Recueil de notes pour le cours MAT 2100

Recueil de notes

pour le cours MAT 2100

M. C. Delfour

D´epartement de math´ematiques et de statistique Universit´e de Montr´eal

C.P. 6128, succ. Centre-ville Montr´eal, Canada H3C 3J7 [email protected]

http://www.dms.umontreal.ca/˜ delfour/

Version 9.0

Montr´eal, le 15 avril 2017

Table des mati` eres

Pr´eface xi

Orientation . . . xi

1 Des entiers naturels aux r´eels 1 1 Nombres entiers naturelsN(+,·, <) . . . 1

2 Nombres entiersZ(+,·, <) . . . 2

3 Nombres rationnelsQ(+,·, <) . . . 3

4 Nombres r´eelsR(+,·, <) . . . 5

4.1 Des fissures dans l’ensembleQdes rationnels . . . 5

4.2 ◮Construction deR: les coupures de Dedekind . . . 7

4.2.1 D´efinition des coupures . . . 8

4.2.2 Relation d’ordre, addition et multiplication . . . 8

4.2.3 Propri´et´e P7 de compl´etude . . . 10

4.2.4 R´eels ´etendusR . . . 12

4.3 Bornitudes, infimum et supremum . . . 13

4.4 Densit´e des rationnels et des irrationnels dansR . . . 15

4.5 Valeur absolue . . . 16

4.6 Repr´esentation d´ecimale des nombres r´eels . . . 18

5 Exercices . . . 22

2 Quelques notions ensemblistes et alg´ebriques 23 1 Relation, application et fonction . . . 23

1.1 Application et fonction . . . 23

1.2 Relation binaire et relation d’´equivalence . . . 25

2 Cardinal et d´enombrabilit´e . . . 27

2.1 D´efinitions et exemples . . . 27

2.2 Quelques r´esultats g´en´eraux . . . 30

2.3 Rn’est pas d´enombrable . . . 32

2.4 ◮Cardinalit´e du continucet cardinaux transfinis . . . 33

2.5 ◮ℵ0,ℵ1,ℵ2,ℵ3,· · ·, hypoth`ese du continu, et axiome du choix 34 3 Corps, ensemble ordonn´e et corps ordonn´e . . . 34

3.1 Corps et corps commutatif . . . 34

3.2 Ensemble ordonn´e . . . 36

3.3 Corps ordonn´e . . . 39 iii

4 Nombres complexes et hypercomplexes . . . 40

4.1 Nombres complexes . . . 40

4.2 ◮Nombres hypercomplexes . . . 42

5 Exercices . . . 44

3 Topologie et suites dans les espaces m´etriques 47 1 Espace vectoriel, norme, produit scalaire . . . 47

1.1 L’espaceRⁿ,n≥1 . . . 47

1.2 Espace vectoriel . . . 48

1.3 Norme et espace vectoriel norm´e . . . 49

1.4 Produit scalaire . . . 54

2 M´etrique et espace m´etrique . . . 55

2.1 D´efinition et exemples . . . 55

2.2 Quelques propri´et´es . . . 58

3 Ensemble ouvert et ensemble ferm´e . . . 59

3.1 Boule ouverte et boule trou´ee . . . 59

3.2 Ensemble ouvert et int´erieur d’un ensemble . . . 60

3.3 Ensemble ferm´es et adh´erence d’un ensemble . . . 64

3.4 Fronti`ere d’un ensemble . . . 70

4 Ensembles compacts . . . 71

5 Caract´erisation de la compacit´e dansR^k . . . 75

6 Suites de Cauchy, compl´etude et compl´et´e . . . 79

6.1 Suites de Cauchy . . . 79

6.2 Espace m´etrique complet . . . 84

6.3 Compl´et´e d’un espace m´etrique . . . 86

7 Compacit´e et compacit´e s´equentielle . . . 89

8 Ensembles parfaits . . . 93

9 Ensembles connexes et ensembles convexes . . . 96

9.1 Ensembles connexes . . . 96

9.2 Ensembles convexes, sous-ensembles lin´eaire et affine . . . 100

10 Exercices . . . 101

4 Fonctions, limites et continuit´es 107 1 Rappels sur les applications et les fonctions . . . 107

2 Limite d’une fonction . . . 109

2.1 Limite d’une fonction en un point d’accumulation . . . 109

2.2 Limite d’une fonction d’une variable r´eelle aux infinis . . . . 113

2.3 Limite inf´erieure et limite sup´erieure d’une fonction `a valeurs r´eelles . . . 114

3 Fonctions continues . . . 115

3.1 D´efinitions et propri´et´es . . . 115

3.2 Application ouverte ou ferm´ee, hom´eomorphisme . . . 120

3.3 M´etriques ´equivalentes . . . 122

3.4 Prolongement continu . . . 127

4 Continuit´e et compacit´e . . . 134

5 Continuit´e et connexit´e . . . 136

Table des mati`eres v

6 Fonctions uniform´ement continues . . . 138

6.1 D´efinitions et propri´et´es . . . 138

6.2 Prolongement uniform´ement continu . . . 141

7 Fonctions lipschitziennes . . . 142

7.1 D´efinitions et propri´et´es . . . 142

7.2 Prolongement lipschitzien . . . 144

8 Application contractante et th´eor`eme du point fixe . . . 145

9 Fonctions d’une variable r´eelle . . . 146

9.1 Limites `a gauche, limites `a droite, discontinuit´es . . . 146

9.2 Fonction monotone . . . 148

9.3 ◮Fonction `a variation born´ee, fonction absolument continue 150 10 Exercices . . . 151

5 Espaces vectoriels, convergences et applications lin´eaires 155 1 Rappels : espace vectoriel, norme, et espace de Banach . . . 155

2 Suites, espaces et s´eries de fonctions . . . 157

2.1 Convergences des suites de fonctions . . . 157

2.2 Espaces de Banach de fonctions born´ees/continues . . . 161

2.3 Espace de fonctions lipschitziennes . . . 164

2.4 S´eries de fonctions . . . 166

3 ◮Espaces de Banach de fonctions diff´erentiables . . . 167

4 Produit scalaire et espaces de Hilbert . . . 169

5 Applications lin´eaires et lin´eaires continues . . . 172

6 Espaces vectoriels de dimension finie . . . 177

6.1 Espace euclidien . . . 177

6.2 L’espace des applications lin´eaires . . . 178

6.3 Orthogonalit´e et transposition . . . 181

7 Groupe g´en´eral lin´eaire : m´etriques et compl´etude . . . 185

7.1 Rappels sur la notion de groupe . . . 185

7.2 D´efinition et propri´et´es . . . 186

7.3 Une premi`ere m´etrique sur GL (n) . . . 188

7.4 ◮Une seconde m´etrique sur GL (n) invariante `a droite . . . . 189

8 Exercices . . . 194

6 D´eriv´ee, d´eriv´ees directionnelles et diff´erentielles 199 1 Introduction . . . 199

2 Fonctions num´eriques d’une variable r´eelle . . . 200

2.1 Continuit´e et diff´erentiabilit´e . . . 202

2.2 Th´eor`eme de la moyenne ou des accroissements finis . . . 204

2.3 Propri´et´e de la d´eriv´ee d’une fonction d´erivable partout . . . 206

2.4 Th´eor`eme de Taylor . . . 206

3 Fonctions de plusieurs variables r´eelles . . . 208

3.1 D´eriv´ee directionelle et diff´erentielle au sens de Gateaux . . . 208

3.1.1 D´efinitions et propri´et´es . . . 208

3.1.2 Op´erations alg´ebriques et premiers exemples . . . . 209 3.1.3 Gateaux diff´erentiabilit´e n’entraˆıne pas continuit´e . 212

3.1.4 D´eriv´ees partielles, gradient, application et matrice

jacobiennes . . . 214

3.2 Approche g´eom´etrique `a la diff´erentielle . . . 216

3.3 D´eriv´ee directionnelle et diff´erentielle au sens de Hadamard . 220 3.3.1 Formulation ´equivalente `a l’approche de Hadamard 220 3.3.2 D´efinitions . . . 223

