Mathématiques et calcul 1er semestre

(1)

Mathématiques et calcul 1 ^er semestre

Université Paris Descartes

7 décembre 2009

(2)

3

^e

contrôle

É

Lundi 11 janvier

É

8h à 10h30

É

Amphis : Weiss, Delmas, Claude Bernard, Polonowski

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Paris Descartes Mathématiques et calcul 7 décembre 2009 2 / 42

(3)

3

^e

contrôle

É

Lundi 11 janvier

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8h à 10h30

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3

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(6)

Neuvième partie IX Espaces vectoriels

(7)

1

Espaces vectoriels Vecteurs du plan Vecteurs de l’espace Somme de vecteurs

Multiplication par un scalaire Définition d’un espace vectoriel Sous-espace vectoriel

Combinaisons linéaires, partie génératrice Indépendance linéaire

Somme de sous-espaces vectoriels

(8)

Espaces vectoriels Vecteurs du plan

y

o x

~u

(9)

y

o x

~u x

u

y

u

(10)

y

o x

~u x

u

y

u (xu, yu)

(11)

y

o x

~u x

u

y

u (xu, yu)

x

v

~v

y

v

(xv, yv)

(12)

y

o x

~u x

u

y

u (xu, yu)

x

v

~v

y

v

(xv, yv)

~w

x

w

y

w (xw, yw)

(13)

Espaces vectoriels Vecteurs de l’espace

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Espaces vectoriels Somme de vecteurs

y

o x

~u xu

yu (xu, yu)

xv ~v

yv (xv, yv)

(22)

y

o x

~u xu

yu (xu, yu)

xv ~v

yv (xv, yv)

xu+xv

yu+yv

(23)

y

o x

~u xu

yu (xu, yu)

xv ~v

yv (xv, yv)

xu+xv

yu+yv

(24)

y

o x

~u xu

yu (xu, yu)

xv ~v

yv (xv, yv)

xu+xv

yu+yv

(25)

y

o x

~u xu

yu (xu, yu)

xv ~v

yv (xv, yv)

xu+xv

yu+yv

~u+

~v (xu+xv, yu+yv)

(26)

Espaces vectoriels Multiplication par un scalaire

y

o ^x

^u

x

y

u

~u

(27)

y

o ^x

^u

x

y

u

α =

⁷₄

α.~u

~u

αx

u

αy

u

(28)

y

o ^x

^u

x

y

u

α =

¹₂

α.~u ~u αx

u

αy

u

(29)

y

o ^x

^u

x

y

u

α = −

²₃

α.~u

~u αx

u

αy

u

(30)

Espaces vectoriels Définition d’un espace vectoriel

Espaces vectoriel, définition

Un ensemble E , muni d’une addition et d’une multiplication externe par des nombres réels est un espace vectoriel sur R si les deux opérations vérifient :

(31)

Espaces vectoriel, définition

Propriété de l’addition

É

∀ u , ~ v , ~ w ~ ∈ E : ( u ~ + v ~ ) + w ~ = u ~ + ( v ~ + w ~ )

É

∀ u , ~ v ~ ∈ E : u ~ + v ~ = v ~ + u ~

É

∃ 0 ~ ∈ E : ∀ u ~ ∈ E : 0 ~ + u ~ = u ~ + 0 ~ = u ~

É

∀ u ~ ∈ E, ∃~ v ∈ E (noté : −~ u ) tel que : u ~ + v ~ = v ~ + u ~ = 0 ~

(32)

Espaces vectoriel, définition

Propriété de l’addition

É

∀ u , ~ v , ~ w ~ ∈ E : ( u ~ + v ~ ) + w ~ = u ~ + ( v ~ + w ~ )

É

∀ u , ~ v ~ ∈ E : u ~ + v ~ = v ~ + u ~

É

∃ 0 ~ ∈ E : ∀ u ~ ∈ E : 0 ~ + u ~ = u ~ + 0 ~ = u ~

É

∀ u ~ ∈ E, ∃~ v ∈ E (noté : −~ u ) tel que : u ~ + v ~ = v ~ + u ~ = 0 ~

(33)

Espaces vectoriel, définition

Propriété de l’addition

É

∀ u , ~ v , ~ w ~ ∈ E : ( u ~ + v ~ ) + w ~ = u ~ + ( v ~ + w ~ )

