Mathématiques et calcul 1er semestre

(1)

Mathématiques et calcul 1

^er

semestre

Université Paris Descartes

22 septembre 2009

Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 1 / 79

(2)

Cours

François Patte

francois.patte@mi.parisdescartes.fr

Horaires :

É

Lundi 12h00 — 13h30 Amphi Delmas

É

Mardi 15h15 — 16h45 Amphi Weiss

http://www.mi.parisdescartes.fr/~patte lien : Enseignement

(3)

Cours

François Patte

francois.patte@mi.parisdescartes.fr

Horaires :

É

Lundi 12h00 — 13h30 Amphi Delmas

É

Mardi 15h15 — 16h45 Amphi Weiss

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(4)

Calendrier

Vacances

1. du 25 octobre au 1^er novembre 2. du 20 décembre au 3 janvier 2010

Fin des cours et TD : 9 janvier 2010

(5)

Calendrier

Contrôles

3 contrôles :

1. CC1 : mardi 20 octobre 17h — 18h30 2. CC2 : mardi 24 novembre 17h — 18h30 3. CC3 : semaine du 11 janvier. Heure et lieu à

préciser.

Note finale : E =

CC1+CC2+2CC3 4

(6)

Première partie I

Préliminaires

(7)

1 Un peu de logique Vocabulaire

Connecteurs logiques

2 Ensembles

3 Quantificateurs

4 Application

5 Dénombrements

(8)

Un peu de logique Vocabulaire

Assertion

Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai ou faux.

Exemples d’assertions :

É Paris est la capitale de la France

Assertion vraie

É 2<7

Assertion vraie

É 3 est un nombre pair

Assertion fausse

N’est pas une assertion :

É Le chocolat, c’est bon...

(9)

Assertion

É Paris est la capitale de la France

Assertion vraie

É 2<7

Assertion vraie

Assertion fausse N’est pas une assertion :

(10)

Assertion

É Paris est la capitale de la France Assertion vraie

É 2<7

Assertion vraie

(11)

Assertion

É 2<7

Assertion vraie

(12)

Assertion

É 2<7 Assertion vraie

(13)

Assertion

(14)

Assertion

É 3 est un nombre pair Assertion fausse

N’est pas une assertion :

(15)

Assertion

É 3 est un nombre pair Assertion fausse N’est pas une assertion :

(16)

Proposition

Soit l’assertion :

x2>4

Cette assertion est :

É Vraie six <−2 ou si x >2

É Fausse dans tous les autres cas

Une assertion dont la vérité dépend de variable(s) s’appelle uneproposition

(17)

Proposition

x2>4 Cette assertion est :

É Vraie six <−2 ou six >2

(18)

Proposition

(19)

Proposition

(20)

Proposition

Le travail mathématique consiste (souvent) à établir dans quelles conditions une proposition est vraie ou fausse :

démonstration

(21)

Démonstration

Exemple : démonstration de la proposition précédente.

Chercher lesxpour lesquelsx2>4 revient à chercher lesx pour lesquelsx²−4>0

É Les racines de l’équation x2−4=0 sont 2 et−2.

É Un trinôme du second degré,ax²+bx+c, est du signe de asixest à l’extérieur des racines. Ici,a=1

É Doncx2>4 six <−2 ou si x >2

(22)

Démonstration

(23)

Démonstration

(24)

Démonstration

(25)

Démonstration

(26)

Un peu de logique Connecteurs logiques

Négation

La négationd’une propositionPest :

É vraie lorsquePest fausse

É fausse lorsquePest vraie

Notations : nonP ou : ¬P

(27)

Négation

É fausse lorsquePest vraie

Notations : nonP ou : ¬P

(28)

Négation

É fausse lorsquePest vraie Notations : nonP ou : ¬P

(29)

Négation

Table de vérité

On résume dans une table de vérité: P nonP

V F

F V

(30)

Conjonction

La conjonctionde deux propositions PetQest :

É vraie, si les deux propositions sontsimultanément vraies

É fausse dans tous les autres cas

Notations : PetQ ou :P∧Q

(31)

Conjonction

Notations : PetQ ou :P∧Q

(32)

Conjonction

É fausse dans tous les autres cas Notations : PetQ ou :P∧Q

(33)

Conjonction

Table de vérité

P Q Pet Q

V V V

V F F

F V F

F F F

(34)

Disjonction

La disjonctionde deux propositions Pet Qest :

É vraie, si au moinsune des deux propositions est vraie

Notations : PouQ ou :P∨Q

(35)

Disjonction

Notations : PouQ ou :P∨Q

(36)

Disjonction

É fausse dans tous les autres cas Notations : PouQ ou :P∨Q

(37)

Disjonction

Table de vérité

P Q Pou Q

V V V

V F V

F V V

F F F

(38)

Implication

La proposition : "nonPou Q" s’appelle uneimplication.