3.3.3 Continuit´e des fonctions Hadamard directionnelle- ment d´erivables . . . 227

3.3.4 Op´erations alg´ebriques sur les d´eriv´ees directionnelles et les diff´erentielles . . . 228

3.3.5 D´erivation et diff´erentiation en chaˆıne des fonctions compos´ees . . . 229

3.4 Diff´erentielle de Fr´echet . . . 233

3.5 Fonctions lipschitziennes et diff´erentiabilit´e . . . 236

3.5.1 D´efinitions . . . 236

3.5.2 Gateaux d´erivabilit´e et Lipschitzit´e donnent Hada- mard d´erivabilit´e . . . 237

3.6 Th´eor`eme de la moyenne pour les fonctions vectorielles . . . . 238

3.7 Fonctions de classesC^(p),p≥0, et matrice hessienne . . . 241

3.7.1 ClassesC⁽⁰⁾ etC⁽¹⁾ . . . 241

3.7.2 ClasseC⁽²⁾, matrice hessienne et classeC^(p) . . . . 244

3.8 G´en´eralisation et perspectives : les semi-diff´erentielles . . . . 248

3.9 Tableau des notions de d´erivabilit´e et de diff´erentiabilit´e . . . 249

4 Fonctions convexes et optimisation . . . 249

4.1 Fonctions convexes . . . 249

4.2 Fonctions convexes directionnellement d´erivables . . . 251

4.3 Optimisation convexe : condition n´ecessaire et suffisante . . . 254

4.4 Optimisation diff´erentiable sans contraintes : conditions n´ecessaires . . . 256

5 Th´eor`emes de la fonction inverse, de la fonction implicite et du rang 260 5.1 Th´eor`eme de la fonction inverse . . . 260

5.2 Th´eor`eme de la fonction implicite . . . 264

5.3 Th´eor`emes du rang et des multiplicateurs de Lagrange . . . . 266

6 ◮D´eterminants et formules de changement de variable . . . 275

6.1 Formule de Leibniz . . . 275

6.2 Formule de Laplace ou formule de r´ecurrence . . . 282

6.3 Comatrice ou matrice des cofacteurs et calcul de l’inverse . . 285

6.4 Aire, volume et leur g´en´eralisation en dimension n >3 . . . . 285

6.5 Formule de changement de variable pour l’int´egrale de volume 288 6.6 Int´egrale de ligne, de surface et de sous-vari´et´es de dimension sup´erieure . . . 289

7 Exercices . . . 290

Annexe A. Corrig´es des exercices 295 1 Exercices du Chapitre 1 . . . 295

2 Exercices du Chapitre 2 . . . 295

Table des mati`eres vii

3 Exercices du Chapitre 3 . . . 297

4 Exercices du Chapitre 4 . . . 310

5 Exercices du Chapitre 5 . . . 320

6 Exercices du Chapitre 6 . . . 333

El´´ ements de bibliographie 355

Table des figures

1.1 Richard Dedekind (1831-1916). . . 7

2.1 Georg Cantor (1845–1918). . . 27

2.2 William Rowan Hamilton (1805–1865). . . 43

2.3 Plaque comm´emorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin).^≪Ici, le 16 octobre 1843, alors qu’il se promenait, Sir William Rowan Hamilton d´ecouvrit dans un ´eclair de g´enie la formule fondamentale sur la multiplication des quaternions i² =j² =k² = ijk=−1 et la grava sur une pierre du pont.^≫ . . . 44

3.1 Maurice Ren´e Fr´echet (1878–1973). . . 55

3.2 Felix Hausdorff (1868–1942). . . 57

3.3 Augustus De Morgan (1806–1871). . . 68

3.4 Heinrich Eduard Heine (1821–1881). . . 78

3.5 F´elix Edouard Justin ´Emile Borel (1871–1956). . . 78

3.6 Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781–1848). . . 79

3.7 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) et Sofia Kovalevska¨ıa (1850–1891). . . 80

3.8 Augustin Louis Cauchy (1789–1857). . . 80

3.9 L’ensemble de Cantor . . . 95

4.1 Exemples de fonctionsf. PourE=R, la limiteydef(x) enaexiste pour les seconde et troisi`eme fonctions, mais pas pour la premi`ere. . 110

4.2 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859). . . 111

4.3 Limite de sin(1/x) ena= 0 ? . . . 112

4.4 Heinrich Franz Friedrich Tietze (1880–1964). . . 128

4.5 Construction de l’escalier de Cantor . . . 151

6.1 Exemples de d´eriv´ees `a droite et `a gauche. . . 202

6.2 Exemples 3.2 et 3.10. . . 212

6.3 Exemple 3.3 (´echelle logarithmique) . . . 213

6.4 Exemple 3.4. . . 215

6.5 Fonction convexe et fonction concave . . . 250 6.6 Tangence du convexeU `a l’ensemble de niveau def passant parx∈U.254

ix

6.7 Tangence du sous-espace affine A ou lin´eaire S `a un ensemble de niveau def. . . 256 6.8 Demi-tangentedh(0; +1) au cheminh(t) dansU au pointh(0) =x. . 270 6.9 Fonction de l’Exercice 7.3. . . 291

Pr´ eface

Orientation

Ce recueil de notes de cours s’appuie principalement sur les chapitres 1, 2, 4, 7 et 9 du livre de W. Rudin [1] qui est un grand classique dans le domaine en Am´erique du Nord. On pr´esume que les notions fondamentales en dimension un (topologie, suites, s´eries, d´eriv´ees, int´egrale de Riemann, etc.) ont ´et´e acquises dans un premier cours d’analyse (par exemple, MAT 1000). Il n’est pas possible dans le cadre d’un cours d’une session d’inclure l’int´egrale de Lebesgue.

La partie sur les espaces m´etriques est consid´erablement augment´ee pour aller au del`a des principales d´efinitions et r´esultats et en entrevoir les applications et les retomb´ees. C’est le cadre le plus g´en´eral dans lequel tout peut se faire via la notion de suite sans imposer de structure alg´ebrique. La notion de m´etrique d´ej`a tr`es pr´esente en g´eom´etrie se retrouve de nos jours un peu partout comme, par exemple, en intelligence artificielle, en th´eorie du codage (m´etrique de Hamming), en th´eorie des graphes, en analyse des donn´ees, en statistique et en imagerie. On a choisi de donner un traitement exhaustif de la compacit´e, de la compacit´e s´equentielle, du compl´et´e et de la compl´etude. On fleurte un peu avec la topologie g´en´erale et l’analyse fonctionnelle.

Un des objectifs importants est d’appuyer les notions abstraites par des cons- tructions et des exemples concrets d’espaces m´etriques. La partie sur la continuit´e et la convergence uniforme donnent l’occasion de construire les premiers espaces m´etriques de fonctions. `A l’aide de la fonction caract´eristique et de la fonction distance on construit aussi des m´etriques sur l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble arbitraire. On retrouve entre autres la m´etrique de Pomp´eiu-Hausdorff.

On donne aussi deux exemples de m´etriques compl`etes sur le groupe g´en´eral lin´eaire dont l’une est invariante `a droite.

La partie sur la diff´erentiabilit´e a ´et´e consid´erablement d´evelopp´ee pour bien mettre en lumi`ere le passage de la notion de d´eriv´ee en dimension un `a celle de diff´erentielle `a partir de la dimension deux. Ces notions se prolongent quasi- int´egralement aux espaces vectoriels de dimension infinie menant naturellement au Calcul des variations et de ses rejetons, mais aussi au calcul diff´erentiel sur des sous- vari´et´es r´eguli`eres de l’espace euclidien. On ne peut malheureusement dans le cadre d’un cours d’une session aller au del`a de quelques applications en optimisation et

xi

de l’obtention des gros th´eor`emes de la fonction inverse, de la fonction implicite et de quelques formes du th´eor`eme du rang.

Il y a plusieurs directions pour la suite de ce cours, mais l’int´egration est prioritaire. L’int´egration de Riemann, de Riemann-Stieljes et de Lebesgue sont des sujets incontournables. Le livre suivant (au moins la premi`ere moiti´e qui serait l’´equivalent d’une session au DMS) est fortement recommand´e :

R.L. Wheeden and A. ZygmundMeasure and integral, Marcel Dek- ker, New York and Basel, 1977.

Avec l’int´egrale de Lebesgue, on obtient l’exemple d’un espace de Hilbert de fonc- tions. Avec la th´eorie des distributions, on obtient les espaces de Sobolev qui sont fondamentaux en ´equations aux d´eriv´ees partielles. Un autre sujet est la g´eom´etrie diff´erentielle. Voir, par exemple, le livre suivant :

M. Berger et B. GostiauxG´eom´etrie diff´erentielle : vari´et´es, courbes et surfaces, 2-eme ´ed., Presses Universitaire de France, Paris, 1992. (tra- duction anglaise, Differential geometry : Manifolds, curves and surfaces, Springer-Verlag, New York, 1988.

Un autre est l’optimisation avec les id´ees de semicontinuit´e et de semi-diff´erentielles qui prolongent et compl`etent les notions correspondantes vues dans le cours :

M. Delfour,Introduction `a l’optimisation et au calcul semi-diff´erentiel, Collection Sciences Sup., Math´ematiques appliqu´es pour le Master/SMAI, Dunod, Paris 2012.