É

∀ u , ~ v ~ ∈ E : u ~ + v ~ = v ~ + u ~

É

∃ 0 ~ ∈ E : ∀ u ~ ∈ E : 0 ~ + u ~ = u ~ + 0 ~ = u ~

É

∀ u ~ ∈ E, ∃~ v ∈ E (noté : −~ u ) tel que : u ~ + v ~ = v ~ + u ~ = 0 ~

(34)

Espaces vectoriel, définition

Propriété de l’addition

É

∀ u , ~ v , ~ w ~ ∈ E : ( u ~ + v ~ ) + w ~ = u ~ + ( v ~ + w ~ )

É

∀ u , ~ v ~ ∈ E : u ~ + v ~ = v ~ + u ~

É

∃ 0 ~ ∈ E : ∀ u ~ ∈ E : 0 ~ + u ~ = u ~ + 0 ~ = u ~

É

∀ u ~ ∈ E, ∃~ v ∈ E (noté : −~ u ) tel que : u ~ + v ~ = v ~ + u ~ = 0 ~

(35)

Espaces vectoriel, définition

Propriétés de la multiplication externe

É

∀ u ~ ∈ E, ∀ α , β ∈ R ^: ^α. ^β. u ~ = αβ. u ~

É

∀ u ~ ∈ E : 1 . u ~ = u ~

(36)

Espaces vectoriel, définition

Propriétés de la multiplication externe

É

∀ u ~ ∈ E, ∀ α , β ∈ R ^: ^α. ^β. u ~ = αβ. u ~

É

∀ u ~ ∈ E : 1 . u ~ = u ~

(37)

Espaces vectoriel, définition

Relation de l’addition et de la multiplication externe

É

∀ u ~ ∈ E, ∀ α , β ∈ R ^{: (} ^α ⁺ ^β ⁾ ^. u ~ = α. u ~ + β. u ~

É

∀ u , ~ v ~ ∈ E, ∀ α ∈ R ^: ^α. u ~ + ~ v = α. u ~ + α. v ~

(38)

Espaces vectoriel, définition

Relation de l’addition et de la multiplication externe

É

∀ u ~ ∈ E, ∀ α , β ∈ R ^{: (} ^α ⁺ ^β ⁾ ^. u ~ = α. u ~ + β. u ~

É

∀ u , ~ v ~ ∈ E, ∀ α ∈ R ^: ^α. u ~ + ~ v = α. u ~ + α. v ~

(39)

Espaces vectoriels Sous-espace vectoriel

Sous-espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel et F ⊂ E une partie non-vide de E . F est un sous-espace vectoriel de E , si :

É

u , ~ v ~ ∈ F ⇒ u ~ + v ~ ∈ F (stabilité par addition)

É

u ~ ∈ F, α ∈ R ⇒ α. u ~ ∈ F (stabilité par multiplication

externe)

(40)

Espaces vectoriels Sous-espace vectoriel

Sous-espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel et F ⊂ E une partie non-vide de E . F est un sous-espace vectoriel de E , si :

É

u , ~ v ~ ∈ F ⇒ u ~ + v ~ ∈ F (stabilité par addition)

É

u ~ ∈ F, α ∈ R ⇒ α. u ~ ∈ F (stabilité par multiplication externe)

(41)

Espaces vectoriels Combinaisons linéaires, partie génératrice

Combinaisons linéaires

Soit F = { u ~

1

, u ~

2

, . . . , u ~

_n

}

= {~ u

_i

}

1≤i≤n

, une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E , on appelle combinaison linéaire des vecteurs u ~

_i

(ou combinaison linéaire de la famille F ),

le vecteur ~ v :

~ v = α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

=

n

X

i=1

α

_i

. u ~

_i

(42)

Combinaisons linéaires

Soit F = { u ~

1

, u ~

2

, . . . , u ~

_n

} = {~ u

_i

}

1≤i≤n

,

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E , on appelle combinaison linéaire des vecteurs u ~

_i

(ou combinaison linéaire de la famille F ),

le vecteur ~ v :

~ v = α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

=

n

X

i=1

α

_i

. u ~

_i

(43)

Combinaisons linéaires

Soit F = { u ~

1

, u ~

2

, . . . , u ~

_n

} = {~ u

_i

}

1≤i≤n

, une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E ,

on appelle combinaison linéaire des vecteurs u ~

_i

(ou combinaison linéaire de la famille F ),

le vecteur ~ v :