Notations : P⇒Q

On lit :PimpliqueQ ou : PentraîneQ

SiP⇒Qest vrai, on dit que c’est un théorème dont Pest l’hypothèseet Qest laconclusion.

(39)

Implication

Notations : P⇒Q

(40)

Implication

Notations : P⇒Q

(41)

Implication

Notations : P⇒Q

(42)

Implication

Table de vérité

P Q nonP P⇒Q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

(43)

Équivalence

Deux propositionsPet Qsont équivalentessi chacune d’elles implique l’autre.

Pet Qsont donc toutes les deux simultanément vraies ou simultanément fausses

Notations : P⇔Q Exemples :

É non(nonP)⇔P

É (P⇒Q)⇔((nonQ)⇒(nonP))

Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle la contraposéede la première.

(44)

Équivalence

(45)

Équivalence

Notations : P⇔Q

Exemples :

(46)

Équivalence

(47)

Équivalence

(48)

Équivalence

Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle la

(49)

Équivalence

Table de vérité

P Q nonP nonQ P⇒Q Q⇒P P⇔Q

V V F F V V V

V F F V F V F

F V V F V F F

F F V V V V V

(50)

Ensembles

Un ensembleest une "collection" d’éléments.

Un ensemble Eest bien définisi on possède un critère permettant de dire sans ambiguïté si un objetaest un élément de Eou n’est pas élément un de E.

On écrira respectivement : a∈E

aappartient àE aest un élément deE

a6∈E

an’appartient pas àE an’est pas un élément deE

(51)

Ensembles

a6∈E

(52)

Ensembles

a6∈E

(53)

Ensembles

Important :

Un objet mathématique ne peut être à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble.

L’écriture : a∈a est donc interdite.

(54)

Ensembles

Important :

Un objet mathématique ne peut être à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble.

L’écriture : a∈a est donc interdite.

(55)

Ensembles

Égalité

Deux ensembles Eet F sont égaux s’ils possèdent les mêmes éléments.

On écrit :E=F

(56)

Ensembles

Égalité

Deux ensembles Eet F sont égaux s’ils possèdent les mêmes éléments.

On écrit :E=F

(57)

Ensembles

Écriture

Pour écrire un ensemble,

É on énumère ses éléments :

E={a, b, c, d, e}

Remarque : l’ordre n’a pas d’importance : E={a, b, c, d, e}={d, a, c, b, e}

É on définit ses éléments par une propriété qu’ils ont en commun : l’ensemble des nombres pairs

E={p∈N|p=2n, n∈N}

(58)

Ensembles

Écriture

E={a, b, c, d, e}

(59)

Ensembles

Écriture

E={a, b, c, d, e}

(60)

Ensembles

Écriture

E={a, b, c, d, e}

(61)

Ensembles

Écriture

On note {a} l’ensemble qui n’a qu’un seul élémenta. On appelle cet ensemble unsingleton, le singletona.

On doit distinguer l’ensemble {a} de l’élémenta, sinon on devrait écrire :

a={a}∈{a} Ce qui est interdit !

Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide. Noté : ∅

Quel que soit l’élémenta,

É l’assertiona∈∅ est toujours fausse

É l’assertiona6∈∅ est toujours vraie

(62)

Ensembles

Écriture

On note {a} l’ensemble qui n’a qu’un seul élémenta. On appelle cet ensemble unsingleton, le singletona. On doit distinguer l’ensemble {a} de l’élémenta, sinon on devrait écrire :

Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide. Noté : ∅

(63)

Ensembles

Écriture

Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide.

Noté : ∅

(64)

Ensembles

Écriture

Noté : ∅ Quel que soit l’élémenta,

(65)

Ensembles

Écriture

Noté : ∅ Quel que soit l’élémenta,

(66)

Ensembles

Inclusion

On dit qu’un ensembleF estinclus dans l’ensembleE, lorsque tout élément de F est un élément deE.

On écrit :

F⊂E On dit :

É F est inclus dansE

É F est une partie deE

É F est un sous-ensemble deE

(67)

Ensembles

Inclusion

On écrit :

F⊂E

On dit :

(68)

Ensembles

Inclusion

On écrit :

F⊂E On dit :

(69)

Ensembles

Inclusion

On écrit :

F⊂E On dit :

(70)

Ensembles

Inclusion

On écrit :

F⊂E On dit :

(71)

Ensembles

Inclusion

Pour tout ensembleE et tout objet mathématiquex, la proposition :

x∈∅ ⇒ x∈E est toujours vraie.

