Université Paris Descartes
6 octobre 2009
Quatrième partie IV
Les nombres complexes
Conjugaison Module
Racine carrée des nombres complexes Argument
Représentation de la multiplication Exponentielle complexe
Racines des nombres complexes Trigonométrie
Le théorème fondamental de l’algèbre
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )
Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
⇒ a.b = (− a ) . (− b )
Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif
Dans R , un carré est toujours positif
L’équation X 2 + 1 = 0 n’a pas de racine.
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif
Dans R , un carré est toujours positif
L’équation X 2 + 1 = 0 n’a pas de racine.
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )
Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
⇒ a.b = (− a ) . (− b )
Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif
Dans R , un carré est toujours positif
L’équation X 2 + 1 = 0 n’a pas de racine.
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )
Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
L’équation X 2 + 1 = 0 n’a pas de racine.
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )
Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
⇒ a.b = (− a ) . (− b )
Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif
Dans R , un carré est toujours positif
L’équation X 2 + 1 = 0 n’a pas de racine.
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )
Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
⇒ a.b = (− a ) . (− b )
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )
Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
⇒ a.b = (− a ) . (− b )
Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif
Dans R , un carré est toujours positif
L’équation X 2 + 1 = 0 n’a pas de racine.
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )
Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
⇒ a.b = (− a ) . (− b )
Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif
Dans R , un carré est toujours positif
Les nombres complexes Introduction
La règle des signes
Soit a, et b ∈ R
+É
0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )
⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )
Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif
É
0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )
⇒ a.b = (− a ) . (− b )
Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif
Dans R , un carré est toujours positif
L’équation X 2 + 1 = 0 n’a pas de racine.
Les nombres complexes Introduction
On appelle i une racine carrée de −1 : i 2 = −1
On définit l’ensemble des nombres complexes comme :
C = { z = x + iy | x, y ∈ R , i 2 = −1}
Les nombres complexes Introduction
On appelle i une racine carrée de −1 : i 2 = −1
On définit l’ensemble des nombres complexes comme : C = { z = x + iy | x, y ∈ R , i 2 = −1}
É
x est la partie réelle de z , notée : x = ℜ ( z )
É
y est la partie imaginaire de z , notée : y = ℑ ( z )
É
z + z
0= ( x + iy ) + ( x
0+ iy
0) = x + x
0+ i ( y + y
0)
É
z.z
0= ( x + iy ) . ( x
0+ iy
0) = x.x
0− y.y
0+ i ( x.y
0+ x
0.y )
É
x + iy = x
0+ iy
0⇔ x = x
0et y = y
0É
( x + iy ) . ( x − iy ) = x
2+ y
2É
Si x + iy 6 = 0 :
x+1iy=
xx2−+iyy2=
x2+xy2+ i
−yx2+y2
Les nombres complexes Opérations surC
Propriétés des opérations sur C
É
z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0
É
z + z
0= ( x + iy ) + ( x
0+ iy
0) = x + x
0+ i ( y + y
0)
É
z.z
0= ( x + iy ) . ( x
