D´etermination d’un ´el´ement primitif de l’extension F q (T ) AutFq(Fq(T )) /F q

D´etermination d’un ´el´ement primitif de l’extension F _q (T ) ^Aut

^(F

^{(T ))} /F _q

Bruno DESCHAMPS — Universit´e de Saint-Etienne

Abstract: In this article, we determine the minimal polynomial ofT overFq(T)^AutFq(Fq(T)) and give explicitely an elementY(T)∈F_q(T)such thatF_q(T)^AutFq(Fq(T))=F_q(Y(T)).

SiKd´esigne un corps etK(T) son corps de fractions rationnelles, il est c´el`ebre que le groupe Aut<sub>K</sub>(K(T)) est isomorphe au groupe P GL<sub>2</sub>(K) (voir Bourbaki, Alg`ebre, ch. V, ex. 5, page 105), l’isomorphisme ´etant donn´e par :

a c b d

∈P GL₂(K)7−→T 7→ aT+b cT+d

SiKest un corps infini, il est facile de voir que le corps des invariants,K(T)^AutK(K(T)), de K(T) sous l’action deAutK(K(T)) est ´egal `a K. Si K est fini, il n’en est rien.

Si l’on pose L = Fq(T)^AutFq(Fq(T)) (ou q d´esigne la puissance d’un nombre pre- mier), le th´eor`eme d’Artin assure que l’extensionFq(T)/Lest galoisienne de degr´e ]P GL2(Fq) =q<sup>3</sup>−q. Le th´eor`eme de L¨uroth assure alors qu’il existe un ´el´ement Y(T) ∈ K(T) tel que L = Fq(Y(T)). L’objet de cette note est de d´eterminer explicitement la fractionY(T) en fonction deq.

L’´el´ement T ∈ Fq(T) est un ´el´ement primitif de l’extension Fq(T)/L. Le polynˆome minimal deT surLest :

P(X) = Y

s∈AutFq(Fq(T))

(X−s(T))

= Y

_{a c}

b d

∈P GL₂(F_q)

X−aT+b cT +d

= Y

a,b,d∈F_q

X−aT+b T+d

Y

a∈F^∗_q, b∈F_q

(X−(aT+b)) Y

a,d∈Fq

(X−a)

Dans la suite du calcul deP, on noteω= (T^q−T). Pour simplifier les expressions, on utilisera les relations :

Y

α∈F^∗_q

(u−αv) =u^q−1−v^q−1, Y

α∈Fq

(u−αv) =u u^q−1−v^q−1

On a :

Y

a,d∈F_q

(X−a) =



 Y

a∈F_q

(X−a)





q

= (X^q−X)^q

De mˆeme, Y

a∈F^∗_q, b∈F_q

(X−(aT+b)) = Y

a∈F^∗_q

Y

b∈F_q

((X−aT)−b)

= Y

a∈F^∗_q

((X−aT)^q−(X−aT))

= Y

a∈F^∗_q

((X^q−X)−a(T^q−T))

= (X^q−X)^q−1−ω^q−1 Enfin,

Y

a,b,d∈Fq

X−aT+b T+d

= Y

a,b,d∈Fq

X−a−b−ad T+d

= Y

a,d∈Fq

Y

b∈Fq

X−a+ ad T+d

− b T+d

= Y

a,d∈F_q

1 (T+d)^q

Y

b∈F_q

(((X−a)(T+d) +ad)−b)

= 1

(T^q−T)^q2 Y

a,d∈Fq

Y

b∈Fq

(((X−a)(T+d) +ad)−b)

= 1 ω^q2

Y

a,d∈Fq

Y

b∈Fq

(((X−a)(T+d) +ad)−b)

= 1 ω^q2

Y

a,d∈Fq

(((X−a)(T+d) +ad)^q−((X−a)(T+d) +ad))

= 1 ω^q2

Y

a,d∈Fq

(((X^q−a)(T^q+d) +ad)−((X−a)(T+d) +ad))

= 1 ω^q2

Y

a,d∈Fq

(XT)^q−(XT)−a(T^q−T) +d(X^q−X)

