Mathématiques et calcul 1er semestre

Mathématiques et calcul 1 ^er semestre

Université Paris Descartes

6 novembre 2009

Sixième partie VI

Fonctions dérivables

1 La dérivée Définitions

Dérivée à droite et à gauche Autre expression pour la dérivabilité Dérivation et continuité

Dérivée et opérations Exercices

Dérivées successives

2 Utilisation de la dérivée

Extrema locaux d’une fonction Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis

La dérivée Définitions

y

x

y

x x x0

f(x)

f(x0) α

tanα=f(x)−f(x0) x−x0

La dérivée Définitions

y

x x x0

f(x)

f(x0) α

tanα=f(x)−f(x0) x−x0

y

x x x0

f(x)

f(x0) α

tanα=f(x)−f(x0) x−x0

La dérivée Définitions

y

x x x0

f(x)

f(x0) α

tanα=f(x)−f(x0) x−x0

y

x x x0

f(x)

f(x0) α

tanα=f(x)−f(x0) x−x0

La dérivée Définitions

y

x x x0

f(x)

f(x0) α

tanα=f(x)−f(x0) x−x0

y

x0 x

f(x0) α

tanα=f(x)−f(x0) x−x0

La dérivée Définitions

Dérivée en un point

Soit I un intervalle ouvert, f : I 7−→ R et x

∈ I . On dit que f est dérivable en x

si la limite de :

f ( x ) − f ( x

) x − x

est finie quand x tend vers x

Notation : f

( x

) =

lim

0

f ( x ) − f ( x

) x − x

f

( x

) s’appelle le nombre dérivé de f en x

.

La dérivée Définitions

Dérivée en un point

Soit I un intervalle ouvert, f : I 7−→ R et x

∈ I . On dit que f est dérivable en x

si la limite de :

f ( x ) − f ( x

) x − x

est finie quand x tend vers x

Notation : f

( x

) =

lim

0

f ( x ) − f ( x

) x − x

0

s’appelle le nombre dérivé de en

.

La dérivée Définitions

Dérivée en un point

Soit I un intervalle ouvert, f : I 7−→ R et x

∈ I . On dit que f est dérivable en x

si la limite de :

f ( x ) − f ( x

) x − x

est finie quand x tend vers x

Notation : f

( x

) =

lim

0

f ( x ) − f ( x

) x − x

f

( x

) s’appelle le nombre dérivé de f en x

.

La dérivée Définitions

Fonction dérivée

Soit I un intervalle ouvert, f : I 7−→ R et x

∈ I .

On dit que f est dérivable sur I si, quel que soit x

∈ I , f est dérivable en x

.

f

: I 7−→ R

x 7−→ f

( x )

s’appelle la dérivée de f

La dérivée Définitions

Fonction dérivée

Soit I un intervalle ouvert, f : I 7−→ R et x

∈ I .

On dit que f est dérivable sur I si, quel que soit x

∈ I , f est dérivable en x

.

Dans ce cas la fonction :

f

: I 7−→ R

x 7−→ f

( x )

s’appelle la dérivée de f

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

La dérivée Définitions

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

La dérivée Définitions

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

La dérivée Définitions

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

La dérivée Définitions

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

La dérivée Définitions

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

Le graphe d’une fonction dérivable

y

x

La dérivée Dérivée à droite et à gauche

Dérivée à droite

Soit I un intervalle ouvert, f : I 7−→ R et x

∈ I ou x

est une extrémité de I .

On dit que f est dérivable à droite en x

si f ( x ) − f ( x

)

x − x

a une limite à droite quand x tend vers x

.

Notation : f

d

( x

) = lim

x→x⁺

0

f ( x ) − f ( x

)

x − x

Dérivée à gauche

Soit I un intervalle ouvert, f : I 7−→ R et x

∈ I ou x

est une extrémité de I .

On dit que f est dérivable à gauche en x

si f ( x ) − f ( x

)

x − x

a une limite à gauche quand x tend vers x

.