Donc pour tout ensemble E, on a toujours l’inclusion :

∅⊂E On a aussi toujours :

E⊂E Exemple d’inclusion :

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

(72)

Ensembles

Inclusion

Donc pour tout ensembleE, on a toujours l’inclusion :

∅⊂E

On a aussi toujours :

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

(73)

Ensembles

Inclusion

E⊂E

Exemple d’inclusion :

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

(74)

Ensembles

Inclusion

(75)

Ensembles

Complémentaire

Soit Eun ensemble et Aune partie deE, on appelle complémentaire de Apar rapport àE, l’ensemble des éléments deE qui n’appartiennent pas àA.

Notations : û^EA, A^c, A,¯ E\A Connecteur logique :non, ¬ Exemples :

û^EE=∅, _û_E∅=E, _û_R{0}=R^∗

(76)

Ensembles

Complémentaire

Notations : û^EA, A^c, A,¯ E\A

Connecteur logique :non, ¬ Exemples :

û^EE=∅, _û_E∅=E, _û_R{0}=R^∗

(77)

Ensembles

Complémentaire

Notations : û^EA, A^c, A,¯ E\A Connecteur logique :non, ¬

Exemples :

û^EE=∅, _û_E∅=E, _û_R{0}=R^∗

(78)

Ensembles

Complémentaire

Notations : û^EA, A^c, A,¯ E\A Connecteur logique :non, ¬ Exemples :

û^EE=∅, _û_E∅=E, _û_R{0}=R^∗

(79)

Ensembles

Ensemble des parties

Toutes les parties d’un ensemble Eforment un ensemble : l’ensemble des parties de E

Notation :P(E)

A⊂E⇔A∈P(E)

a∈E⇔{a}⊂E⇔{a}∈P(E) Pour tout ensembleE :

∅∈P(E) E∈P(E)

(80)

Ensembles

Notation :P(E)

A⊂E⇔A∈P(E)

∅∈P(E) E∈P(E)

(81)

Ensembles

Notation :P(E)

A⊂E⇔A∈P(E)

∅∈P(E) E∈P(E)

(82)

Ensembles

Notation :P(E)

A⊂E⇔A∈P(E)

a∈E⇔{a}⊂E⇔{a}∈P(E)

Pour tout ensembleE :

∅∈P(E) E∈P(E)

(83)

Ensembles

Notation :P(E)

A⊂E⇔A∈P(E)

∅∈P(E) E∈P(E)

(84)

Ensembles

Intersection

L’intersectionde deux ensemblesEet F est l’ensemble des élémentscommuns à Eet F.

Notation :E∩F On a donc :

x∈E∩F⇔(x∈E et x∈F) Connecteur logique : et, ∧

L’intersection de deux ensembles peut être vide, on dit alors que les deux ensembles sontdisjoints.

(85)

Ensembles

Intersection

Notation :E∩F

On a donc :

(86)

Ensembles

Intersection

x∈E∩F⇔(x∈E et x∈F)

Connecteur logique : et, ∧

(87)

Ensembles

Intersection

(88)

Ensembles

Intersection

(89)

Ensembles

Réunion

La réunionde deux ensemblesEet F est l’ensemble des élémentsappartenant à au moins un des deux ensemblesE ou F.

Notation :E∪F On a donc :

x∈E∪F⇔(x∈E ou x∈F) Connecteur logique : ou, ∨

(90)

Ensembles

Réunion

Notation :E∪F

On a donc :

(91)

Ensembles

Réunion

x∈E∪F⇔(x∈E ou x∈F)

Connecteur logique : ou, ∨

(92)

Ensembles

Réunion

(93)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Propriétés

Soit A,B etC trois parties d’un ensembleE. L’intersection et la réunion sont commutatives:

É A∩B=B∩A

É A∪B=B∪A

(94)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Propriétés

Soit A,B etC trois parties d’un ensembleE. L’intersection et la réunion sont associatives:

É A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

=A∩B∩C

É A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

=A∪B∪C

(95)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Propriétés

Soit A,B etC trois parties d’un ensembleE. L’intersection et la réunion sont associatives:

É A∩(B∩C) = (A∩B)∩C=A∩B∩C

É A∪(B∪C) = (A∪B)∪C=A∪B∪C

(96)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Propriétés

Soit A,B etC trois parties d’un ensembleE.

L’intersection est distributivepar rapport à la réunion : A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

(97)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Propriétés

Soit A,B etC trois parties d’un ensembleE.

La réunion estdistributivepar rapport à l’intersection : A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

(98)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Complémentaires

Soit Aet Bdeux parties d’un ensembleE.