0+ iy
0) = x.x
0− y.y
0+ i ( x.y
0+ x
0.y )
É
x + iy = x
0+ iy
0⇔ x = x
0et y = y
0É
( x + iy ) . ( x − iy ) = x
2+ y
2É
Si x + iy 6 = 0 :
x+1iy=
xx2−+iyy2=
x2+xy2+ i
−yx2+y2
Sinon pour y 6 = 0 : i = − x y ∈ R
É
z + z
0= ( x + iy ) + ( x
0+ iy
0) = x + x
0+ i ( y + y
0)
É
z.z
0= ( x + iy ) . ( x
0+ iy
0) = x.x
0− y.y
0+ i ( x.y
0+ x
0.y )
É
x + iy = x
0+ iy
0⇔ x = x
0et y = y
0É
( x + iy ) . ( x − iy ) = x
2+ y
2É
Si x + iy 6 = 0 :
x+1iy=
xx2−+iyy2=
x2+xy2+ i
−yx2+y2
ℜ ( z + z
0) = ℜ ( z ) + ℜ ( z
0) et ℑ ( z + z
0) = ℑ ( z ) + ℑ ( z
0)
Les nombres complexes Opérations surC
Propriétés des opérations sur C
É
z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0
É
z + z
0= ( x + iy ) + ( x
0+ iy
0) = x + x
0+ i ( y + y
0)
É
z.z
0= ( x + iy ) . ( x
0+ iy
0) = x.x
0− y.y
0+ i ( x.y
0+ x
0.y )
É
x + iy = x
0+ iy
0⇔ x = x
0et y = y
0É
( x + iy ) . ( x − iy ) = x
2+ y
2É
Si x + iy 6 = 0 :
x+1iy=
xx2−+iyy2=
x2+xy2+ i
−yx2+y2
ℜ ( z.z
0) = ℜ ( z ) . ℜ ( z
0) − ℑ ( z ) ℑ ( z
0) et
ℑ ( z.z
0) = ℜ ( z ) ℑ ( z
0) + ℜ ( z
0) ℑ ( z )
É
z + z
0= ( x + iy ) + ( x
0+ iy
0) = x + x
0+ i ( y + y
0)
É
z.z
0= ( x + iy ) . ( x
0+ iy
0) = x.x
0− y.y
0+ i ( x.y
0+ x
0.y )
É
x + iy = x
0+ iy
0⇔ x = x
0et y = y
0É
( x + iy ) . ( x − iy ) = x
2+ y
2É
Si x + iy 6 = 0 :
x+1iy=
xx2−+iyy2=
x2+xy2+ i
−yx2+y2
Puisque : x + iy = x
0+ iy
0⇔ x − x
0+ i ( y − y
0) = 0
Les nombres complexes Opérations surC
Propriétés des opérations sur C
É
z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0
É
z + z
0= ( x + iy ) + ( x
0+ iy
0) = x + x
0+ i ( y + y
0)
É
z.z
0= ( x + iy ) . ( x
0+ iy
0) = x.x
0− y.y
0+ i ( x.y
0+ x
0.y )
É
x + iy = x
0+ iy
0⇔ x = x
0et y = y
0É
( x + iy ) . ( x − iy ) = x 2 + y 2
É
Si x + iy 6 = 0 :
x+1iy=
xx2−+iyy2=
x2+xy2+ i
−yx2+y2
É
z + z
0= ( x + iy ) + ( x
0+ iy
0) = x + x
0+ i ( y + y
0)
É
z.z
0= ( x + iy ) . ( x
0+ iy
0) = x.x
0− y.y
0+ i ( x.y
0+ x
0.y )
É
x + iy = x
0+ iy
0⇔ x = x
0et y = y
0É
( x + iy ) . ( x − iy ) = x 2 + y 2
É
Si x + iy 6 = 0 : x
+1 iy = x x
2−+iy y
2= x
2+x y
2+ i
−y
x
2+y
2ℜ ( 1 z ) = ℜ( z
)ℜ(
2+ℑ(z
)z
)2et ℑ ( 1 z ) = ℜ( z
−ℑ()2+ℑ(z
)z
)2Les nombres complexes Les nombres complexes représentés dans le plan
Représentation des nombres complexes
Soit z = a + ib ∈ C .
Le nombre complexe z s’appelle l’affixe du point M de coordonnées ( a , b ) dans le plan.
y
1 x 1
O
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
Les nombres complexes Représentation de l’addition des complexes
Représentation des nombres complexes
y
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
a+a0 b+b0
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
a+a0
Les nombres complexes Représentation de l’addition des complexes
Représentation des nombres complexes
y
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
a+a0
b+b0 S(z+z0)
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
Les nombres complexes Représentation de l’addition des complexes
Représentation des nombres complexes
y
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
M00(−z0)
−a0
−b0
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
M00(−z0)
−a0
−b0 a−a0
b−b0
Les nombres complexes Représentation de l’addition des complexes
Représentation des nombres complexes
y
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
M00(−z0)
−a0
−b0 a−a0
b−b0
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
M00(−z0)
−a0
−b0 a−a0
b−b0 D(z−z0)
Les nombres complexes Conjugaison
Soit z = x + iy ∈ C .