La version anglaise de ce livre

M. Delfour,Introduction to optimization and semidifferential calcu- lus, SIAM-MOS series, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, USA, 2012.

existe aussi sous forme ´electronique. Elle peut s’obtenir gratuitement (chapitre par chapitre) `a partir d’une machine du r´eseau de l’Universit´e de Montr´eal `a l’adresse suivante :

http ://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9781611972153 Michel Delfour

Montr´eal, le 1 janvier 2017

Chapitre 1

Des entiers naturels aux r´ eels

1 Nombres entiers naturels _N (+ , ·, < )

On prend comme point de d´epart l’ensemble desentiers naturels N^d´=^ef{1,2,3, . . .}

sur lequel on d´efinit une addition et une multiplication.

L’ addition + :N×N→N

∀x, y ∈N, x+y∈N qui a comme propri´et´es :

P1 (commutativit´e) x+y=y+x

P2 (associativit´e) (x+y) +z=x+ (y+z).

Lamultiplication ·:N×N→N

∀x, y∈N, x·y∈N qui a comme propri´et´es :

P1 (commutativit´e) x·y=y·x

P2 (associativit´e) (x·y)·z=x·(y·z).

P4 ( ´el´ement neutre multiplicatif) ∃1∈N tel que∀x∈N, x·1 =x.

Enfin, on a une propri´et´e de la multiplication par rapport `a l’addition : P3 (distributivit´e) x·(y+z) =x·y+x·z.

On a aussi les deuxrelations d’ordre (<et≤) suivantes : 1

- Premi`ererelation d’ordre (strict) surN(<)

x < y si il existe n∈N tel quey=x+n qui esttransitive, c’est-`a-dire sip < qet q < r, alorsp < r.

- Seconderelation d’ordre surN(≤)

x≤y si x=y ou x < y

qui est aussitransitive, c’est-`a-dire si p≤qet q≤r, alorsp≤r.

2 Nombres entiers _Z (+ , ·, < )

Comme il n’est pas toujours possible pour deux entiersaetbdansNde trouver x∈Ntel que (ou r´esoudre l’´equation)

a+x=b,

on enrichie les entiers naturels en introduisant les notions d’´el´ement neutre et d’in- verse additifs :

- existence de l’´el´ement neutre 0 pour l’addition : P4 (´el´ement neutre additif)

∃0 tel que∀x∈N, x+ 0 =x - existence d’uninverse pour l’addition :

P5 (existence d’un inverse additif)

∀x∈N, ∃(−x) tel que x+ (−x) = 0.

On peut alors d´efinir l’op´eration− :Z×Z→Z

∀x, y∈Z, x−y^d´=^efx+ (−y).

On a ainsi construit les nombres entiers

Z^d´=^ef{. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}. Les d´efinitions d’ordre demeurent les mˆemes.

- Premi`ererelation d’ordre (strict) surZ(<) :

x < y si il existe n∈N tel quey=x+n - Seconderelation d’ordre surZ(≤) :

x≤y si x=y ou x < y

3. Nombres rationnelsQ(+,·, <) 3 On r´esume les propri´et´es surZ.

P1 (commutativit´e) x+y=y+xet x·y=y·x P2 (associativit´e) (x+y) +z=x+ (y+z) et

(x·y)·z=x·(y·z) P3 (distributivit´e) x·(y+z) =x·y+x·z P4 (´el´ement neutre) - additif ∃0 tel que∀x∈Z, 0 +x=x

- multiplicatif ∃1 tel que∀x∈Z, 1·x=x P5 (∃un inverse additif) ∀x∈Z,∃ −xtel quex+ (−x) = 0

P6 (relation d’ordre)

















a)∀x, y∈Z tel que x >0 ety >0 x+y >0

b)∀x∈Z

une seule propri´et´e est vraie : x >0, x= 0, ou 0> x.

3 Nombres rationnels _Q (+ , ·, < )

Ici encore, il n’est pas toujours possible de trouverx∈Ztel que (ou r´esoudre l’´equation)

q·x=p (3.1)

pour toute paire d’entiers pet qdans Z. Il suffit de prendre par exempleq= 2 et p= 1.

On ajoute `aZles nombres de la formep/qavecp, q∈Z,q6= 0. La paire (p, q) n’est cependant pas unique car toutes les paires (np, nq), 0 6= n ∈ Z, sont aussi solution de l’´equation (3.1).

On forme alors lesclasses d’´equivalence

[p/q]^d´=^ef{p^′/q^′ :pq^′=p^′q} et on obtient ainsi l’ensemble des nombres rationnels

Q^d´=^ef{[p/q] :∀p∈Z et∀q∈Z tel que q6= 0}

qui par d´efinition contient les ´e´ements de Z de la forme [p/1],p∈ Z. Il y a donc plusieurs repr´esentants dans chaque classe d’´equivalence ou plusieurs fa¸cons d’´ecrire un nombre rationnel donn´e.

Il peut ˆetre utile ou souhaitable de choisir ou construire unrepr´esentant dans chaque classe. Par ce faire on introduit la notion de plus grand commun facteur (diviseur) de deux entiers positifspetqnon nuls que l’on ´ecrira

(p, q).

On peut maintenant proc´eder de la fa¸con suivante :

a) sip= 0, on ´ecrit 0/1 b) sip6= 0,

i) on choisit d’abord le signe + ou− ii) on se ram`ene `a p/q, pourp, q∈N

iii) on simplifie la fraction autant que possible en divisantpet q par leur plus grand commun facteur (diviseur) (p, q).

Ce repr´esentant unique est appel´eforme r´eduite.

La structure (+,·, <) surQsubsiste. On peut v´erifier que l’addition, la mul- tiplication et les relations d’ordre sont bien d´efinies :

- l’addition

[p1/q1] + [p2/q2]^d´= [(p^ef 1·q2+p2·q1)/q1q2], - la multiplication

[p1/q1]·[p2/q2]^d´= [p^ef 1·p2/q1·q2], - la relation d’ordre

[p1/q1]<[p2/q2] si

(p1·q2−p2·q1<0 lorsque q1·q2>0 p1·q2−p2·q1>0 lorsque q1·q2<0 qui est toujourstransitive, c’est-`a-dire,

p1

q1

<p2

q2

et p2

q2

<p3

q3

, ⇒ p1

q1

< p3

q3

. On r´esume les propri´et´es surQ.

P1 (commutativit´e) x+y=y+xet x·y=y·x P2 (associativit´e)

((x+y) +z=x+ (y+z) et (x·y)·z=x·(y·z) P3 (distributivit´e) x·(y+z) =x·y+x·z P4 (´el´ements neutres)

((additif)∃0∈Q tel que ∀x∈Q, 0 +x=x (multiplicatif)∃1∈Q tel que∀x∈Q, x·1 =x

P5 (existence d’inverses)







(additif) ∀x∈Q,∃ −x∈Q tel quex+ (−x) = 0 (multiplicatif) ∀x∈Q, x6= 0,∃x⁻¹∈Q

tel que x·x⁻¹= 1

P6 (relation d’ordre)











a)∀x, y∈Q tel quex >0 ety >0, on a x+y >0 etx·y >0

b)∀x∈Q, une seule propri´et´e est vraie : x >0, x= 0, ou 0> x.

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 5 La relation d’ordre<poss`ede la propri´et´e que pour toutxety dansQ, on a

x=y, x < y, oux < y.

Elle demeuretransitive, c’est-`a-dire,

x < yety < z ⇒ x < z.

Enfin, on peut d´efinir l’op´eration de division÷ :Z×Z\{0} →Q

∀x, y∈Z, y6= 0, x÷y^d´= [x/y].^ef

4 Nombres r´ eels _R (+, · , <)

4.1 Des fissures dans l’ensemble Q des rationnels

Si l’on prend le point de vue intuitif que les ensemblesNet Zsont des points le long d’une droite orient´ee, il y a destrous constitu´es d’intervalles de longueur un entre deux ´el´ements cons´ecutifs distincts deNou deZ : par exemple, entre 1 et 2.

Ce n’est pas le cas de l’ensembleQdes nombres rationnels.

Th´eor`eme 4.1. Soient a etb dansQ tel que a < b. Alors il existe c∈Q tel que a < c < b.

D´emonstration. On prendc= (a+b)/2 qui appartient bien `aQ. Alors, il est facile de v´erifier `a partir de la d´efinition quea+b <2bet 2a < a+b. De l`a en divisant par 2,a <(a+b)/2< b.

Comme il n’y apas de trous entre deux nombres rationnels distincts, ce premier r´esultat inciterait `a croire queQformerait uncontinuum. Ce n’est cependant pas le cas et c’est ce qui va motiver la construction du continuum des nombres r´eels. En effet, on verra plus loin que√

2 peut ˆetre approch´e par en dessus et par en dessous par des rationnels sans jamais l’atteindre :

1<√ 2<2 1.4<√

2<1.5 1.41<√

2<1.42 . . . 1.414 213 562 4<√

2<1.414 213 562 5

Il n’y a pas detrous dans l’ensembleQ, mais mais plutˆot des fissures.