~ v = α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

=

n

X

i=1

α

_i

. u ~

_i

(44)

Combinaisons linéaires

Soit F = { u ~

1

, u ~

2

, . . . , u ~

_n

} = {~ u

_i

}

1≤i≤n

, une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E , on appelle combinaison linéaire des vecteurs u ~

_i

(ou combinaison linéaire de la famille F ),

le vecteur ~ v :

~ v = α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

=

n

X

i=1

α

_i

. u ~

_i

(45)

Combinaisons linéaires

Soit F = { u ~

1

, u ~

2

, . . . , u ~

_n

} = {~ u

_i

}

1≤i≤n

, une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E , on appelle combinaison linéaire des vecteurs u ~

_i

(ou combinaison linéaire de la famille F ),

le vecteur ~ v :

~ v = α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

=

n

X

i=1

α

_i

. u ~

_i

(46)

Partie génératrice

Proposition : Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E .

L’ensemble F de toutes les combinaisons linéaires de F , est un sous-espace vectoriel de E .

On note F = Vect F

F est engendré par F, ou F est une partie génératrice de F .

(47)

Partie génératrice

Proposition : Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E .

L’ensemble F de toutes les combinaisons linéaires de F , est un sous-espace vectoriel de E .

On note F = Vect F

F est engendré par F, ou F est une partie génératrice de F .

(48)

Partie génératrice

Proposition : Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E .

L’ensemble F de toutes les combinaisons linéaires de F , est un sous-espace vectoriel de E .

On note F = Vect F

F est engendré par F, ou F est une partie génératrice de F .

(49)

Partie génératrice

Proposition : Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E .

L’ensemble F de toutes les combinaisons linéaires de F , est un sous-espace vectoriel de E .

On note F = Vect F

F est engendré par F, ou F est une partie génératrice de F .

(50)

Espaces vectoriels Indépendance linéaire

Famille libre

Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E .

On dit que la famille F est libre, si : α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

= 0 ~ ⇒ α

1

= α

2

= · · · = α

_n

= 0 On dit aussi : les vecteurs u ~

_i

( 1 ≤ i ≤ n ) sont linéairement indépendants.

Un famille qui n’est pas libre est dite liée.

(51)

Famille libre

Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E .

On dit que la famille F est libre, si : α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

= 0 ~ ⇒ α

1

= α

2

= · · · = α

_n

= 0

On dit aussi : les vecteurs u ~

_i

( 1 ≤ i ≤ n ) sont linéairement indépendants.

Un famille qui n’est pas libre est dite liée.

(52)

Famille libre

Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E .

On dit que la famille F est libre, si : α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

= 0 ~ ⇒ α

1

= α

2

= · · · = α

_n

= 0 On dit aussi : les vecteurs u ~

_i

( 1 ≤ i ≤ n ) sont linéairement indépendants.

Un famille qui n’est pas libre est dite liée.

(53)

Famille libre

Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E .

On dit que la famille F est libre, si : α

1

. u ~

1

+ α

2

. u ~

2

+ · · · + α

_n

. u ~

_n

= 0 ~ ⇒ α

1

= α

2

= · · · = α

_n

= 0

On dit aussi : les vecteurs u ~

_i

( 1 ≤ i ≤ n ) sont linéairement

indépendants.

(54)

Famille libre

Exemple

Soit les vecteurs u , ~ v , ~ w ~ de l’espace vectoriel R

⁴

:

~

u = ( 2 , 0 , 3 , 0 ) , v ~ = ( 0 , −1 , 0 , 0 ) , w ~ = ( 5 , −2 , 0 , 0 )

La famille u , ~ v , ~ w ~ est libre.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors : _





2 α + 5 γ = 0

− β − 2 γ = 0

3 α = 0

Donc α = β = γ = 0

(55)

Famille libre

Exemple

Soit les vecteurs u , ~ v , ~ w ~ de l’espace vectoriel R

⁴

:

~

u = ( 2 , 0 , 3 , 0 ) , v ~ = ( 0 , −1 , 0 , 0 ) , w ~ = ( 5 , −2 , 0 , 0 ) La famille u , ~ v , ~ w ~ est libre.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors : _





2 α + 5 γ = 0

− β − 2 γ = 0

3 α = 0

Donc α = β = γ = 0

(56)

Famille libre

Exemple

Soit les vecteurs u , ~ v , ~ w ~ de l’espace vectoriel R

⁴

:

~

u = ( 2 , 0 , 3 , 0 ) , v ~ = ( 0 , −1 , 0 , 0 ) , w ~ = ( 5 , −2 , 0 , 0 ) La famille u , ~ v , ~ w ~ est libre.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors : _





2 α + 5 γ = 0

− β − 2 γ = 0

3 α = 0

Donc α = β = γ = 0

(57)

Famille libre

Exemple

Soit les vecteurs u , ~ v , ~ w ~ de l’espace vectoriel R

⁴

:

~

u = ( 2 , 0 , 3 , 0 ) , v ~ = ( 0 , −1 , 0 , 0 ) , w ~ = ( 5 , −2 , 0 , 0 ) La famille u , ~ v , ~ w ~ est libre.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors : _

 2 α + 5 γ = 0

− β − 2 γ = 0

Donc α = β = γ = 0

(58)

Famille libre

Exemple

Soit les vecteurs u , ~ v , ~ w ~ de l’espace vectoriel R

⁴

:

~

u = ( 2 , 0 , 3 , 0 ) , v ~ = ( 0 , −1 , 0 , 0 ) , w ~ = ( 5 , −2 , 0 , 0 ) La famille u , ~ v , ~ w ~ est libre.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors : _





2 α + 5 γ = 0

− β − 2 γ = 0

3 α = 0

Donc α = β = γ = 0

(59)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

, v ~ ( X ) = X ( X − 1 ) , w ~ ( X ) = ( X − 1 )

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] des polynômes de degré

inférieur ou égal à 2.

La famille F est linéairement indépendante.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors : _





α + β + γ = 0 β + 2 γ = 0

γ = 0

Donc α = β = γ = 0

(60)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

, v ~ ( X ) = X ( X − 1 ) , w ~ ( X ) = ( X − 1 )

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] des polynômes de degré

inférieur ou égal à 2.

La famille F est linéairement indépendante.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors : _





α + β + γ = 0 β + 2 γ = 0

γ = 0

Donc α = β = γ = 0

(61)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

, v ~ ( X ) = X ( X − 1 ) , w ~ ( X ) = ( X − 1 )

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] des polynômes de degré

inférieur ou égal à 2.

La famille F est linéairement indépendante.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors : _





α + β + γ = 0 β + 2 γ = 0

γ = 0

Donc α = β = γ = 0

(62)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

, v ~ ( X ) = X ( X − 1 ) , w ~ ( X ) = ( X − 1 )

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] des polynômes de degré

inférieur ou égal à 2.

La famille F est linéairement indépendante.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors : _





α + β + γ = 0 β + 2 γ = 0

γ = 0

Donc α = β = γ = 0

(63)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

, v ~ ( X ) = X ( X − 1 ) , w ~ ( X ) = ( X − 1 )

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] des polynômes de degré

inférieur ou égal à 2.

La famille F est linéairement indépendante.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors : _



α + β + γ = 0

β + 2 γ = 0

(64)

Famille libre

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, soit la famille de vecteurs :

~

u = ( 1 , −1 ) , v ~ = ( 1 , 3 ) , w ~ = ( 2 , 5 ) .

La famille { u , ~ v , ~ w ~ } est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors :

α + β + 2 γ = 0

− α + 3 β + 5 γ = 0 Donc α = −

¹₄

, β = −

⁷₄

, γ = 1 et : w ~ =

¹₄

. u ~ +

⁷₄

. ~ v

Remarque : Quand une famille est liée, on peut exprimer des vecteurs de la famille comme combinaison linéaire des autres.

(65)

Famille libre

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, soit la famille de vecteurs :

~

u = ( 1 , −1 ) , v ~ = ( 1 , 3 ) , w ~ = ( 2 , 5 ) . La famille { u , ~ ~ v , w ~ } est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors :

α + β + 2 γ = 0

− α + 3 β + 5 γ = 0 Donc α = −

¹₄

, β = −

⁷₄

, γ = 1 et : w ~ =

¹₄

. u ~ +

⁷₄

. ~ v

Remarque : Quand une famille est liée, on peut exprimer des

vecteurs de la famille comme combinaison linéaire des autres.