On appelle nombre complexe conjugué de z , le nombre :
¯
z = x − iy
O
M(z)
x y
Les nombres complexes Conjugaison
Soit z = x + iy ∈ C .
On appelle nombre complexe conjugué de z , le nombre :
¯
z = x − iy
O
M(z)
x y
M0(¯z)
−y
= + = −
É
ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z )
É
ℜ ( z ) =
12( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) =
21i( z − z ¯ )
É
z ∈ R ⇔ z = ¯ z
É
z ∈ R = C \ R ⇔ z + ¯ z = 0
É
(¯ z ) = z, ( z + z
0) = ¯ z + ¯ z
0, ( z.z
0) = ¯ z.¯ z
0Les nombres complexes Conjugaison
Conjugué : règles de calcul
z = x + iy z ¯ = x − iy
É
ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z )
É
ℜ ( z ) = 1 2 ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = 2 1 i ( z − z ¯ )
É
z ∈ R ⇔ z = ¯ z
É
z ∈ R = C \ R ⇔ z + ¯ z = 0
É
(¯ z ) = z, ( z + z
0) = ¯ z + ¯ z
0, ( z.z
0) = ¯ z.¯ z
0= + = −
É
ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z )
É
ℜ ( z ) = 1 2 ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = 2 1 i ( z − z ¯ )
É
z ∈ R ⇔ z = ¯ z
É
z ∈ R = C \ R ⇔ z + ¯ z = 0
É
(¯ z ) = z, ( z + z
0) = ¯ z + ¯ z
0, ( z.z
0) = ¯ z.¯ z
0Les nombres complexes Conjugaison
Conjugué : règles de calcul
z = x + iy z ¯ = x − iy
É
ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z )
É
ℜ ( z ) = 1 2 ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = 2 1 i ( z − z ¯ )
É
z ∈ R ⇔ z = ¯ z
É
z ∈ R = C \ R ⇔ z + ¯ z = 0
É
(¯ z ) = z, ( z + z
0) = ¯ z + ¯ z
0, ( z.z
0) = ¯ z.¯ z
0= + = −
É
ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z )
É
ℜ ( z ) = 1 2 ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = 2 1 i ( z − z ¯ )
É
z ∈ R ⇔ z = ¯ z
É
z ∈ R = C \ R ⇔ z + ¯ z = 0
É
(¯ z ) = z, ( z + z
0) = ¯ z + ¯ z
0, ( z.z
0) = ¯ z.¯ z
0Les nombres complexes Module
Module d’un nombre complexe
On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :
| z | = p
z. ¯ z = p x 2 + y 2
| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |
É
| z | = 0 ⇔ z = 0
É
| z.z
0| = | z | . | z
0|
É
| z + z
0| ≤ | z | + | z
0|
| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |
É
| z | = 0 ⇔ z = 0
É
| z.z
0| = | z | . | z
0|
É
| z + z
0| ≤ | z | + | z
0|
Les nombres complexes Module
Module d’un nombre complexe
On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :
| z | = p
z. ¯ z = p x 2 + y 2
| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |
É
| z | = 0 ⇔ z = 0
É
| z.z
0| = | z | . | z
0|
É
| z + z
0| ≤ | z | + | z
0|
x 2 + y 2 = 0 ⇔ x = y = 0
| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |
É
| z | = 0 ⇔ z = 0
É
| z.z
0| = | z | . | z
0|
É
| z + z
0| ≤ | z | + | z
0|
| z.z
0| 2 = ( z.z
0) . ( z.z
0) = ( z.z
0) . (¯ z.¯ z
0) = ( z.¯ z ) . ( z
0.¯ z
0) = | z | 2 . | z
0| 2
Les nombres complexes Module
Module d’un nombre complexe
On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :
| z | = p
z. ¯ z = p x 2 + y 2
| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |
É
| z | = 0 ⇔ z = 0
É
| z.z
0| = | z | . | z
0|
É
| z + z
0| ≤ | z | + | z
0|
| z + z
0| 2 = ( z + z
0) . ( z + z
0) = z.¯ z + z.¯ z
0+ z
0.¯ z + z
0.¯ z
0= | z | 2 + 2ℜ ( z. ¯ z
0) + | z
0| 2
≤ | z | 2 + 2| z | . | z
0| + | z
0| 2 = ( | z | + | z
0| ) 2
O
M(z)
r √ = x
2+ y
2x
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
Racine carrée d’un complexe
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées
opposées.