Th´eor`eme 4.2. Il n’existe pas dex∈Qtel quex²= 2 ou de fa¸con ´equivalente

∀x∈Q, x²6= 2.

D´emonstration. On note d’abord que sim∈Zest pair, alorsm²est pair. Sim∈Z est impair, alorsm= 2k+ 1 pour unk∈Zet

m²= (2k+ 1)²= 4·(k²+k) + 1

est impair. Ceci implique que m∈Z est impair (resp. pair) si et seulement si m² est impair (resp. pair).

On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il existex∈Qtel quex²= 2. Alors xest de la formem/npourmetn dansZ, n6= 0. On prend maintenantxsous sa forme r´eduite m/no`u le plus grand commun diviseur (m, n) de m et n est 1. On obtient alorsm²= 2·n²ce qui entraˆıne quemest pair.

Il existe doncr∈Ztel que m= 2r. De l’´equation (m/n)²= 2, il vient 4r²= 2n² ⇒ 2r²=n²

et on en conclut que n² et a fortiori nsont pair. Comme mest aussi pair, le plus grand commun diviseur (m, n) ≥ 2 et cela contredit le choix initial d’une forme r´eduite pourx=m/ntelle que (m, n) = 1.

Ceci met en lumi`ere le ph´enom`ene suivant.

Th´eor`eme 4.3. (i) Il n’existe pas de plus grand nombre rationnel positif de carr´e inf´erieur ou ´egal `a2.

(ii) Il n’existe pas de plus petit nombre rationnel positif de carr´e sup´erieur ou

´egal `a2.

En particulier, pour toutr∈Qtel que r²≤2, on a−√

2< r <√ 2.

D´emonstration. (i) SoientQ⁺ ={x∈Q : x≥0} et A={p∈Q⁺ :p² ≤2}. Du Th´eor`eme 4.2 on sait queA={p∈Q⁺ :p²<2}. Prenonsp∈A et montrons que nous pouvons toujours lui associer un nombreq∈Atel quep < q, ce qui montrerait qu’il n’y a pas de plus grand ´el´ement dansA.

Associons `ap∈Ale nombre rationnel q^d´=^efp−p²−2

p+ 2 =p+2−p² p+ 2 > p puisquep²−2<0 etp+ 2>0.

Pour conclure, il faut maintenant montrer queq∈A. On estime la diff´erence q²−2 =

p−p²−2 p+ 2

²

−2 =

2p+ 2 p+ 2

2

−2

= 4p²+ 8p+ 4−2(p²+ 4p+ 4)

(p+ 2)² = 2(p²−2) (p+ 2)² <0.

⇒ q∈A

et p < q.

Il n’y a donc pas de plus grand ´el´ement dansA.

(ii) La d´emonstration est la mˆeme en commen¸cant avec l’ensembleB={p∈ Q⁺:p²≥2}.

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 7

Il y a cependant des nombres rationnelsM ∈Q(borne sup´erieure) tel que

∀p∈A={p∈Q⁺:p²<2}, p≤M et des nombres rationnelsm∈Q(borne inf´erieure) tel que

∀p∈B={p∈Q⁺:p²>2}, p≥m.

Il suffit de prendre par exempleM = 2 etm= 1. En effet, s’il existait un p∈Atel quep >2, cela entraˆıneraitp²>4 ce qui contredit la conditionp²≤2.

Ces nombres M et m sont respectivement uneborne sup´erieure deA et une borne inf´erieure de B. Ceci va nous amener naturellement `a parler d’ensembles born´es sup´erieurement(resp.inf´erieurement) et pour ce type d’ensembles deplus pe- tite borne sup´erieure(resp.plus grande borne inf´erieure). Malheureusement, comme l’indique le Th´eor`eme 4.3, ces derni`eres bornes ne se trouvent pas n´ecessairement dansQ.

4.2 ◮ Construction de R : les coupures de Dedekind

Figure 1.1.Richard Dedekind (1831-1916).

Nous allons maintenant d´ecrire rapidement la construction faite en 1872 par Richard Dedekind¹qui va nous permettre de remplir les trous dans l’ensembleQdes rationnels et construire les nombres r´eels en suivant, par exemple, la pr´esentation de W. Rudin [1, Annexe, pages 17–20] ou de E. G. H. Landau [1]. Dedekind re¸cut son doctorat en 1852 `a G¨ottingen et il fut le dernier ´el`eve de Gauss.

1. R. Dedekind[1].

4.2.1 D´efinition des coupures

L’id´ee de base est de mettre en correspondance les nombres rationnels avec descoupures dansQcomme suit :

∈Qr ←→r^∗d´=^ef{p∈Q:p < r}.

coupure

Pour construire les nombres manquants, on ´etend la notion de coupure. C’est une construction purement alg´ebrique.

D´efinition 4.1.

Un ensembleαde nombres rationnels est appel´e unecoupure si

i) αcontient au moins un rationnel mais pas tous les rationnels, c’est-`a-dire,

∅6=α$ Q,

ii) si on ap∈αetq∈Qtel que q < p, alorsq∈α, iii) αne contient pas de plus grand rationnel.

On notera parRl’ensemble de toutes les coupures deQ.

Nous pouvons identifier chaque rationnelr∈Q`a une coupure particuli`ere.

Th´eor`eme 4.4. Soientr∈Qet α^d´=^ef{p∈Q : p < r}. Alorsαest une coupure.

D´efinition 4.2.

On dira que la coupure{p∈Q : p < r}associ´ee `ar∈Qest unecoupure rationnelle et on la noterar^∗.

Il y a donc un plongement naturel de Q dans R. Mais il y a aussi d’autres coupures qui correspondent intuitivement `a des nombres irrationnels. On v´erifiera ais´ement que l’ensemble

α^d´=^ef

x∈Q⁺:x²<2 ∪ {Q\Q⁺} est une coupure qui correspondra `a la racine carr´ee √

2. De la mˆeme fa¸con on peut d´efinir√

3,√

5, etc. Cescoupures irrationnelles vont contribuer `a boucher des fissures deQ. Mais l’ensemble des coupures contient aussi des nombres qui ne s’ex- priment pas `a l’aide de radicaux commeπ= 3,14159. . . et e= 2,7182818284. . .. 4.2.2 Relation d’ordre, addition et multiplication

On a la propri´et´e suivante.

Th´eor`eme 4.5. Soient α une coupure et p et q dans Q tel que p ∈α et q /∈ α.

Alorsp < q.

On peut d´efinir une relation d’ordre pour les coupures.

D´efinition 4.3.

Soientαetβ deux coupures.

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 9 i) On ´ecriraα < β(ouβ > α) si

∃p∈Q tel quep∈β etp /∈α.

ii) On ´ecriraα≤β si α=β ouα < β.

D´efinition 4.4.

Soientαetβ deux coupures deQ.

i) L’addition est d´efinie comme l’addition des deux ensembles α+β^d´=^ef{s+t : s∈αet t∈β}. ii) L’´el´ement additif neutre

0^∗d´=^ef{p∈Q:p <0}. iii) L’inverse additif

−α^d´=^ef{r∈Q:∃s >0 tel que −r−s /∈α}. iv) Lavaleur absolue d’une coupureαest l’ensemble

|α|^d´=^ef

( α, siα≥0^∗

−α, siα <0^∗.

D´efinition 4.5.

Soientαetβ deux coupures deQ.

i) Lamultiplication de deux coupuresα≥0^∗ etβ≥0^∗est d´efinie comme α·β^d´=^ef

s·t:s∈α∩Q⁺ ett∈β∩Q⁺ ∪(Q\Q⁺).

et celle de deux coupures arbitrairesαet β comme

α·β ^d´=^ef











α·β, siα≥0^∗, β≥0^∗, (−α)·(−β), siα <0^∗, β <0^∗,

−[(−α)·β] siα <0^∗, β≥0^∗,

−[α·(−β)], siα≥0^∗, β <0^∗. ii) L’´el´ement multiplicatif neutre

1^∗d´=^ef{p∈Q:p <1}.

On peut alors d´emontrer que l’on a conserv´e toutes les propri´et´es surQ. P1 (commutativit´e) x+y=y+xet x·y=y·x

P2 (associativit´e)

((x+y) +z=x+ (y+z) et (x·y)·z=x·(y·z) P3 (distributivit´e) x·(y+z) =x·y+x·z P4 (´el´ements neutres)

((additif)∃0^∗ tel que∀x∈R, 0^∗+x=x (multiplicatif)∃1^∗ tel que∀x∈R, x·1^∗=x

P5 (existence d’inverses)







(additif) ∀x∈R,∃ −xtel quex+ (−x) = 0^∗ (multiplicatif) ∀x∈R, x6= 0^∗, ∃x⁻¹∈R

tel que x·x⁻¹= 1^∗

P6 (relation d’ordre)











a)∀x, y∈Rtel quex >0^∗ ety >0^∗on a x+y >0^∗ etx·y >0^∗

b)∀x∈Rune seule propri´et´e est vraie : x >0^∗, x= 0^∗, ou 0^∗> x.

