_n

k“0u_k, qui sont des fonctions continues et convergent vers f uniform´ement sur tout compact.

Exemple 1. La fonction ζ est continue sur s1,8r.

D´emonstration. On a vu que la s´erieř ₁

k^s converge normalement sur tout compact E Ď s1,8r. Donc ζpsq “ ř₈

k“1 1

k^s est continue puisque les fonctions ukpsq “ _k¹s le

sont.

Exemple 2. La fonction fptq “ ř8 k“1

e^ikt

k² est continue surR.

D´emonstration. Les fonctions u_kptq “ ^e_k^ikt2 sont continues sur R, et la s´erie ř u_k

converge normalement sur R

Exemple 3. Soitpf_nqla suite de fonctions continues d´efinies sur r0,1sparf_nptq “ tⁿ. La suitepfnq converge simplement sur r0,1spar la fonction non continue valant 0 sur r0,1ret 1 au point 1. Donc : mˆeme si les f_n sont continues, la convergence simple ne suffit paspour conclure `a la continuit´e de f “limf_n.

Corollaire 2.3. L’espace Cpra, bsq est un sous-espace ferm´ede `⁸pra, bsq.

D´emonstration. Le th´eor`eme peut se reformuler comme suit : si pf<sub>n</sub>q est une suite d’´el´ements deCpra, bsqconvergeant pour la norme de`⁸pra, bsqvers une une certainef, alorsf PCpra, bsq; ce qui signifie exactement queCpra, bsqest ferm´e dans`⁸pra, bsq.

3. D´erivabilit´e

Th´eor`eme 3.1. Soit I un intervalle de R, soit pf_nq une suite de fonctions de classe C¹ d´efinies sur I, et soit f :I ÑC. On suppose que

(i) fnptq Ñfptq simplement sur I;

(ii) la suite des d´eriv´ees pf_n¹q converge simplement sur I vers une fonction g:I ÑC, avec convergence uniforme sur tout compact EĎI.

Alors on peut conclure que la fonction f :“limf_n est de classeC¹ sur I, avec f¹ “g“ limf_n¹. En particulier : sif_n Ñf simplement sur I et sipf_n¹q converge uniform´ement sur I, alors f est C¹ et f¹ “limf_n¹.

D´emonstration. D’abord, la fonction g est continue sur I d’apr`es le th´eor`eme de continuit´e, car lesf_n¹ sont continues.

Soitx₀ PI fix´e. D’apr`es le th´eor`eme fondamental de l’analyse, on a pour toutxPI et pour tout n:

f_npxq “f_npx₀q ` ż_x

x0

f_n¹ptqdt.

Commef_n¹ Ñguniform´ement sur l’intervalle compactrx₀, xs(ourx, x₀ssixăx₀), on peut passer `a la limite sous l’int´egrale d’apr`es le th´eor`eme 1.1, et on obtient

fpxq “fpx0q ` ż_x

x0

gptqdt pour toutxPI.

Commegest continue, on en d´eduit (`a nouveau par le th´eor`eme fondamental de l’ana-

lyse) que f est de classeC¹ avec f¹“g.

Remarque. Le th´eor`eme reste en fait vrai si les f_n sont seulement suppos´ees d´erivables : la conclusion est que la fonction limite f est d´erivable avec f¹ “ g. La preuve est cependant un peu plus d´elicate.

Corollaire 3.2. Soit pukq une suite de fonctions de classe C¹ sur I. Si la s´erie řu_kptq converge simplement surI et si la s´erie des d´eriv´ees ř

u¹_kptq converge norma- lement sur tout compact E ĎI, alors la fonction f “ř₈

k“0u_k est de classe C¹ sur I, avec f¹ “ř₈

k“0u¹_k. En particulier, si la s´erie ř

u_k converge simplement sur I et si la s´erie ř

u¹_k converge normalement sur I, alors f “ř₈

k“0u_k est C¹ et f¹ “ř₈

k“0u¹_k. D´emonstration. On applique le th´eor`eme aux sommes partiellesS_n“ř_n

k“0u_k. Exemple 1. La fonction ζ est de classeC⁸ sur s1,8r.

D´emonstration. On a ζpsq “ř₈

k“1u_kpsq, o`u u_kpsq “ _k¹s “ e^´slogpkq Les fonctions u_k sont de classe C¹ sur s1,8r, avec u¹_kpsq “ ´logpkqe^´slogpkq “ ´^logpkq_ks ¨ On v´erifie (exo) que la s´erie ř

u¹_kpsq converge normalement sur tout compact E Ď s1,8r; donc la fonction ζ est de classe C¹ sur s1,8r, avec ζ¹psq “ ´ř₈

k“1 logpkq

k^s ¨ En r´ep´etant ce raisonnement, on montre par r´ecurrence queζ est de classeCⁿ pour toutně1 (donc de classe C⁸), avec ζ^pnqpsq “ p´1qⁿř₈

k“1 logpkqⁿ

k^s ¨

Exemple 2. La fonction fptq “ř₈

k“1 e^ikt

k³ est de classeC¹ sur R. D´emonstration. Si on poseu_kptq “ ^e_k^ikt3 , alors la s´erieř

u_kptqconverge normalement sur R car|ukptq| “ _k¹3 ; donc f est bien d´efinie. Les fonctions uk sont de classeC¹ sur R, avec u¹_kptq “ i^e_k^ikt2 ¨ Donc la s´erieř

u¹_kptq converge normalement sur R(micro-exo),

et donc f est de classeC¹.