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
Racine carrée d’un complexe
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.
Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i
2 xy = 4
É
D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
Racine carrée d’un complexe
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.
Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i On cherche z = x + i y tel que z 2 = 3 + 4 i
É
( x + i y )
2= x
2− y
2+ 2 i xy = 3 + 4 i
É
x et y sont donc solutions du système : x
2− y
2= 3
2 xy = 4
É
D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )
Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i On cherche z = x + i y tel que z 2 = 3 + 4 i
É
( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 i xy = 3 + 4 i
É
x et y sont donc solutions du système : x
2− y
2= 3
2 xy = 4
É
D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
Racine carrée d’un complexe
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.
Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i On cherche z = x + i y tel que z 2 = 3 + 4 i
É
( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 i xy = 3 + 4 i
É
x et y sont donc solutions du système : x 2 − y 2 = 3
2 xy = 4
É
D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )
Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i On cherche z = x + i y tel que z 2 = 3 + 4 i
É
( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 i xy = 3 + 4 i
É
x et y sont donc solutions du système : x 2 − y 2 = 3
2 xy = 4
É
D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
Racine carrée d’un complexe
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.
Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) 2 = a + i b
É
( x + i y )
2= x
2− y
2+ 2 i xy = a + i b
É
x et y sont donc solutions du système : x
2− y
2= a
2 xy = b
É
On a l’équation supplémentaire : x
2+ y
2= p a
2+ b
2(parce que | x + i y |
2= | a + i b |) qui permet de calculer x
2et y
2.
É
L’équation 2 xy = b permet alors de trouver le signe de x
et y .
Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) 2 = a + i b
É
( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 i xy = a + i b
É
x et y sont donc solutions du système : x
2− y
2= a
2 xy = b
É
On a l’équation supplémentaire : x
2+ y
2= p a
2+ b
2(parce que | x + i y |
2= | a + i b |) qui permet de calculer x
2et y
2.
É
L’équation 2 xy = b permet alors de trouver le signe de x
et y .
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
Racine carrée d’un complexe
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.
Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) 2 = a + i b
É
( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 i xy = a + i b
É
x et y sont donc solutions du système : x 2 − y 2 = a
2 xy = b
É
On a l’équation supplémentaire : x
2+ y
2= p a
2+ b
2(parce que | x + i y |
2= | a + i b |) qui permet de calculer x
2et y
2.
É
L’équation 2 xy = b permet alors de trouver le signe de x
et y .
Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) 2 = a + i b
É
( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 i xy = a + i b
É
x et y sont donc solutions du système : x 2 − y 2 = a
2 xy = b
É
On a l’équation supplémentaire : x 2 + y 2 = p a 2 + b 2 (parce que | x + i y | 2 = | a + i b |) qui permet de calculer x 2 et y 2 .
É
L’équation 2 xy = b permet alors de trouver le signe de x
et y .
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
Racine carrée d’un complexe
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.
Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) 2 = a + i b
É
( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 i xy = a + i b
É
x et y sont donc solutions du système : x 2 − y 2 = a
2 xy = b
É
On a l’équation supplémentaire : x 2 + y 2 = p a 2 + b 2 (parce que | x + i y | 2 = | a + i b |) qui permet de calculer x 2 et y 2 .
É
L’équation 2 xy = b permet alors de trouver le signe de x
et y .