On a la propri´et´e suivante.

Th´eor`eme 4.6. Siαetβ sont deux coupures tel que α≤β, alors α⊂β.

D´emonstration. Siα≤β, ou bien α=β et il n’y a rien `a d´emontrer ou bien

∃p∈Q tel que p /∈αetp∈β.

Dans le second cas, on raisonne par l’absurde. S’il existep∈αtel quep /∈β, alors, par d´efinition de<, on aurait la contradictionβ < αpar la propri´et´e P6 b).

4.2.3 Propri´et´e P7 de compl´etude

Mais, comme nous avons beaucoup travaill´e, nous obtenons une propri´et´e de plus qui d´ecoule du th´eor`eme dit decompl´etude de Dedekind.

Th´eor`eme 4.7 (Th´eor`eme de compl´etude de Dedekind.). Soit Aet B deux sous- ensembles deRtel que

a) A∪B=R b) A∩B=∅ c) A6=∅etB6=∅

d) siα∈Aet β∈B, alors α < β.

Alors il existe un et un seulγ∈Rtel que

∀α∈A, α≤γ et ∀β ∈B, γ≤β.

De ce th´eor`eme on tire le corollaire suivant.

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 11 Corollaire 1. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 4.7, ou bien A contient un plus grand ´el´ement ou B contient un plus petit ´el´ement.

La derni`ere ´etape est d’´etablir les propri´et´es de compl´etude P7 et P7*. On aura besoin des notions suivantes.

D´efinition 4.6.

SoitE⊂R.

a) On dit queE estborn´e sup´erieurement si

∃M ∈R tel que ∀x∈E, x≤M.

Un tel nombreM est appel´e une borne sup´erieure deE.

b) On dit queE estborn´e inf´erieurement si

∃m∈R tel que ∀x∈E, m≤x.

Un tel nombremest appel´e une borne inf´erieure deE.

c) Si E est born´e sup´erieurement et inf´erieurement, on dit queE est born´e.

D´efinition 4.7. a) Soit E ⊂ R un ensemble born´e sup´erieurement. On dit queb⁰∈Rest est la plus petite borne sup´erieure deE si

i) b⁰ est une borne sup´erieure deE,

ii) pour toute autre borne sup´erieureM 6=b⁰ deE, on ab⁰< M. La plus petite borne sup´erieureb⁰ deE est unique et sera not´ee supE.

b) SoitE ⊂Run ensemble born´e inf´erieurement. On dit que b0 ∈Rest est laplus grande borne inf´erieure deE si

i) b0 est une borne inf´erieure deE,

ii) pour toute autre borne inf´erieurem6=b0deE, on ab0> m.

La plus grande borne inf´erieureb0deEest unique et sera not´ee infE.

On peut maintenant donner la derni`ere propri´et´e deR.

Th´eor`eme 4.8(Propri´et´e P7 de compl´etude). Tout sous-ensembleE,∅6=E⊂R, born´e sup´erieurement poss`ede une plus petite borne sup´erieure supE∈R

On a ´evidemment la propri´et´eduale suivante.

Th´eor`eme 4.9 (Propri´et´e P7* de compl´etude). Tout sous-ensembleE,∅6=E⊂ R, born´e inf´erieurement poss`ede une plus grande borne inf´erieure infE∈R. D´emonstration de P7. On fait appel au Th´eor`eme de compl´etude de Dedekind 4.7 en construisant les ensemblesA etB `a partir deE de la fa¸con suivante :

A^d´=^ef{α∈R:∃x∈E tel queα < x} et B^d´=^efR\A.

Par d´efinition, aucun ´el´ement de A n’est une borne sup´erieure de E et tous les

´el´ements de B sont des bornes sup´erieures de E. Pour montrer que supE ∈ R, il suffit de montrer queB poss`ede un plus petit ´el´ement.

On voit que les hypoth`eses a) et b) du Th´eor`eme de compl´etude de Dedekind sont v´erifi´ees. Il reste `a v´erifier

c) A6=∅etB6=∅

d) siα∈Aet β∈B, alorsα < β.

CommeE6=∅, prenonsx∈E. AlorsA6=∅car il contient tous les α∈Rtel que α < x. D’autre part, puisque E est born´e sup´erieurement, il existe y ∈Rtel que x≤y pour toutx∈E. Par d´efinition,y∈B, B6=∅, et c) est v´erifi´ee.

Enfin, siα∈A, il existe x0∈E tel que α < x0. Siβ ∈B, il n’existe pas de x∈E tel queβ < x. Donc pour toutx∈E, on aβ ≥x. Finalement,α < x0≤β, α < β, et d) est v´erifi´ee. Les hypoth`eses a), b), c), et d) sont donc v´erifi´ees.

Par le Th´eor`eme de compl´etude de Dedekind, il existe un et un seulγ∈Rtel que

∀α∈A, α≤γ et ∀β ∈B, γ≤β.

De l`a, γ est une borne sup´erieure de A, et, ou bien γ ∈ A ou bien γ ∈ B. Par d´efinition, aucun ´el´ement deAn’est une borne sup´erieure deE et tous les ´el´ements deB sont des bornes sup´erieures deE.

On montre enfin queγ /∈Ace qui entraˆıne queγ∈B est la plus petite borne sup´erieure deE. Siγ∈A, alors il existeraitx∈E tel queγ < x. On pourrait alors choisirα∈Rtel queγ < α < x. Comme α < x, on aurait par d´efinitionα∈Aet γne serait pas une borne sup´erieure deA. Doncγ∈B.

D´emonstration de P7*. Par hypoth`ese, il existe une borneb∈Rtel que pour tout x ∈ E, on a b ≤ x. Donc pour toutx ∈ E, on a −x ≤ −b et −b est une borne sup´erieure de l’ensemble−E ^d´=^ef{−x:x∈E}. Par la propri´et´e P7 de compl´etude, il existe une plus petite borne sup´erieure

b⁰= sup−E∈R de−E etb⁰≤ −b. On a donc

∀x∈E, −x≤b⁰ ⇒ ∀x∈E, −b⁰≤x

et −b⁰ est une borne inf´erieure de E. Mais on a montr´e que pour toute borne inf´erieureb de E, on ab⁰≤ −b ou de fa¸con ´equivalenteb ≤ −b⁰. Donc −b⁰ est la plus grande borne inf´erieure deE et infE=−b⁰∈R.

4.2.4 R´eels ´etendus R

On peut introduire les points±∞en ´eliminant la condition i),

∅6=α$ Q,

de la D´efinition 4.1 de coupure. Ce faisant on introduit deux nouvelles coupures.

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 13 D´efinition 4.8.

Un ensembleα⊂Qde nombres rationnels est appel´e unecoupure ´etendue si ii) si on ap∈αetq∈Qtel que q < p, alorsq∈α,

iii) αne contient pas de plus grand rationnel.

On notera parRl’ensemble de toutes les coupures ´etendues deQ.

Avec cette nouvelle d´efinitionQet∅sont des coupures ´etendues que l’on notera

−∞^d´=^ef∅ et +∞^d´=^efQ.

Pour toute autre coupure ´etendueα, on a∅6=α$ Q et l’on retombe sur la notion de coupure de la D´efinition 4.1. On obtient donc

R=R∪{±∞}

et, de la D´efinition 4.3 d’ordre, on a, pour toutαtel que ∅6=α$ Q,

−∞=∅< α <Q= +∞.

4.3 Bornitudes, infimum et supremum

Maintenant que la construction de l’ensemble des r´eels a ´et´e esquiss´ee, on revient `a sa forme plus intuitive comme par exemple celle d’une droite orient´ee sur laquelle on a fix´e une origine 0.

On r´ep`ete donc les d´efinitions de bornitude, d’infimum et de supremum du paragraphe pr´ec´edents dans ce contexte.

D´efinition 4.9 (D´efinition 4.6).

SoitE⊂R.

a) On dit queE estborn´e sup´erieurement si

∃M ∈R tel que∀x∈E, x≤M.

Un tel nombreM est appel´e une borne sup´erieure deE.

b) On dit queE estborn´e inf´erieurement si

∃m∈R tel que ∀x∈E, m≤x.

Un tel nombremest appel´e une borne inf´erieure deE.

c) Si E est born´e sup´erieurement et inf´erieurement, on dit queE es t born´e.

Exemple 4.1. 1) SoitE^d´=^ef{1,2,3}. Alors 0 est une borne inf´erieure deE et πune borne sup´erieure.E est born´e.

2) Soit E ^d´=^ef{1/n:n∈N}. Alors 0 est une borne inf´erieure de E et 1 une borne sup´erieure.E est born´e.

3) SoitE^d´=^ef{p:p >0}. Alors 0 est une borne inf´erieure deE etE n’est pas born´e sup´erieurement.