Notation : f

g

( x

) = lim

x→x⁻

0

f ( x ) − f ( x

)

x − x

La dérivée Dérivée à droite et à gauche

Proposition : Soit I un intervalle ouvert, f : I 7−→ R et x

∈ I ou x

est une extrémité de I .

f est dérivable en x

si, et seulement si, f

d

( x

) = f

g

( x

)

Fonction non-dérivable

y

x

La dérivée Autre expression pour la dérivabilité

Si on pose : x − x

= h :

f ( x ) − f ( x

) x − x

=

f ( x

+ h ) − f ( x

) h

f

( x

) =

lim

0

f ( x ) − f ( x

) x − x

= lim

h→0

f ( x

+ h ) − f ( x

) h

h

lim

f ( x

+ h ) − f ( x

)

h − f

( x

) = 0

La dérivée Autre expression pour la dérivabilité

Si on pose : x − x

= h : f ( x ) − f ( x

)

x − x

=

f ( x

+ h ) − f ( x

) h

f

( x

) =

lim

0

x − x

= lim

h→0

h

h

lim

f ( x

+ h ) − f ( x

)

h − f

( x

) = 0

La dérivée Autre expression pour la dérivabilité

Si on pose : x − x

= h : f ( x ) − f ( x

)

x − x

=

f ( x

+ h ) − f ( x

) h

f

( x

) =

lim

0

f ( x ) − f ( x

) x − x

= lim

h→0

f ( x

+ h ) − f ( x

) h

h

lim

f ( x

+ h ) − f ( x

)

h − f

( x

) = 0

Si on pose : x − x

= h : f ( x ) − f ( x

)

x − x

=

f ( x

+ h ) − f ( x

) h

f

( x

) =

lim

0

f ( x ) − f ( x

) x − x

= lim

h→0

f ( x

+ h ) − f ( x

) h

h

lim

f ( x

+ h ) − f ( x

)

h − f

( x

) = 0

La dérivée Autre expression pour la dérivabilité

Pour h ∈ R , on pose :







α ( h ) =

f ( x

+ h ) − f ( x

)

h − f

( x

) α ( 0 ) = 0

f ( x

+ h ) = f ( x

) + hf

( x

) + hα ( h )

Donc : si f est dérivable en x

, il existe une fonction α , continue en 0, telle que :

f ( x

+ h ) = f ( x

) + hf

( x

) + hα ( h ) Et : lim

h→0

α ( h ) = 0

La dérivée Autre expression pour la dérivabilité

Pour h ∈ R , on pose :







α ( h ) =

f ( x

+ h ) − f ( x

)

h − f

( x

) α ( 0 ) = 0

f ( x

+ h ) = f ( x

) + hf

( x

) + hα ( h )

continue en 0, telle que :

f ( x

+ h ) = f ( x

) + hf

( x

) + hα ( h ) Et : lim

h→0

α ( h ) = 0

La dérivée Autre expression pour la dérivabilité

Pour h ∈ R , on pose :







α ( h ) =

f ( x

+ h ) − f ( x

)

h − f

( x

) α ( 0 ) = 0

f ( x

+ h ) = f ( x

) + hf

( x

) + hα ( h )

Donc : si f est dérivable en x

, il existe une fonction α , continue en 0, telle que :

f ( x

+ h ) = f ( x

) + hf

( x

) + hα ( h ) Et : lim

h→0

α ( h ) = 0

Proposition : Si on fonction est dérivable en x

, elle est

continue en x

La dérivée Dérivation et continuité

Proposition : Si on fonction est dérivable en x

, elle est continue en x

Si f est dérivable en x

, il existe une fonction α , continue en 0, telle que : α ( 0 ) = 0 et f ( x

+ h ) = f ( x

) + hf

( x

) + hα ( h )

Donc : lim

0

f ( x ) = f ( x

)

Proposition : Si on fonction est dérivable en x

, elle est continue en x

Si f est dérivable en x

, il existe une fonction α , continue en 0, telle que : α ( 0 ) = 0 et f ( x

+ h ) = f ( x

) + hf

( x

) + hα ( h )

Donc : lim

0

f ( x ) = f ( x

)

La dérivée Dérivation et continuité

Proposition : Si on fonction est dérivable en x

, elle est continue en x

Attention : Une fonction dérivable est continue ; le contraire est

faux (la réciproque de cette proposition n’existe pas).