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
L’équation du second degré
a z 2 + b z + c = 0 , a 6 = 0 , b, c ∈ C
= a z + 2 a
2 −
4 a 2 = 0
Les racines sont donc les nombres complexes z , tels que z +
b
2 a soit une racine carrée de ∆
4 a 2
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
L’équation du second degré
a z 2 + b z + c = 0 , a 6 = 0 , b, c ∈ C
a z 2 + b z + c = a z 2 + b a
z + c a
= 0
= a z + b 2 a
2
−
b 2 − 4 ac 4 a 2
= 0
= a z + b 2 a
2
− ∆ 4 a 2
= 0
Les racines sont donc les nombres complexes z , tels que z +
b
2 a soit une racine carrée de ∆
4 a 2
a z 2 + b z + c = a z 2 + b a
z + c a
= 0
= a z + b 2 a
2
−
b 2 − 4 ac 4 a 2
= 0
= a z + b 2 a
2
− ∆ 4 a 2
= 0
Les racines sont donc les nombres complexes z , tels que z +
b
2 a soit une racine carrée de ∆
4 a 2
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
L’équation du second degré
Quand a , b et c sont réels, on a les solutions (complexes) suivantes :
Si ∆ > 0, les deux racines sont :
z 1 = − b + p
∆
2 a et z 2 = − b − p
∆ 2 a
Si ∆ < 0, les deux racines sont :
z 1 = − b + i p
− ∆
2 a et z 2 = − b − i p
− ∆ 2 a Si ∆ = 0, il y a une racine double :
z = −
b
2 a
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
L’équation du second degré
Quand a , b et c sont réels, on a les solutions (complexes) suivantes :
Si ∆ > 0, les deux racines sont :
z 1 = − b + p
∆
2 a et z 2 = − b − p
∆ 2 a Si ∆ < 0, les deux racines sont :
z 1 = − b + i p
− ∆
2 a et z 2 = − b − i p
− ∆
2 a
Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes
L’équation du second degré
Quand a , b et c sont réels, on a les solutions (complexes) suivantes :
Si ∆ > 0, les deux racines sont :
z 1 = − b + p
∆
2 a et z 2 = − b − p
∆ 2 a Si ∆ < 0, les deux racines sont :
z 1 = − b + i p
− ∆
2 a et z 2 = − b − i p
− ∆ 2 a Si ∆ = 0, il y a une racine double :
z = −
b
2 a
O
M(z)
r √ = x
2+ y
2x
Les nombres complexes Argument
Argument d’un nombre complexe
O θ
M(z)
r √ = x
2+ y
2x
y
O θ
M(z)
r √ = x
2+ y
2x
x = r. cos θ
y = r. sin θ
Les nombres complexes Argument
Argument d’un nombre complexe
On appelle argument du nombre complexe z = x + iy , la seule solution θ, 0 ≤ θ < 2 π , du système :
cos θ = p x
x
2+y
2sin θ = p y
x
2+y
2Notation : θ = arg ( z )
Les nombres complexes Argument
Écriture trigonométrique des nombres complexes
Un nombre complexe peut s’écrire de deux manières : 1. algébrique : z = x + iy, x, y ∈ R
2. trigonométrique :
z = r ( cos θ + i sin θ ) , r ∈ R
+, 0 ≤ θ < 2 π
Les nombres complexes Argument
Écriture trigonométrique des nombres complexes
Un nombre complexe peut s’écrire de deux manières : 1. algébrique : z = x + iy, x, y ∈ R
2. trigonométrique :
z = r ( cos θ + i sin θ ) , r ∈ R
+, 0 ≤ θ < 2 π
Remarque : Le choix 0 ≤ θ < 2 π est un choix arbitraire, on
peut tout aussi bien choisir : − π ≤ θ < π ou ...
Un nombre complexe peut s’écrire de deux manières : 1. algébrique : z = x + iy, x, y ∈ R
2. trigonométrique :
z = r ( cos θ + i sin θ ) , r ∈ R
+, 0 ≤ θ < 2 π
Remarque : Le choix 0 ≤ θ < 2 π est un choix arbitraire, on
peut tout aussi bien choisir : − π ≤ θ < π ou ...