4) Soit E^d´=^ef{p:p²<2}. Alors−2 est une borne inf´erieure de E et 3/2 une borne sup´erieure.

D´efinition 4.10(D´efinition 3.5).

a) Soit E⊂Run ensemble born´e sup´erieurement. On dit queb⁰ ∈Rest est laplus petite borne sup´erieure deEsi

i) b⁰est une borne sup´erieure deE,

ii) pour toute autre borne sup´erieureM 6=b⁰ deE, on a b⁰< M. La plus petite borne sup´erieureb⁰ deE est unique et sera not´ee supE.

b) SoitE ⊂Run ensemble born´e inf´erieurement. On dit queb0∈R est est laplus grande borne inf´erieure deE si

i) b0est une borne inf´erieure deE,

ii) pour toute autre borne inf´erieurem6=b0 deE, on ab0> m.

La plus grande borne inf´erieureb0 deEest unique et sera not´ee infE.

c) LorsqueE6=∅n’est pas born´e sup´erieurement, on posera supE= +∞.

LorsqueE6=∅n’est pas born´e inf´erieurement, on posera infE=−∞. Remarque 4.1.

Si E6=∅, alors −∞ ≤infE ≤supE≤+∞. Si E = ∅, alors par convention on posera inf∅= +∞et sup∅=−∞.

Th´eor`eme 4.10(Propri´et´es de compl´etude). Soit E,∅6=E⊂R. (i) Propri´et´es P7. E born´e sup´erieurement⇒ supE∈R (i) Propri´et´es P7*.E born´e inf´erieurement ⇒ infE∈R Exemple 4.2.

SoitE^d´=^ef{1,2,3}. Alors infE= 1∈E et supE= 3∈E.

LorsqueE est un ensemble fini, infE∈E et supE∈E. LorsqueE n’est pas un ensemble fini et que par exemple infE /∈E, il peut ˆetre int´eressant de construite unesuited’´el´ements de Equi converge vers infE. Dans ce cas, on peut utiliser les conditions ´equivalentes suivantes.

Th´eor`eme 4.11. Soit E⊂R.

a) b⁰ est la plus petite borne sup´erieurede E si et seulement si i) b⁰ est une borne sup´erieure deE,

ii’) pour tout M tel queb⁰> M, il existe x0∈E tel queb⁰≥x0> M. b) b0 est la plus grande borne inf´erieurede E si et seulement si

i) b0 est une borne inf´erieure deE,

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 15 ii’) pour toutmtel queb0< m, il existex0∈E tel queb0≤x0< m.

Exemple 4.3.

Par exemple sib⁰= supEest finie etb⁰∈/ E, on construit pour chaquen∈N,xn∈ Etel queb⁰≥xn > b⁰−1/n. Cette suite comporte un nombre infini d’´el´ements.

D´emonstration du Th´eor`eme 4.11. On d´emontre seulement a). Le cas b) est sem- blable. Il est aussi suffisant de d´emontrer l’´equivalence des conditions ii) et ii’) puisque la condition i) est commune.

ii)⇒ii’) De i), on sait queb⁰ est une borne sup´erieure deE. PourM tel que b⁰ > M, on sait de ii) que M n’est pas une borne sup´erieure de E car dans ce cas on auraitb⁰≤M. Il existe doncx0∈E tel que x0> M. Commeb⁰ est une borne sup´erieure deE, par i), on a aussib⁰≥x0et finalement b⁰≥x0> M.

ii)⇐ii’) De i), on sait queb⁰ est une borne sup´erieure deE. Supposons que M soit une borne sup´erieure de E tel que b⁰ > M. Alors de ii’), il existe x0 ∈E tel queb⁰≥x0> M. Ceci contredit le fait que M est une borne sup´erieure de E.

Doncb⁰≤M.

Exemple 4.4(Exemple 1.30 page 19).

Calculer leb0 d´ef

= supE de

E^d´=^ef

x∈R:x²<4 . Comme 0∈E, l’ensemble Eest non-vide.

b0 d´ef

= supE est possiblement +∞siE n’est pas born´e sup´erieurement.

Sib⁰>2 , alors

∃x∈E tel que b⁰≥x >2 ⇒ x²>4 ⇒ x /∈E (d’o`u contradiction).

Il reste donc les casb⁰≤2. Comme 0∈E,b⁰≥0 et donc 0≤b⁰≤2.

Sib⁰<2, on pose x^d´=^ef b⁰+ 2

2 ⇒ 0≤b⁰< x <| 2 {z⇒ x²<4}

puisquex≥0

⇒ x∈E

ce qui contredit le fait queb⁰= supE.

Il ne reste donc plus que le casb⁰= 2. On en conclut que supE= 2.

4.4 Densit´ e des rationnels et des irrationnels dans R

On a d´ej`a d´emontr´e le Th´eor`eme 4.1 qui dit qu’entre deux rationnels on peut toujours trouver un rationnel diff´erent des deux premiers. On va donner deux r´esultats analogues pour les r´eels.

Th´eor`eme 4.12. Soientaetb dansRtel quea < b.

i) (densit´e des nombres rationnels) Il existe r∈Qtel quea < r < b.

ii) (densit´e des nombres irrationnels) Il existe s∈R\Qtel quea < s < b.

Corollaire 1. Soientaetb dansRtel quea < b.

i) Il existe une infinit´e de nombres rationnels entreaetb.

ii) Il existe une infinit´e de nombres irrationnels entreaetb.

D´emonstration du Th´eor`eme 4.12. i) Puisqueb−a >0 et queRest archim´edien, il existe n∈N tel que n(b−a)>1, d’o`u b > a+ 1/n. Commena∈ R, il existe m∈Ztel quem−1≤na < m, d’o`u na < m≤na+ 1. En divisant parn, il vient

a < m

n ≤a+1 n < b.

On prendr=m/n∈Q.

ii) Puisquea < b, on a a−√

2< b−√

2 et de la partie i) il exister∈Qtel quea−√

2< r < b−√

2 ce qui entraˆınea < r+√

2< b. On prends=r+√ 2 qui est bien un irrationnel.

D´emonstration du Corollaire 1. i) On sait qu’il en existe au moins un. Supposons qu’il en existe un nombre finin≥1, c’est-`a-dire{ri}ⁿi=1⊂Qtel quea < r1< r2<

· · · < rn < b. On applique alors le Th´eor`eme 4.12 (i) au couple a < r1. Il existe r0 ∈Qtel quea < r0< r1. On a donc construit un autre rationnel entreaet bce qui contredit notre hypoth`ese.

ii) Mˆeme proc´ed´e pour les irrationnels.

4.5 Valeur absolue

On sait maintenant comment additionner, multiplier, et comparer les nombres r´eels. Il nous manque une moyen de mesurer l’´ecart ou la distance entre deux nombres.

D´efinition 4.11.

Lavaleur absolue dex∈Rque l’on d´esigne par|x| est d´efinie par

|x|^d´=^ef

(x, six≥0

−x, six <0.

On a imm´ediatement les r´esultats suivants.

Lemme 4.1. Pour tout x∈R, (i) | −x|=|x|,

(ii) −|x| ≤x≤ |x|.

(iii) Pour toutb≥0,|x| ≤b ⇐⇒ −b≤x≤b.

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 17 D´emonstration. (i) Par d´efinition.

(ii) Si x≥0, |x| =x≥0 et −|x| ≤0 ≤x=|x| ≤ |x|. Si x <0, alors −x >0 et donc

−| −x| ≤ −x≤ | −x|. Mais de (i)| −x|=|x|entraˆıne

−|x| ≤ −x≤ |x| ⇒ −|x| ≤x≤ |x|.

(iii) Six≥0, alors−b≤0≤x=|x| ≤b. Si x <0, alors−b≤0≤ −x=|x| ≤b ce qui entraˆıne

−b≤ −x≤b ⇒ −b≤x≤b.

On a les propri´et´es fondamentales suivantes. On verra plus loin qu’elles ca- ract´erisent unenorme.

Th´eor`eme 4.13. Pour toutxety dansR : (i) |x| ≥0;

(ii) |x|= 0⇐⇒x= 0; (iii) |xy|=|x||y|;

(iv) (in´egalit´e du triangle)|x+y| ≤ |x|+|y|.

D´emonstration. (i) Par d´efinition, six≥0,|x|=x≥0. Six <0,|x|=−x >0≥0.

(ii) (⇐) Comme de (i) 0 =|0| ≥0, on a|0|= 0. (⇒) On d´emontre l’implication inverse par contradiction :x6= 0⇒ |x|>0. Commex6= 0, alors ou bienx >0 ou bien x < 0. Dans le premier cas,|x| =x >0 ; dans le second cas, |x| =−x >0.

Donc, pour toutx6= 0, on a|x| 6= 0.

(iii) Il y a quatre cas.