Fonction continue non-dérivable

y

O x

|x|

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivées de la somme et du produit

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et x

∈ I .

Si f et g sont dérivables en x

, alors :

É

f + g est dérivable en x

et : ( f + g )

( x

) = f

( x

) + g

( x

) ( f + g )

= f

+ g

É

f .g est dérivable en x

et : ( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

= f

.g + f .g

Dérivées de la somme et du produit

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et x

∈ I .

Si f et g sont dérivables en x

, alors :

É

f + g est dérivable en x

et : ( f + g )

( x

) = f

( x

) + g

( x

) ( f + g )

= f

+ g

É

f .g est dérivable en x

et : ( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

= f

.g + f .g

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivées de la somme et du produit

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et x

∈ I .

Si f et g sont dérivables en x

, alors :

É

f + g est dérivable en x

et : ( f + g )

( x

) = f

( x

) + g

( x

) ( f + g )

= f

+ g

É

f .g est dérivable en x

et : ( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

= f

.g + f .g

Dérivées de la somme et du produit

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et x

∈ I .

Si f et g sont dérivables en x

, alors :

É

f + g est dérivable en x

et : ( f + g )

( x

) = f

( x

) + g

( x

) ( f + g )

= f

+ g

É

f .g est dérivable en x

et : ( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

= f

.g + f .g

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivées de la somme et du produit

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et x

∈ I .

Si f et g sont dérivables en x

, alors :

É

f + g est dérivable en x

et : ( f + g )

( x

) = f

( x

) + g

( x

) ( f + g )

= f

+ g

É

f .g est dérivable en x

et : ( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

= f

.g + f .g

Dérivées de la somme et du produit

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et x

∈ I .

Si f et g sont dérivables en x

, alors :

É

f + g est dérivable en x

et : ( f + g )

( x

) = f

( x

) + g

( x

) ( f + g )

= f

+ g

É

f .g est dérivable en x

et : ( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

= f

.g + f .g

La dérivée Dérivée et opérations

( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

( x

) =

lim

0

( f .g )( x ) − ( f .g )( x

) x − x

( f .g )( x ) − ( f .g )( x

)

x − x

=

€

f ( x ) g ( x ) − f ( x

) g ( x )

+

f ( x

) g ( x ) − f ( x

) g ( x

)

x − x

=

f ( x ) − f ( x

) x − x

g ( x ) + f ( x

)

g ( x ) − g ( x

)

x − x

La dérivée Dérivée et opérations

( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

( x

) =

lim

0

( f .g )( x ) − ( f .g )( x

) x − x

x − x

=

x − x

=

f ( x ) − f ( x

) x − x

g ( x ) + f ( x

)

g ( x ) − g ( x

)

x − x

La dérivée Dérivée et opérations

( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

( x

) =

lim

0

( f .g )( x ) − ( f .g )( x

) x − x

( f .g )( x ) − ( f .g )( x

)

x − x

=

€

f ( x ) g ( x ) − f ( x

) g ( x )

+

f ( x

) g ( x ) − f ( x

) g ( x

)

x − x

=

f ( x ) − f ( x

) x − x

g ( x ) + f ( x

)

g ( x ) − g ( x

)

x − x

( f .g )

( x

) = f

( x

) .g ( x

) + f ( x

) .g

( x

)

( f .g )

( x

) =

lim

0

( f .g )( x ) − ( f .g )( x

) x − x

( f .g )( x ) − ( f .g )( x

)

x − x

=

€

f ( x ) g ( x ) − f ( x

) g ( x )

+

f ( x

) g ( x ) − f ( x

) g ( x

)

x − x

=

f ( x ) − f ( x

) x − x

g ( x ) + f ( x

)

g ( x ) − g ( x

)

x − x

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée de la composée de f et g

Soit f et g deux fonctions :

É

f est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert I

É

g est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert J

É

f ( I ) ⊂ J , de sorte que g ◦ f existe

É

x

∈ I

Alors : g ◦ f est dérivable et :

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š .f

( x

)

( g ◦ f )

= ( g

◦ f ) .f

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée de la composée de f et g

Soit f et g deux fonctions :