(66)

Famille libre

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, soit la famille de vecteurs :

~

u = ( 1 , −1 ) , v ~ = ( 1 , 3 ) , w ~ = ( 2 , 5 ) . La famille { u , ~ ~ v , w ~ } est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors :

α + β + 2 γ = 0

− α + 3 β + 5 γ = 0 Donc α = −

¹₄

, β = −

⁷₄

, γ = 1 et : w ~ =

¹₄

. u ~ +

⁷₄

. ~ v

Remarque : Quand une famille est liée, on peut exprimer des vecteurs de la famille comme combinaison linéaire des autres.

(67)

Famille libre

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, soit la famille de vecteurs :

~

u = ( 1 , −1 ) , v ~ = ( 1 , 3 ) , w ~ = ( 2 , 5 ) . La famille { u , ~ ~ v , w ~ } est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors :

α + β + 2 γ = 0

− α + 3 β + 5 γ = 0

Donc α = −

¹₄

, β = −

⁷₄

, γ = 1 et : w ~ =

¹₄

. u ~ +

⁷₄

. ~ v

Remarque : Quand une famille est liée, on peut exprimer des

vecteurs de la famille comme combinaison linéaire des autres.

(68)

Famille libre

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, soit la famille de vecteurs :

~

u = ( 1 , −1 ) , v ~ = ( 1 , 3 ) , w ~ = ( 2 , 5 ) . La famille { u , ~ ~ v , w ~ } est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors :

α + β + 2 γ = 0

− α + 3 β + 5 γ = 0 Donc α = −

¹₄

, β = −

⁷₄

, γ = 1

et : w ~ =

¹₄

. u ~ +

⁷₄

. ~ v

Remarque : Quand une famille est liée, on peut exprimer des vecteurs de la famille comme combinaison linéaire des autres.

(69)

Famille libre

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, soit la famille de vecteurs :

~

u = ( 1 , −1 ) , v ~ = ( 1 , 3 ) , w ~ = ( 2 , 5 ) . La famille { u , ~ ~ v , w ~ } est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors :

α + β + 2 γ = 0

− α + 3 β + 5 γ = 0 Donc α = −

¹

, β = −

⁷

, γ = 1 et : w ~ =

¹

. u ~ +

⁷

. ~ v

Remarque : Quand une famille est liée, on peut exprimer des

vecteurs de la famille comme combinaison linéaire des autres.

(70)

Famille libre

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, soit la famille de vecteurs :

~

u = ( 1 , −1 ) , v ~ = ( 1 , 3 ) , w ~ = ( 2 , 5 ) . La famille { u , ~ ~ v , w ~ } est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ + β. ~ v + γ. w ~ = 0 ~

Alors :

α + β + 2 γ = 0

− α + 3 β + 5 γ = 0 Donc α = −

¹₄

, β = −

⁷₄

, γ = 1 et : w ~ =

¹₄

. u ~ +

⁷₄

. ~ v

Remarque : Quand une famille est liée, on peut exprimer des vecteurs de la famille comme combinaison linéaire des autres.

(71)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

+ 1 , v ~ ( X ) = X

²

− 1 , w ~ ( X ) = X

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] .

La famille F est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors :

α + β + γ = 0

α − β = 0

Donc α = β = − γ 2

En prenant γ = −2 : u ~ ( X ) + v ~ ( X ) − 2 w ~ ( X ) = 0

(72)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

+ 1 , v ~ ( X ) = X

²

− 1 , w ~ ( X ) = X

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] .

La famille F est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors :

α + β + γ = 0

α − β = 0

Donc α = β = − γ 2

En prenant γ = −2 : u ~ ( X ) + v ~ ( X ) − 2 w ~ ( X ) = 0

(73)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

+ 1 , v ~ ( X ) = X

²

− 1 , w ~ ( X ) = X

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] .

La famille F est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors :

α + β + γ = 0

α − β = 0

Donc α = β = − γ 2

En prenant γ = −2 : u ~ ( X ) + v ~ ( X ) − 2 w ~ ( X ) = 0

(74)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

+ 1 , v ~ ( X ) = X

²

− 1 , w ~ ( X ) = X

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] .

La famille F est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors :

α + β + γ = 0

α − β = 0

Donc α = β = − γ 2

En prenant γ = −2 : u ~ ( X ) + v ~ ( X ) − 2 w ~ ( X ) = 0

(75)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

+ 1 , v ~ ( X ) = X

²

− 1 , w ~ ( X ) = X

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] .