1. (x ≥ 0 et y ≥ 0) Alors |x| = x, |y| = y et xy = |x||y| ≥ 0. Donc, par d´efintion de la valeur absolue,|xy|=xy et|xy|=|x||y|

2. (x≥0 ety <0) Alors|x|=x,|y|=−yet−xy=−yx= (−y)x=x(−y) =

|x||y| ≥0 par la propri´et´e P1 (multiplication). Donc, par d´efinition de la valeur absolue,|xy|=−xy=|x||y|.

3. (x <0 ety≥0) On interchange les rˆoles de xet ydu cas 2.

4. (x≤0 ety≤0) On prend l’oppos´e des rˆoles dexety du cas 1.

(iv) On a de (iii) du Lemme, −|x| ≤ x≤ |x| et −|y| ≤ y ≤ |y|. En additionnant,

−|x| − |y|=−(|x|+|y|)≤x+y≤ |x|+|y|. Le r´esultat suit du Lemme (iii) :|x+ y| ≤ ||x|+|y||=|x|+|y|.

4.6 Repr´ esentation d´ ecimale des nombres r´ eels

Il est pratique d’exprimer les nombres et plus particuli`erement les rationnels sous une forme compacte. On le fait en introduisant une base. La plus commune est la base 10. Par l’interm´ediaire de la division on a par exemple

5

2 = 2.5 = 2.5 0000. . . 1

7 = 0.142857 142857· · ·= 0 + 1 10¹ + 4

10²+ 2 10³ + 8

10⁴+ 5 10⁵ + 7

10⁵+. . .

=142857

10⁶ +142857 10¹² +. . .

−4

3 =−1.333· · ·=−1− 3

10¹ + 3 10²+ 3

10³ +. . .

Ce sont trois exemples de nombres rationnels. On remarquera qu’`a partir d’un certain rang il y a p´eriodicit´e des d´ecimales. Ce n’est cependant pas toujours le cas. Consid´erons par exemple le nombre irrationnel√

2 dont on peut construire les d´ecimales par encadrements successifs. En effet

1²<2<2²= 4 ⇒ 1<√ 2<2.

En subdivisant l’intervalle [1,2] en 10 parties de longueur 1/10, on trouve que 1.4<√

2<1.5 Consid´erons par exemple le nombre irrationnel√

2 dont on peut construire les d´ecimales par encadrements successifs. En effet

1²<2<2²= 4 ⇒ 1<√ 2<2.

En subdivisant l’intervalle [1,2] en 10 parties de longueur 1/10, on trouve que (1.4)²= 1.96<2<2.25 = (1.5)² ⇒ 1.4<√

2<1.5

En subdivisant l’intervalle [1.4,1.5] en 10 parties de longueur 1/100, on trouve que (1.41)²= 1.9881<2<2.0164 = (1.42)² ⇒ 1.41<√

2<1.42 En continuant le proc´ed´e on trouve, par exemple, que

1.414 213 562 4<√

2<1.414 213 562 5 On dit que 1.414 213 562 4. . . est un d´eveloppement d´ecimal de√

2. Par ce proc´ed´e, on n’entrevoit pas de p´eriodicit´e, mais cela ne d´emontre rien.

Un autre ph´enom`ene observable est que certains nombres ont deux d´eveloppements d´ecimaux distincts comme le montre l’exemple suivant

217

100= 2 + 1 10+ 7

100= 2.17 = 2.17 000000. . ..

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 19 Consid´erons maintenant le d´eveloppement p´eriodiquex= 2.169 999. . .. Alors

100x= 216.999. . . et 1000x= 2169.999. . . ⇒ 900x= 2169−216 = 1953 En simplifiant par 9 on obtientx= 1953/900 = 217/100. Il y a donc deux d´evelop- pements d´ecimaux pour le mˆeme rationnel. Lorsqu’il y a p´eriodicit´e des d´ecimales

`a partir d’un certain rang on ´ecrira les d´ecimales qui se r´ep`etent surmont´es d’un barre comme suit

1

7 = 0.142857| {z }142857| {z }· · ·= 0.142857

−4

3 =−1.333· · ·=−1.3 217

100 = 2.17 = 2.169 En particulier,x= 0.999. . ., 10x= 9.999. . ., 9x= 9. . ., et

1 = 0.999 999· · ·= 0.9.

poss`ede deux repr´esentations d´ecimales.

Th´eor`eme 4.14. Soient deux nombres r´eels x et y dans R de d´eveloppements d´ecimaux

x= 0, a1a2a3. . . y= 0, b1b2b3. . . Si on suppose que

1)∃ntel quean6=bn et

2)ni l’un ni l’autre ne se termine par une suite infinie de9 alors x6=y en tant que nombres r´eels.

Corollaire 1. Si un nombre r´eel poss`ede deux d´eveloppements d´ecimaux distincts, alors l’un deux se termine par des 9 et l’autre est fini.

D´emonstration du Th´eor`eme. On peut supposer sans perte de g´en´eralit´e quean>

bn. Donc

a1=b1, a2=b2, . . . , an−1=bn−1, an> bn.

On multiplie chaque nombre par 10ⁿ⁻¹et on enl`eve sa partie enti`ere. Commean>

bn, on aan≥bn+ 1 et Il vient

0, anan+1an+2. . .≥0, an00· · · ≥0, bn00· · ·+ 0,100. . .

≥0, an00· · · ≥0, bn00· · ·+ 0,099. . .= 0, bn99. . .

>0, bnbn+1bn+2. . .

⇒ 0, anan+1an+2· · ·>0, bnbn+1bn+2. . . d’o`ux > y.

D´emonstration du Corollaire. Il suffit de consid´erer un nombre r´eel 0≤x≤1. Par le Th´eor`eme l’un des deux d´eveloppements se termine par une suite infinie de 9, c’est-`a-dire

x= 0, a1. . . am999. . .

= 0, a1. . . am000· · ·+ 0,0. . .0999. . .

= 0, a1. . . am000· · ·+ 0,0. . .1000. . .

= 0, a1. . .(am+ 1)000. . . et le d´eveloppement est fini.

D´efinition 4.12.

Un d´eveloppement d´ecimal de la forme n0, a1a2. . . an

| {z }

n≥0

b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

. . .

o`u la partieb1b2. . . bmse r´ep`ete `a l’infini est ditp´eriodique : 1. p´eriodique pur sin= 0

2. p´eriodique mixte (ou´eventuellement p´eriodique) sin≥1.

Exemple 4.5.

Le rationnel 1/7 est p´eriodique pur avecn= 0 et 1

7 = 0,142857| {z }

m=6

142857

| {z }

m=6

. . .= 0,142857

Le rationnel 33/100 poss`ede deux d´eveloppements : 33

100= 0,|{z}33

n=2

|{z}0

m=1

|{z}0

m=1

. . .= 0.330 33

100= 0,|{z}32

n=2

|{z}9

m=1

|{z}9

m=1

. . .= 0.329

Th´eor`eme 4.15. x∈Radmet un d´eveloppement d´ecimal p´eriodique ⇐⇒ x∈Q. D´emonstration. Il suffit de consid´erer lesx >0.

(⇒) Soit un nombre r´eel x ∈ R avec le d´eveloppement d´ecimal p´eriodique suivant

x=n0, a1a2. . . an

| {z }

n≥0

b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

. . .

4. Nombres r´eelsR(+,·, <) 21 On a

10ⁿx= n0a1a2. . . an

| {z }

n≥0

, b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

. . . 10^n+mx=n0a1a2. . . an

| {z }

n≥0

b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

, b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

b1b2. . . bm

| {z }

m≥1

. . . D’o`u

(10^n+m−10ⁿ)x=N0d´ef

=n0a1a2. . . anb1b2. . . bm−n0a1a2. . . an∈N∪{0}

⇒ x= N0

10ⁿ(10^m−1) ∈Q.

D´emonstration. (suite) (⇐) On consid`ere un nombrex∈Q,x >0 de forme r´eduite p/q,q >0 etp >0, et de d´eveloppement d´ecimal

x= p

q =n0, k1k2k3. . .

S’il existei0tel que pour tout i≥i0,ki= 9, alors le d´eveloppement d´ecimal de x est p´eriodique par d´efinition. Sinon, on proc`ede comme suit :

0≤ p

q−n0= 0, k1k2k3. . . <1.

En multipliant parq >0, on ne change pas les in´egalit´es et on obtient un entier 0≤p−n0q

| {z }

∈N∪{0}

=q· {0, k1k2k3. . .}< q.

On recommence en multipliant par 10.