É

f est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert I

É

g est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert J

É

f ( I ) ⊂ J , de sorte que g ◦ f existe

É

x

∈ I

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š .f

( x

)

( g ◦ f )

= ( g

◦ f ) .f

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée de la composée de f et g

Soit f et g deux fonctions :

É

f est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert I

É

g est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert J

É

f ( I ) ⊂ J , de sorte que g ◦ f existe

É

x

∈ I

Alors : g ◦ f est dérivable et :

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š .f

( x

)

( g ◦ f )

= ( g

◦ f ) .f

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée de la composée de f et g

Soit f et g deux fonctions :

É

f est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert I

É

g est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert J

É

f ( I ) ⊂ J , de sorte que g ◦ f existe

É

x

∈ I

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š .f

( x

)

( g ◦ f )

= ( g

◦ f ) .f

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée de la composée de f et g

Soit f et g deux fonctions :

É

f est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert I

É

g est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert J

É

f ( I ) ⊂ J , de sorte que g ◦ f existe

É

x

∈ I

Alors : g ◦ f est dérivable et :

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š .f

( x

)

( g ◦ f )

= ( g

◦ f ) .f

Dérivée de la composée de f et g

Soit f et g deux fonctions :

É

f est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert I

É

g est définie et dérivable sur l’intervalle ouvert J

É

f ( I ) ⊂ J , de sorte que g ◦ f existe

É

x

∈ I

Alors : g ◦ f est dérivable et :

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š .f

( x

)

( g ◦ f )

= ( g

◦ f ) .f

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée de la composée de f et g

( g ◦ f )

( x

) =

lim

→x₀

g ^€ f ( x ) ^Š − g ^€ f ( x

) ^Š x − x

g ^€ f ( x ) ^Š − g ^€ f ( x

) ^Š

x − x

=

g ^€ f ( x ) ^Š − g ^€ f ( x

) ^Š f ( x ) − f ( x

)

f ( x ) − f ( x

)

x − x

Dérivée d’un quotient

Dérivée de f ( x ) =

On suppose x

6 = 0.

f

( x

) =

lim

0

1 x − x

1 x − 1

x

=

lim

0

1 x − x

x

− x xx

=

lim

0

− 1 xx

= − 1 x

0

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée d’un quotient

Dérivée de 1 f

Soit : g : R

7−→ R

y 7−→ g ( y ) = 1

y

f dérivable sur I et x

∈ I, f ( x

) 6 = 0

∀ x ∈ I, g ◦ f ( x ) = 1 f ( x )

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š f

( x

) = − 1

€ f ( x

) ^Š

f

( x

) = −

f

( x

)

€ f ( x

) ^Š

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée d’un quotient

Dérivée de 1 f

Soit : g : R

7−→ R

y 7−→ g ( y ) = 1

y

f dérivable sur I et x

∈ I, f ( x

) 6 = 0

∀ x ∈ I, g ◦ f ( x ) = 1 f ( x )

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š f

( x

) = − 1

€ f ( x

) ^Š

f

( x

) = − _€

f ( x

) ^Š

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée d’un quotient

Dérivée de 1 f

Soit : g : R

7−→ R

y 7−→ g ( y ) = 1

y

f dérivable sur I et x

∈ I, f ( x

) 6 = 0

∀ x ∈ I, g ◦ f ( x ) = 1 f ( x )

( g ◦ f )

( x

) = g

^€ f ( x

) ^Š f

( x

) = − 1

€ f ( x

) ^Š

f

( x

) = −

f

( x

)

€ f ( x

) ^Š

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée d’un quotient

Dérivée de f g

On écrit :

f g = f 1

g

g ( x

) = f

( x

) 1

g ( x

) + f ( x

) − _€

g ( x

) ^Š

=

f

( x

) g ( x

) − f ( x

) g

( x

)

€ g ( x

) ^Š

f

g

=

f

.g − f .g

g

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée d’un quotient

Dérivée de f g

On écrit :

f g = f 1

g f

g

( x

) = f

( x

) 1

g ( x

) + f ( x

)

−

g

( x

)

€ g ( x

) ^Š

=

f

( x

) g ( x

) − f ( x

) g

( x

)