= Y

d∈F_q

Y

a∈Fq

(XT)^q−(XT) +d(X^q−X)

ω −a

= Y

d∈Fq

"

(XT)^q2−(XT)^q+d(X^q−X)^q ω^q

−(XT)^q−(XT) +d(X^q−X) ω

= 1 ω^q2

Y

d∈Fq

h

(XT)^q2−(XT)^q+d(X^q−X)^q

−ω^q−1((XT)^q−(XT) +d(X^q−X))

= 1 ω^q2

Y

d∈Fq

h

(XT)^q2−(XT)^q−ω^q−1((XT)^q−(XT))

+d(X^q−X) (X^q−X)^q−1−ω^q−1 Posons















P₁(X) = (XT)^q2−(XT)^q−ω^q−1((XT)^q−(XT))

P₂(X) = (X^q−X)^q−1−ω^q−1



= Y

a∈F^∗_q, b∈Fq

(X−(aT+b))





On a alors : Y

a,b,d∈Fq

X−aT+b T+d

= 1

ω^q2 Y

d∈Fq

P1(X) +d(X^q−X)P2(X)

=

P₁(X)

P₁^q−1(X)−(X^q−X)^q−1P₂^q−1(X) ω^q2

De sorte que :

P(X) = P₁^q(X)P2(X)−(X^q−X)^q−1P₂^q(X)P1(X) ω^q2(X^q−X)^q

= (X^q−X)P2(X)P₁^q(X)−((X^q−X)P2(X))^qP1(X) ω^q2(X^q−X)^q+1

On a (

(X^q−X)P2(X) = X^q2−(1 +ω^q−1)X^q+ω^q−1X

P₁^q(X) = T^q3X^q3−T^q2(1 +ω^q(q−1))X^q2+ω^q(q−1)T^qX^q

et donc (X^q−X)P2(X)P₁^q(X) =

T^q3X^q3+q2−T^q3(1 +ω^q−1)X^q3+q+ω^q−1T^q3X^q3+1−T^q2(1 +ω^q(q−1))X^2q2 +

ω^q(q−1)T^q+ (1 +ω^q−1)(1 +ω^q(q−1))T^q2 X^q2+q

−ω^q−1(1 +ω^q(q−1))T^q2X^q2+1−ω^q(q−1)(1 +ω^q−1)T^qX^2p+ω^q2−1T^qX^q+1 De mˆeme, on a :

(

((X^q−X)P2(X))^q = X^q3−(1 +ω^q(q−1))X^q2+ω^q(q−1)X^q P1(X) = T^q2X^q2−T^q(1 +ω^q−1)X^q+ω^q−1T X et donc ((X^q−X)P₂(X))^qP₁(X) =

T^q2X^q3+q2−T^q(1 +ω^q−1)X^q3+q+ω^q−1T X^q3+1−T^q2(1 +ω^q(q−1))X^2q2 +

ω^q(q−1)T^q2+ (1 +ω^q−1)(1 +ω^q(q−1))T^p X^q2+q

−ω^q−1(1 +ω^q(q−1))T X^q2+1−ω^q(q−1)(1 +ω^q−1)T^qX^2p+ω^q2−1T X^q+1 On en d´eduit queω^q2(X^q−X)^q+1P(X) =

(T^q3−T^q2)X^q3+q2−(T^q3−T^q)(1 +ω^q−1)X^q3+q+ (T^q3−T)ω^q−1X^q3+1 +

ω^q(q−1)(T^q−T^q2) + (1 +ω^q−1)(1 +ω^q(q−1))(T^q2−T^q) X^q2+q

−ω^q−1(1 +ω^q(q−1))(T^q2−T)X^q2+1+ω^q2−1(T^q−T)X^q+1 c’est-`a-direω^q2(X^q−X)^q+1P(X) =

ω^q2X^q3+q2−(ω^q+ω^q2)(1 +ω^q−1)X^q3+q+ω^q−1(ω+ω^q+ω^q2)X^q3+1 +

−ω^q2+ω^q(1 +ω^q−1)(1 +ω^q(q−1)) X^q2+q

−ω^q−1(1 +ω^q(q−1))(ω+ω^q)X^q2+1+ω^q2X^q+1 En posant

α(ω) = (ω^q+ω^q2)(1 +ω^q−1)