Le complémentaire de l’intersection deA etB est la réunion des complémentaires deA etB :

(A∩B)^C=A^C∪B^C

(99)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Complémentaires

Le complémentaire de l’intersection deA etB est la réunion des complémentaires deA etB :

(A∩B)^C=A^C∪B^C

(100)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Complémentaires

Le complémentaire de la réunion deA etB est l’intersection des complémentaires deA etB :

(A∪B)^C=A^C∩B^C

(101)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensembles

Complémentaires

Le complémentaire de la réunion deA etB est l’intersection des complémentaires deA etB :

(A∪B)^C=A^C∩B^C

(102)

Ensembles

Produit cartésien

Soit deux ensemblesE etF, leproduit cartésiende ces deux ensembles est l’ensemble descouples(x , y) où x∈Eet y∈F.

Notation :E×F

E×F={(x , y) | x∈E, y∈F}

Important : l’ordre des éléments du couple doit être respecté : (x , y)6= (y , x)

(103)

Ensembles

Produit cartésien

Soit deux ensemblesE etF, leproduit cartésiende ces deux ensembles est l’ensemble descouples(x , y) où x∈Eet y∈F. Notation :E×F

E×F={(x , y) | x∈E, y∈F}

Important : l’ordre des éléments du couple doit être respecté : (x , y)6= (y , x)

(104)

Ensembles

Produit cartésien

Soit deux ensemblesE etF, leproduit cartésiende ces deux ensembles est l’ensemble descouples(x , y) où x∈Eet y∈F. Notation :E×F

E×F={(x , y) | x∈E, y∈F}

Important: l’ordre des éléments du couple doit être respecté : (x , y)6= (y , x)

(105)

Ensembles

Produit cartésien

E F

(x,y) y

x

(y,x)

y x

(106)

Ensembles

Produit cartésien

E F

(x,y) y

x

(y,x)

y x

(107)

Quantificateurs

Deux symboles à connaître :

∀ :quel que soit

É ∀n∈N^, ⁿ≥0 : quel que soit l’entier natureln, nest positif ou nul.

É SoitA,Bet C trois parties d’un ensembleE : C⊂A∩B⇔(∀x∈C, x∈A et x∈B)

(108)

Quantificateurs

∀ :quel que soit

(109)

Quantificateurs

∀ :quel que soit

(110)

Quantificateurs

∃ : il existe

É ∃n∈N^, ⁿ≥3 : il existe un entier naturel supérieur ou égal à 3.

É SoitA,Bdeux parties d’un ensemble E: A∩B6=∅⇔(∃x∈E: x∈A et x∈B)

(111)

Quantificateurs

∃ : il existe

(112)

Quantificateurs

∃ : il existe

(113)

Quantificateurs

Ordre

Important: quand on utilise plusieurs quantificateurs, leur ordre d’écriture est important.

É ∀x∈R^, ∃y∈R^: ^{y > x}

Proposition vraie

É ∃x∈R^, ∀y∈R^: ^{y > x}

Proposition fausse

(114)

Quantificateurs

Ordre

É ∀x∈R^, ∃y∈R^: ^{y > x}

Proposition vraie

É ∃x∈R^, ∀y∈R^: ^{y > x}

Proposition fausse

(115)

Quantificateurs

Ordre

É ∀x∈R^, ∃y∈R^: ^{y > x} Proposition vraie

É ∃x∈R^, ∀y∈R^: ^{y > x}

Proposition fausse

(116)

Quantificateurs

Ordre

É ∃x∈R^, ∀y∈R^: ^{y > x}

Proposition fausse

(117)

Quantificateurs

Ordre

É ∃x∈R^, ∀y∈R^: ^{y > x} Proposition fausse

(118)

Quantificateurs

Négation

Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on intervertit les ∀ et les ∃ et on nie les assertions :

la proposition :

non(∀x∈R^, ∃y∈R^: ^{y > x}⁾ est :

∃x∈R^, ∀y∈R^: ^y≤x

(119)

Quantificateurs

Négation

Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on intervertit les ∀ et les ∃ et on nie les assertions :

la proposition :

non(∀x∈R^, ∃y∈R^: ^{y > x}⁾ est :

∃x∈R^, ∀y∈R^: ^y≤x

(120)

Application

Applications

Soit deux ensemblesE etF. Uneapplicationf de Edans F associe à tout élémentxde Eau plus un élément de F, noté f(x).

Notation :

f : E −→ F x → f(x)

É E est l’ensemble de départ def

É F est l’ensemble d’arrivée def

É f(x) est l’image dexdans F

É xest l’antécédent def(x)

(121)

Application

Applications

Soit deux ensemblesE etF. Uneapplicationf de Edans F associe à tout élémentxde Eau plus un élément de F, noté f(x).

Notation :

f : E −→ F x → f(x)

É Eest l’ensemble de départ de f

É F est l’ensemble d’arrivée def

É f(x) est l’image dexdans F

É xest l’antécédent def(x)