La famille F est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors :

α + β + γ = 0

α − β = 0

γ

En prenant γ = −2 : u ~ ( X ) + v ~ ( X ) − 2 w ~ ( X ) = 0

(76)

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = { u ~ ( X ) = X

²

+ 1 , v ~ ( X ) = X

²

− 1 , w ~ ( X ) = X

²

} dans l’espace vectoriel R

₂

^[ ^X ^] .

La famille F est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α. u ~ ( X ) + β. v ~ ( X ) + γ. w ~ ( X ) = 0 ~

Alors :

α + β + γ = 0

α − β = 0

Donc α = β = − γ 2

En prenant γ = −2 : u ~ ( X ) + v ~ ( X ) − 2 w ~ ( X ) = 0

(77)

Famille libre

Remarques

Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille libre dans un espace vectoriel E .

É

∀ i ( 1 ≤ < i ≤ n ) , u ~

_i

6= 0 ~

É

Si i 6 = j, u ~

_i

6 = u ~

_j

(78)

Famille libre

Remarques

Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille libre dans un espace vectoriel E .

É

∀ i ( 1 ≤ < i ≤ n ) , u ~

_i

6= 0 ~

É

Si i 6 = j, u ~

_i

6 = u ~

_j

(79)

Famille libre

Remarques

Soit F = { u ~

_i

}

1≤i≤n

une famille libre dans un espace vectoriel E .

É

∀ i ( 1 ≤ < i ≤ n ) , u ~

_i

6= 0 ~

É

Si i 6 = j, u ~

_i

6 = u ~

_j

(80)

Base d’un espace vectoriel

On appelle base d’un espace vectoriel, une famille de vecteurs, B, à la fois libre et génératrice.

(81)

Base d’un espace vectoriel

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, la famille B = { e ~

1

, e ~

2

}, avec :

~

e

1

= ( 1 , 0 ) et e ~

2

= ( 0 , 1 ) , est une base de R

²

.

É

B est libre : si α. e ~

1

+ β. e ~

2

= 0, alors : ~ α = 0

β = 0

É

B est génératrice : si u ~ = ( x

_u

, y

_u

) , x

_u

, y

_u

∈ R et : u ~ = x

_u

. e ~

1

+ y

_u

. e ~

2

(82)

Base d’un espace vectoriel

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, la famille B = { e ~

1

, e ~

2

}, avec :

~

e

1

= ( 1 , 0 ) et e ~

2

= ( 0 , 1 ) , est une base de R

²

.

É

B est libre : si α. e ~

1

+ β. e ~

2

= 0, alors : ~ α = 0

β = 0

É

B est génératrice : si u ~ = ( x

_u

, y

_u

) , x

_u

, y

_u

∈ R et : u ~ = x

_u

. e ~

1

+ y

_u

. e ~

2

(83)

Base d’un espace vectoriel

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, la famille B = { e ~

1

, e ~

2

}, avec :

~

e

1

= ( 1 , 0 ) et e ~

2

= ( 0 , 1 ) , est une base de R

²

.

É

B est libre : si α. e ~

1

+ β. e ~

2

= 0, alors : ~ α = 0

β = 0

(84)

Base d’un espace vectoriel

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, la famille B = { u ~

1

, u ~

2

}, avec :

~

u

1

= ( 1 , 2 ) et u ~

2

= ( −2 , 3 ) , est une base de R

²

.

É

B est libre : si α. u ~

1

+ β. u ~

2

= 0, alors : ~ α − 2 β = 0

2 α + 3 β = 0 Donc : α = β = 0

É

B est génératrice : si v ~ = ( x

_v

, y

_v

) , alors :

~

v =

³^x^v⁺₇²^y^v

. u ~

1

+

²^x^v₇⁺^y^v

. u ~

2

(85)

Base d’un espace vectoriel

Exemple

Dans l’espace vectoriel R

²

, la famille B = { u ~

1

, u ~

2

}, avec :

~

u

1

= ( 1 , 2 ) et u ~

2

= ( −2 , 3 ) , est une base de R

²

.

É

B est libre : si α. u ~

1

+ β. u ~

2

= 0, alors : ~ α − 2 β = 0

2 α + 3 β = 0 Donc : α = β = 0

É

B est génératrice : si v ~ = ( x

_v

, y

_v

) , alors :

~

v =

³^x^v⁺₇²^y^v

. u ~

1

+

²^x^v₇⁺^y^v

. u ~

2

Mathématiques et calcul 1er semestre