€ g ( x

) ^Š

f

g

=

f

.g − f .g

g

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée d’un quotient

Dérivée de f g

On écrit :

f g = f 1

g f

g

( x

) = f

( x

) 1

g ( x

) + f ( x

)

−

g

( x

)

€ g ( x

) ^Š

=

f

( x

) g ( x

) − f ( x

) g

( x

)

€ g ( x

) ^Š

g =

g

La dérivée Dérivée et opérations

Dérivée d’un quotient

Dérivée de f g

On écrit :

f g = f 1

g f

g

( x

) = f

( x

) 1

g ( x

) + f ( x

)

−

g

( x

)

€ g ( x

) ^Š

=

f

( x

) g ( x

) − f ( x

) g

( x

)

€ g ( x

) ^Š

f g

=

f

.g − f .g

g

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R

f

: f

( x ) = sin x

1

cos

f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1

f

3

( x ) = 0

f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x

f

1

( x ) = cos x f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1

f

3

( x ) = 0

f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x f

1

( x ) = cos x

f

: f

( x ) = e

2

f

: f

( x ) = 1

f

3

( x ) = 0

f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x f

1

( x ) = cos x f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1

f

3

( x ) = 0

f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x f

1

( x ) = cos x f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1

3

0

f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x f

1

( x ) = cos x f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1

f

3

( x ) = 0 f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x f

1

( x ) = cos x f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1 f

3

( x ) = 0

f

: f

( x ) = x

4

2

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x f

1

( x ) = cos x f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1 f

3

( x ) = 0 f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x f

1

( x ) = cos x f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1 f

3

( x ) = 0 f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ ^◦

⁻

f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Dérivées à l’aide des opérations

Monter que f ( x ) = sin ( 1 − e

)

x

+ 1 est dérivable sur R f

: f

( x ) = sin x f

1

( x ) = cos x f

: f

( x ) = e

f

2

( x ) = e

f

: f

( x ) = 1 f

3

( x ) = 0 f

: f

( x ) = x

f

4

( x ) = 2 x

∀ x ∈ R ^{, f ( x ) =}

€ f

◦ ( f

− f

) ^Š ( x )

€ f

+ f

^Š ( x )

La dérivée Exercices

Exercices

Le cas des fonctions prolongées

Soit : f ( x ) =







x

sin ^€

Š si x 6 = 0

0 si x = 0

2. Montrer que f est dérivable en 0

La dérivée Exercices

Exercices

Le cas des fonctions prolongées

Soit : f ( x ) =







x

sin ^€

Š si x 6 = 0

0 si x = 0

1. Montrer que f est continue en 0

2. Montrer que f est dérivable en 0

Exercices

Le cas des fonctions prolongées

Soit : f ( x ) =







x

sin ^€

Š si x 6 = 0

0 si x = 0

1. Montrer que f est continue en 0

2. Montrer que f est dérivable en 0

La dérivée Exercices

Exercices

Le cas des fonctions prolongées

1. ∀ x ∈ R

^{, f ( x ) = x}

sin

≤ x

Donc : lim

→0

f ( x ) = 0 = f ( 0 )

2. f

( 0 ) =

lim

→0

f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 =

lim

→0

x sin ^€ 1 x

Š

∀ x ∈ R

^{, x} sin

≤ | x |

Donc : f

( 0 ) = 0

La dérivée Exercices

Exercices

Le cas des fonctions prolongées

1. ∀ x ∈ R

^{, f ( x ) = x}

sin

≤ x

Donc : lim

→0

f ( x ) = 0 = f ( 0 ) 2. f

( 0 ) =

lim

→0

f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 =

lim

→0

x sin ^€ 1 x

Š

∀ x ∈ R

^{, x} sin

≤ | x |

Donc : 0 0

La dérivée Exercices

Exercices

Le cas des fonctions prolongées

1. ∀ x ∈ R

^{, f ( x ) = x}

sin

≤ x

Donc : lim

→0

f ( x ) = 0 = f ( 0 ) 2. f

( 0 ) =

lim

→0

f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 =

lim

→0

x sin ^€ 1 x

Š

∀ x ∈ R

^{, x} sin

≤ | x |

Donc : f

( 0 ) = 0