0≤10 p

q −n0

=k1, k2k3k4. . .⇒0≤10 p

q −n0

−k1= 0, k2k3k4· · ·<1 En multipliant parq > 0, on ne change pas les in´egalit´es et on obtient un nouvel entier en regroupant les parties enti`eres

0≤10(p−n0q)−qk1

| {z }

∈N∪{0}

=q· {0, k2k3k4. . .}< q

On poursuit ainsi en multipliant successivement par 10², 10³, etc. On obtient ainsi (par exemple, par induction math´ematique) :

∀i≥1, 0≤q· {0, kiki+1ki+2. . .}< q

⇒ ∀i≥1, q· {0, kiki+1ki+2. . .} ∈ {0,1, . . . , q−1}. Comme{0,1, . . . , q−1} est fini, Il existe un couple (i, j), 1≤i < j, tel que

q· {0, kiki+1ki+2. . .}=q· {0, kjkj+1kj+2. . .}

Il existe un couple (i, j), 1≤i < j, tel que

q· {0, kiki+1ki+2. . .}=q· {0, kjkj+1kj+2. . .}

⇒ ∀ℓ≥0, ki+ℓ=kj+ℓ=ki+ℓ+(j−i),

⇒ ∀ℓ≥0, ki+ℓ=ki+ℓ+(j−i)=kj+ℓ+(j−i)=ki+ℓ+2(j−i),

⇒ ∀N ≥0,∀ℓ≥0, ki+ℓ+N(j−i)=ki+ℓ

⇒ ∀N ≥0,∀ℓ, 0≤ℓ < j−i, ki+ℓ+N(j−i)=ki+ℓ.

Le d´eveloppement est donc ´eventuellement p´eriodique de p´eriodej−ide la forme x= p

q =n0, k1k2. . . ki−1

| {z }

n=i−1

kiki+1. . . ki+(j−i)−1

| {z }

m=j−i≥1

kjkj+1. . . kj+(j−i)−1

| {z }

m=j−i≥1

. . .

puisque

kj =ki, kj+1=ki+1, . . . , kj+(j−i)−1=ki+(j−i)−1 =kj−1.

5 Exercices

Exercice 5.1(W. Rudin[1, exercice 1, p. 21]).

Montrer que sir∈Qets∈R\Q, alorsr+s∈R\Qetrs∈R\Q∪{0}. Exercice 5.2(W. Rudin[1, exercice 5, p. 21]).

SoitA,∅6=A⊂Ret

−A^d´=^ef{−a:a∈A}. Montrer que infA=−sup(−A).

Chapitre 2

Quelques notions ensemblistes et alg´ ebriques

1 Relation, application et fonction

1.1 Application et fonction

La d´efinition usuelle en math´ematiques d’une fonction est ensembliste et pr´e- suppose essentiellement celle de couple et de produit cart´esien.

D´efinition 1.1. (i) Une relation ou graphe fonctionnel est un triplet (E, F, Y) tel que

F ⊂E×Y.

Le domaine¹deF est

X^d´=^ef{x∈E:∃y∈Y tel que (x, y)∈F} et l’image dex∈X

Im (x)^d´=^ef{y∈Y : tel que (x, y)∈F}. (ii) On associe `a chaquex∈X le sous-ensemble unique Im (x) deY

x7→f(x)^d´= Im (x) :^ef X → P(Y),

o`uP(Y) d´enote l’ensemble des sous-ensembles deY. On appelleraf l’ap- plication multivoque<sup>2</sup>associ´ee au triplet (E, F, Y) parce qu’elle fait corres- pondre `a chaque point du domaineX plusieurs points deY.

1. La notation usuelle estDF plutˆot queX.

2. Set-valued analysis ou multivalued analysis en anglais. La pratique de permette `a une fonction en math´ematiques de signifier aussi une fonction multivoque a ´et´e oubli´ee dans la premi`ere moiti´e du XX^e s‘ecle. On peut en appr´ecier l’´evolution dans les diff´erentes versions de G. H. Hardy[1] commen¸cant en 1921. Cette th´eorie fut syst´ematiquement d´evelopp´ee pour la premi`ere foisC. Berge[1] en 1959. On en palpe les retomb´ees avec les ´equations diff´erentielles multivoques et lath´eorie de la viabilit´edansJ. P. AubinetA. Cellina[1] en 1984. Cette analyse devient aussi centrale en th´eorie de l’optimisation avec l’introduction de la notion desous-gradient en analyse convexe. On peut trouver un traitement fort complet de l’analyse multivoque dans J. P. AubinetH. Frankowska[1].

23

(iii) On d´efinit l’image d’un sous-ensembleAdeX par

f(A)^d´=^ef{y ∈Y :∃x∈Atel que (x, y)∈F}. (1.1) L’association `a chaqueA⊂X de l’imagef(A) deA

A7→f(A) :P(X)→ P(Y), (1.2) o`uP(X) d´enote l’ensemble des sous-ensembles deX, est appel´eeapplica- tion induite que l’on d´esignera par la mˆeme notationf. On d´efinit aussi l’application inverse induite :

B 7→f⁻¹(B)^d´=^ef{x∈X:∃y∈B tel que (x, y)∈F}:P(Y)→ P(X).

(1.3) (iv) Lorsque pour chaquex∈X, Im (x) est un singleton, on associe `a chaque

x∈X le seul point{f(x)}= Im (x)∈Y :

x7→f(x) :X →Y. (1.4)

On dira quef est uneapplication oufonction deX dansY. Une application oufonction f est donc

(i) la donn´ee de deux ensembles,

• l’ensemble de d´epartX et

• l’ensemble d’arriv´eeY,

(ii) et d’une relation associant `a chaque ´el´ementxde l’ensemble de d´epartX un et un seul ´el´ement de l’ensemble d’arriv´eeY, que l’on appelle image de xparf et que l’on note f(x)

∈Xx 7→f(x)

∈Y

. On dit alors quef est une application deX dansY (not´eef:X →Y),

ou encore une application `a arguments dans X et `a valeurs dansY.

D´efinition 1.2. (i) L’image d’une applicationf :X →Y est la collection des f(x) pourxparcourantX; c’est le sous-ensemble deY :

Im (f)^d´=^ef{f(x) :x∈X} ⊂Y.

(ii) Le graphe d’une applicationf :X →Y est le sous-ensemble du produit cart´esienX×Y constitu´e des couples (x, f(x)) pour xvariant dansX

G(f)^d´=^ef{(x, f(x)) :x∈X} ⊂X×Y.

1. Relation, application et fonction 25

D´efinition 1.3.

Soitf :X →Y une application.

(i) f est injective si

∀x1, x2∈X tel que f(x1) =f(x2), on ax1=x2. (ii) f est surjective si

∀y∈Y,∃x∈X tel que f(x) =y.

(iii) f est bijective sif est `a la fois injective et surjective.

Lorsquef est bijective l’application inverse ou r´eciproque f⁻¹:Y →X

est bien d´efinie.

Le terme fonction est souvent utilis´e pour les applications `a valeurs num´eriques, r´eelles ou complexes, c’est-`a-dire lorsque l’ensemble d’arriv´ee estRouC. On parle alors de fonction r´eelle ou de fonction complexe.

La notion de fonction en tant que correspondance entre deux types d’objet est relativement ancienne. Mais le terme n’apparait qu’`a la fin du XVII<sup>e</sup> si`ecle sous la plume de Leibniz en 1694, il s’agit alors de fonction associ´ee `a une courbe g´eom´etrique : Leibniz dit ainsi que l’abscisse, l’ordonn´ee ou le rayon de courbure d’une courbe en un pointM est une fonction du pointM.

A la mˆeme ´epoque, Newton parle de fluente pour des quantit´es d´ependant` d’une variable qu’il appelle le temps (tout en pr´ecisant que le rˆole jou´e par le temps, peut l’ˆetre par une autre quantit´e).

La notation sous la formef ne s’est pas mise en place tout de suite. Jean Ber- noulli propose d’appelerXla fonction dex, Leibniz invente une notation permettant de travailler sur plusieurs fonctions diff´erentes :x|1 etx|2 sont ainsi deux fonctions d´ependant de x. La notation f x apparait chez Euler en 1734. Les fonctions sont alors toujours `a valeurs num´eriques (r´eelles ou complexes) et poss`edent en outre des propri´et´es restrictives (li´ees `a une ´equation alg´ebrique, continuit´e eul´erienne, d´eveloppable en s´erie enti`ere...).

En pratique, la communaut´e math´ematique dans son ensemble continue `a uti- liser ces deux termes dans leur sens historique, le terme fonction ´etant utilis´e comme synonyme du terme application dans le cas particulier o`u l’ensemble d’arriv´ee est R ou C (l’ensemble de d´epart ´etant syst´ematiquement pris ´egal au domaine de d´efinition).

1.2 Relation binaire et relation d’´ equivalence

Une relation binaireRdans un ensembleAest, intuitivement, une proposition tel que pour chaque couple ordonn´e (a, b) d’´el´ements deA, on puisse d´eterminer si a R b(aest en relationRavecb) est ou n’est pas vrai. On exprime ceci formellement enlangage ensembliste.