Exemple 3. D’apr`es le th´eor`eme de Weierstrass, il existe une suitepPnq de fonc- tions polynomiales telle queP_nptq Ñfptq “ |t|uniform´ement surr´1,1s; et la fonction f n’est pas d´erivable en 0.Donc: mˆeme si lesfn sontC⁸, la convergence uniforme de la suite pf_nq ne suffit pas `a assurer la d´erivabilit´e de f “ limf_n. Voici un exemple plus “´el´ementaire” : pour n P N^˚, soit fn : r´1,1s Ñ R la fonction d´efinie par f_nptq :“

b

t²`_n¹¨ Alors les f_n sont de classe C⁸ (micro-exo, la suite pf_nq converge simplement vers fptq “ |t|(autremicro-exo), et la convergence est en fait uniforme car

|f_nptq ´fptq| “a

t²`1{n´

?t² ďa

1{n pour tout net pour tout tP r´1,1s(exo : on a ?

u`vď? u`?

v pour tousu, vě0).

Exemple 4. Soitpfnqla suite de fonctions d´efinies sur Rparfnptq “ _n¹e^in2t. Alors fnptq Ñ0 simplement, lesfn sontC¹,fnptq Ñ0 uniform´ement, mais|f_n¹ptq| Ñ 8pour tout tPR. Donc: mˆeme si f “limf_n est de classeC¹, la convergence uniformede la suite f_n versf ne suffit pas pour affirmer quef_n¹ Ñf¹.

4. Application : int´egrales `a param`etres

Soit Λ un intervalle de R. On s’int´eresse `a une fonction f : ΛÑC de la forme fpλq “

żb a

Fpλ, tqdt,

o`uF : Λˆ ra, bs ÑCest une fonction telle que pour toutλPΛ, la fonctiontÞÑFpλ, tq soit int´egrable au sens de Riemann surra, bs.

Proposition 4.1. Si la fonction F : Λˆ ra, bs ÑC estcontinue sur Λˆ ra, bs, alors la fonction fpλq “ş_b

aFpλ, tqdt estcontinue sur Λ.

D´emonstration. Soit λ P Λ fix´e, et soit pλnq une suite d’´el´ements de Λ telle que λnÑλ. On veut montrer que fpλnq Ñfpλq.

CommeF est continue sur Λˆ ra, bs, on sait queFpλ_n, tq ÑFpλ, tquniform´ement sur ra, bs (cf l’Exemple 2.3 du Chapitre 1). Donc fpλnq “ ş_b

aFpλn, tqdt tend vers ş_b

aFpλ, tqdt“fpλq, d’apr`es le Th´eor`eme1.1.

Proposition 4.2. On suppose que la fonction F : Λˆ ra, bs Ñ C v´erifie les hy- poth`eses suivantes :

(i) pour tout tP ra, bs fix´e, la fonction λÞÑFpλ, tq estde classe C¹ sur Λ;

(ii) la fonctionpλ, tq ÞÑ ^BF_Bλpλ, tq est continue sur Λˆ ra, bs.

Alors la fonction fpλq “ ş_b

aFpλ, tqdt est de classe C¹ sur Λ, et on peut d´eriver sous l’int´egrale :

@λPΛ : f¹pλq “ ż_b

a

BF

Bλpλ, tqdt.

D´emonstration. En consid´erant s´epar´ement partie r´eelle et partie imaginaire, on se ram`ene au cas o`u F est `a valeurs r´eelles.

Par le “th´eor`eme de continuit´e”, la fonction gpλq “ş_b

a BF

Bλpλ, tqdt est continue sur Λ. Donc, il suffit de montrer que f est d´erivable en tout point, avec f¹“g.

Soit λPΛ fix´e. Il s’agit de montrer que pour toute suitepλ_nq tendant vers λ(avec λ_n‰λpour toutn), on a que ^fpλ_λ^nq´fpλq

n´λ Ñgpλq. On fixe donc une telle suitepλ_nq.

On a par d´efinition

fpλ_nq ´fpλq “ ż_b

a

`Fpλ_n, tq ´Fpλ, tq˘ dt, et donc

fpλ_nq ´fpλq λn´λ “

ż_b

a

Fpλ_n, tq ´Fpλ, tq λn´λ dt.

De plus, par le th´eor`eme des accroissements finis (applicable car F est `a valeurs r´eelles), on peut ´ecrire, pour touttP ra, bset pour toutn:

Fpλ_n, tq ´Fpλ, tq λn´λ “ BF

Bλpc_n,t, tq,

o`u le point c<sub>n,t</sub> est entre λ et λ<sub>n</sub>. En particulier, c<sub>n,t</sub> Ñ λ quand n Ñ 8, uni- form´ement par rapport `a t P ra, bs (car |cn,t´λ| ď |λn´λ|, qui tend vers 0 et ne d´epend pas det). Comme la fonction ^BF_Bλ est continue sur Λˆ ra, bs, on en d´eduit (cf l’Exemple2.3 du Chapitre 1) que

Fpλn, tq ´Fpλ, tq λ_n´λ Ñ BF

Bλpλ, tq uniform´ement surra, bs.

Donc, d’apr`es le th´eor`eme1.1, fpλ_nq ´fpλq

λn´λ Ñ ż_b

a

BF

Bλpλ, tqdt“gpλq.

Exemple. Calcul de l’int´egraleI “

ż_2π

0

e^eitdt.

Soit f :RÑCla fonction d´efinie par fpλq “

ż_2π

0

e^λeitdt.

On v´erifie sans aucune difficult´e (micro-exo) que la fonction Fpλ, tq “e^λeit v´erifie les hypoyth`eses du “th´eor`eme de d´erivabilit´e”. Donc f est de classeC¹ sur R, avec

f¹pλq “ ż_2π

0

B Bλ

´ e^λeit

¯ dt“

ż_2π

0

e^ite^λeitdt.