Les nombres complexes Argument
Exemples
É
z = 1 + i r = | z | = p
1 2 + 1 2 = p 2 Donc :
z = p 2 (
p1 2 + i
p1
2 ) = p 2 (
p
2 2 + i
p
2
2 ) = p 2 ( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ))
É
z = 3 + i p 3 r = | z | = Æ
3
2+ ( p 3 )
2= p 12 = 2 p 3 Donc :
z = 2 p 3 (
32p 3
+ i
p3 2p
3
) = 2 p 3 (
p3 2
+ i
12
) = 2 p 3 ( cos (
π6)+ i sin (
π6))
É
z = 1 − i p 3 r = | z | = Æ
1
2+ ( p 3 )
2= p 4 = 2 Donc :
z = 2 (
12− i
p3
2
) = 2 ( cos (
53π) + i sin (
53π))
1 1 1 2 Donc :
z = p 2 (
p1 2+ i
p12
) = p 2 (
p2 2
+ i
p2
2
) = p 2 ( cos (
π4) + i sin (
π4))
É
z = 3 + i p 3 r = | z | = Æ
3 2 + ( p 3 ) 2 = p 12 = 2 p 3 Donc :
z = 2 p 3 ( 3
2
p3 + i
p
3 2
p3 ) = 2 p 3 (
p
3 2 + i 1
2 ) = 2 p 3 ( cos ( π 6 )+ i sin ( π 6 ))
É
z = 1 − i p 3 r = | z | = Æ
1
2+ ( p 3 )
2= p 4 = 2 Donc :
z = 2 (
12− i
p3
2
) = 2 ( cos (
53π) + i sin (
53π))
Les nombres complexes Argument
Exemples
É
z = 1 + i r = | z | = p
1
2+ 1
2= p 2 Donc :
z = p 2 (
p1 2+ i
p12
) = p 2 (
p2 2
+ i
p2
2
) = p 2 ( cos (
π4) + i sin (
π4))
É
z = 3 + i p 3 r = | z | = Æ
3
2+ ( p 3 )
2= p 12 = 2 p 3 Donc :
z = 2 p 3 (
32p 3
+ i
p3 2p
3
) = 2 p 3 (
p3 2
+ i
12
) = 2 p 3 ( cos (
π6)+ i sin (
π6))
É
z = 1 − i p 3 r = | z | = Æ
1 2 + ( p 3 ) 2 = p 4 = 2 Donc :
z = 2 ( 1 2 − i
p
3
2 ) = 2 ( cos ( 5 3 π ) + i sin ( 5 3 π ))
θ 0 π 6
π 4
π 3
π 2 sin θ
p 0 2
p 1 2
p 2 2
p 3 2
p 4 2 cos θ
p 4 2
p 3 2
p 2 2
p 1 2
p 0
2
Les nombres complexes Représentation de la multiplication
Multiplication sous forme trigonométrique
Soit : z = r ( cos θ + i sin θ ) , z
0= r
0( cos θ
0+ i sin θ
0)
zz
0= rr
0[( cos θ cos θ
0− sin θ sin θ
0) + i ( cos θ sin θ
0+ sin θ cos θ
0)]
= rr
0[ cos ( θ + θ
0) + i sin ( θ + θ
0)]
k=n
Y
k=1
[ r
k( cos θ
k+ i sin θ
k)] = h
k=n
Y
k=1
r
ki h cos
k=n
X
k=1
θ
k + i sin
k=n
X
k=1
θ
ki
[ r ( cos θ + i sin θ )]
n= r
n cos ( nθ ) + i sin ( nθ )
O x P(z
P)
θ
r
PLes nombres complexes Représentation de la multiplication
y
O x
A(z
A) P(z
P)
α
θ
r
PO x
A(z
A) P(z
P)
α
α θ + θ
r
PLes nombres complexes Représentation de la multiplication
Multiplication sous forme trigonométrique
Soit : z = r ( cos θ + i sin θ ) , z
0= r
0( cos θ
0+ i sin θ
0)
zz
0= rr
0[( cos θ cos θ
0− sin θ sin θ
0) + i ( cos θ sin θ
0+ sin θ cos θ
0)]
= rr
0[ cos ( θ + θ
0) + i sin ( θ + θ
0)]
k
=n
Y
k
=1
[ r k ( cos θ k + i sin θ k )] = h