= ω^q(1 +ω^q(q−1))(1 +ω^q−1) et

β(ω) = α(ω)−ω^q2

= −ω^q2+ω^q(1 +ω^q(q−1))(1 +ω^q−1)

= ω^q(1 +ω^q−1+ω^q2−1) on a :

ω^q2(X^q−X)^q+1P(X) =ω^q2

X^q3+q2+X^q+1

−α(ω)

X^q3+q+X^q2+1

+β(ω)

X^q3+1+X^q2+q c’est-`a-dire

P(X) =

X^q3+q2+X^q+1−X^q3+q−X^q2+1 (X^q−X)^q+1

+β(ω) ω^q2

X^q3+1+X^q2+q−X^q3+q−X^q2+1 (X^q−X)^q+1

= (X^q2−X^q)(X^q3−X) (X^q−X)^q+1

−β(ω) ω^q2

(X^q−X)(X^q3−X^q2) (X^q−X)^q+1

On obtient, pour finir

P(X) = (X^q−X)^q2−1−β(ω)

ω^q2 (X^q−X)^q2−q+ (X^q−X)^q−1+ 1 Comme P(X) ∈ L[X], on a ^β(ω)

ω^q2 ∈ L et doncFq

_β(ω)

ω^q2

⊂ L. Par ailleurs,

l’´ecriture dePassure queP(X)∈Fq

_β(ω)

ω^q2

[X] qui est alors un polynˆome irr´eductible.

Comme T est racine de P, le corps de rupture de P sur F_qβ(ω)

ω^q2

est F_q(T) ce qui assure, pour des raisons de degr´es, que L=Fq

_β(ω)

ω^q2

. On en d´eduit donc que Fq(T)^AutFq(Fq(T))=Fq(Y(T)) avec

Y(T) =

T^q3−T T^q2−T^q (T^q−T)(T^q3−T^q2)

Les racines dansFq de (T^q3−T) sont simples (ce sont les ´el´ements de F_q3), on en d´eduit donc la forme irr´eductible deY(T) suivante :

Y(T) = (T^q3−T)/(T^q−T) (T^q−T)^q2−q =

Pq²+q

i=0 T^q−1i

(T^q−T)^q2−q

Remarque : Une fois l’´ecriture deY(T) donn´ee, on peut tr´es facilement retrouver le fait que Fq(T)^AutFq(Fq(T)) = Fq(Y(T)). En effet, l’´el´ement Y(T) est invariant sous l’action deP GL₂(F_q) : si

a c b d

∈P GL₂(F_q), on a

Y

aT+b cT+d

=

aT +b cT+d

^q3

−

aT+b cT +d

aT+b cT +d

q

−

aT+b cT+d

^q2−q+1

=

(aT^q3+b)(cT+d)−(aT+b)(cT^q3+d) (cT +d)^q3+1

((aT^q+b)(cT +d)−(aT+b)(cT^q+d))^q2−q+1 (cT +d)^{(q2−q+1)(q+1)}

= (ad−bc)(T^q3−T) (ad−bc)^q2−q+1(T^q−T)^q2−q+1

= Y(T)

Par ailleurs, si K d´esigne un corps et f(T) = ^P(T)_Q(T) ∈K(T) est ´ecrite sous forme irr´eductible, alors le degr´e de l’extension K(T)/K(f(T)) est ´egale `a la hauteur h(f) =M ax(d<sup>◦</sup>P, d<sup>◦</sup>Q) (voir Bourbaki, Alg`ebre, ch. V, ex. 5, page 105). Comme ici,h(Y) =q³−q, on en d´eduit bien que Fq(T)^AutFq(Fq(T))=Fq(Y(T)).

Bruno Deschamps, Equipe de th´eorie des nombres, Facult´e des sciences et tech- niques, Universit´e Jean Monnet, 23 rue du docteur Paul Michelon, 42023 Saint- Etienne, Cedex 2, France.

E-mail: Bruno.Deschamps@univ-st-etienne.fr