k
=n
Y
k
=1
r k i h cos
k
=n
X
k
=1
θ k + i sin
k
=n
X
k
=1
θ k i
[ r ( cos θ + i sin θ )]
n= r
n cos ( nθ ) + i sin ( nθ )
zz
0= rr
0[( cos θ cos θ
0− sin θ sin θ
0) + i ( cos θ sin θ
0+ sin θ cos θ
0)]
= rr
0[ cos ( θ + θ
0) + i sin ( θ + θ
0)]
k
=n
Y
k
=1
[ r k ( cos θ k + i sin θ k )] = h
k
=n
Y
k
=1
r k i h cos
k
=n
X
k
=1
θ k + i sin
k
=n
X
k
=1
θ k i
[ r ( cos θ + i sin θ )] n = r n cos ( nθ ) + i sin ( nθ )
Les nombres complexes Représentation de la multiplication
Mathématiques et calcul 1 er semestre
Université Paris Descartes
3 novembre 2009
On définit l’ensemble des nombres complexes comme : C = { z = x + iy | x, y ∈ R , i 2 = −1}
É
x est la partie réelle de z , notée : x = ℜ ( z )
É
y est la partie imaginaire de z , notée : y = ℑ ( z )
Les nombres complexes Représentation de la multiplication
Représentation des nombres complexes
y
O x
M(z)
a b
M0(z0) a0 b0
a+a0
b+b0 S(z+z0)
O
M(z)
x y
M0(¯z)
−y
Les nombres complexes Représentation de la multiplication
Module d’un nombre complexe
On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :
| z | = p
z. ¯ z = p x 2 + y 2
| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |
É
| z | = 0 ⇔ z = 0
É
| z.z
0| = | z | . | z
0|
É
| z + z
0| ≤ | z | + | z
0|
| z + z
0| 2 = ( z + z
0) . ( z + z
0) = z.¯ z + z.¯ z
0+ z
0.¯ z + z
0.¯ z
0= | z | 2 + 2ℜ ( z. ¯ z
0) + | z
0| 2
≤ | z | 2 + 2| z | . | z
0| + | z
0| 2 = ( | z | + | z
0| ) 2
Les nombres complexes Représentation de la multiplication
Argument d’un nombre complexe
On appelle argument du nombre complexe z = x + iy , la seule solution θ, 0 ≤ θ < 2 π , du système :
cos θ = p x
x
2+y
2sin θ = p y
x
2+y
2Notation : θ = arg ( z )
Un nombre complexe peut s’écrire de deux manières : 1. algébrique : z = x + iy, x, y ∈ R
2. trigonométrique :
z = r ( cos θ + i sin θ ) , r ∈ R
+, 0 ≤ θ < 2 π
Remarque : Le choix 0 ≤ θ < 2 π est un choix arbitraire, on
peut tout aussi bien choisir : − π ≤ θ < π ou ...
Les nombres complexes Représentation de la multiplication
Multiplication sous forme trigonométrique
Soit : z = r ( cos θ + i sin θ ) , z
0= r
0( cos θ
0+ i sin θ
0)
zz
0= rr
0[( cos θ cos θ
0− sin θ sin θ
0) + i ( cos θ sin θ
0+ sin θ cos θ
0)]
= rr
0[ cos ( θ + θ
0) + i sin ( θ + θ
0)]
k=n
Y
k=1
[ r
k( cos θ
k+ i sin θ
k)] = h
k=n
Y
k=1
r
ki h cos
k=n
X
k=1
θ
k + i sin
k=n
X
k=1
