Mathématiques et calcul 1er semestre

Mathématiques et calcul 1

semestre

Université Paris Descartes

28 septembre 2009

Tutorat

É

chaque samedi de 10H à 18H

É

tous les soirs de 17H30 à 19H30

Salle 526

Troisième partie III

Les suites

1

Suites

Définitions

Limite d’une suite Unicité de la limite Suites bornées Suites divergentes

Sommes et produits de suites Comparaison de suites

Valeurs absolues

Suites arithmétiques

Suite géométrique

Suites monotones

Suites adjacentes

Suites extraites

Suites récurrentes

Suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

Remarque : On note u

les éléments de la suite, plutôt que

u ( n ) ; on "numérote" chaque élément de la suite : u

: premier

élément, u

: deuxième élément, . . . , u

: n + 1-ième élément,

etc.

Suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

Remarque : On note u

les éléments de la suite, plutôt que

u ( n ) ; on "numérote" chaque élément de la suite : u

: premier

élément, u

: deuxième élément, . . . , u

: n + 1-ième élément,

etc.

Suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

Remarque : On note u

les éléments de la suite, plutôt que u ( n ) ; on "numérote" chaque élément de la suite : u

: premier élément, u

: deuxième élément, . . . , u

: n + 1-ième élément, etc.

u

= n : u

= 0 , u

= 1 , u

= 2 , u

= 3 , u

= 4 , . . .

Suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

Remarque : On note u

les éléments de la suite, plutôt que u ( n ) ; on "numérote" chaque élément de la suite : u

: premier élément, u

: deuxième élément, . . . , u

: n + 1-ième élément, etc.

u

= 2 n : u

= 0 , u

= 2 , u

= 4 , u

= 6 , u

= 8 , . . .

Suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

Remarque : On note u

les éléments de la suite, plutôt que u ( n ) ; on "numérote" chaque élément de la suite : u

: premier élément, u

: deuxième élément, . . . , u

: n + 1-ième élément, etc.

u

= 2 n + 1 : u

= 1 , u

= 3 , u

= 5 , u

= 7 , u

= 9 , . . .

Suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

Remarque : On note u

les éléments de la suite, plutôt que u ( n ) ; on "numérote" chaque élément de la suite : u

: premier élément, u

: deuxième élément, . . . , u

: n + 1-ième élément, etc.

u

=

: u

=

, u

=

, u

=

, u

=

, u

=

, . . .

Suites Définitions

Une suite est une application de N dans R : u : N −→ R

n → u

Remarque : On note u

les éléments de la suite, plutôt que u ( n ) ; on "numérote" chaque élément de la suite : u

: premier élément, u

: deuxième élément, . . . , u

: n + 1-ième élément, etc.

u

=

: u

= 0 , u

=

, u

=

, u

=

, . . .

Suites Définitions

u

= − 1

2 et u

= ( u

+ 1 )( 9 − u

) 4

u₁=^(u0+1)(9−₄ ^u0) =1,19 u₇=^(u6+1)(9−₄ ^u6)=5,86 u₂=^(u1+1)(9−₄ ^u1) =4,27 u₈=^(u7+1)(9−₄ ^u7)=5,39 u₃=^(u2+1)(₄^9−u2) =6.23 u₉=^(u8+1)(₄^9−u8)=5,77 u₄=^(u3+1)(₄^9−u3) =5,01 u₁₀=^(u9+1)(₄^9−u9) =5,47 u₅=^(u4+1)(₄^9−u4) =6 u₁₁=^(u10+1)(₄^9−u10)=5,71 u₆=^(u5+1)(₄^9−u5) =5,25 u₁₂=^(u11+1)(₄^9−u11)=5,52

Suites Définitions

Exemple

u

= y

Suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5

u

=

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

u

= y

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u2= 4,27

u

=

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

u

= y

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u4= 5,01

u

=

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

u

= y

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u6= 5,25

u

=

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

u

= y

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u8= 5,39

u

=

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

u

= y

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u10= 5,47

u

=

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

u

= y

f(x) =

Suites Définitions

Exemple

x y

u0=−0,5 u12= 5,52

u

=

f(x) =

Suites Limite d’une suite

Limite

Soit une suite ( u

)

et L un nombre réel, on dit que u

a pour limite L si :

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N ^: pour n ≥ N, | u

− L | ≤ ϵ

Notation : lim

u

= L

On dit aussi : u

converge vers L

| u

− L | ≤ ϵ ⇔ − ϵ ≤ u

− L ≤ ϵ ⇔ L − ϵ ≤ u

≤ L + ϵ

Suites Limite d’une suite

Limite

Soit une suite ( u

)

et L un nombre réel, on dit que u

a pour limite L si :

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N ^: pour n ≥ N, | u

− L | ≤ ϵ Notation : lim

u

= L

On dit aussi : u

converge vers L

| u

− L | ≤ ϵ ⇔ − ϵ ≤ u

− L ≤ ϵ ⇔ L − ϵ ≤ u

≤ L + ϵ

Suites Limite d’une suite

Limite

Soit une suite ( u

)

et L un nombre réel, on dit que u

a pour limite L si :

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N ^: pour n ≥ N, | u

− L | ≤ ϵ Notation : lim

u

= L

On dit aussi : u

converge vers L

| u

− L | ≤ ϵ ⇔ − ϵ ≤ u

− L ≤ ϵ ⇔ L − ϵ ≤ u

≤ L + ϵ

Suites Limite d’une suite

Limite

Soit une suite ( u

)

et L un nombre réel, on dit que u

a pour limite L si :

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N ^: pour n ≥ N, | u

− L | ≤ ϵ Notation : lim

u

= L

On dit aussi : u

converge vers L

| u

− L | ≤ ϵ ⇔ − ϵ ≤ u

− L ≤ ϵ ⇔ L − ϵ ≤ u

≤ L + ϵ

Suites Limite d’une suite

Limite

u

2

L

L + ε

L − ε

u

= 1 +

, ε =

Suites Limite d’une suite

Limite

u

2 n

32

2

L L + ε

L − ε

N =

u

= 1 +

, ε =

Suites Limite d’une suite

Limite

u

2

L L + ε

L − ε

u

= 1 +

, ε =

Suites Unicité de la limite

Unicité de la limite

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N ^: pour n ≥ N, | u

− L | ≤ ϵ

Théorème : Si une suite ( u

)

converge vers une limite L , cette limite est unique

É S’il y a 2 limites différentesLetL0: |L−L0|>0 É pour 0< ϵ < ^|L−L0|

2

∃N∈N: sin≥N, |u_n−L| ≤ϵ et |u_n−L0| ≤ϵ É |L−L0|=|L−u_n+u_n−L0| ≤ |L−u_n|+|u_n−L0| ≤2ϵ <|L−L0|

Suites Unicité de la limite

Unicité de la limite

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N ^: pour n ≥ N, | u

− L | ≤ ϵ

Théorème : Si une suite ( u

)

converge vers une limite L , cette limite est unique

É S’il y a 2 limites différentesLetL0: |L−L0|>0 É pour 0< ϵ < ^|L−L0|

2

∃N∈N: sin≥N, |u_n−L| ≤ϵ et |u_n−L0| ≤ϵ

Suites Unicité de la limite

Unicité de la limite

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N ^: pour n ≥ N, | u

− L | ≤ ϵ

Théorème : Si une suite ( u

)

converge vers une limite L , cette limite est unique

É S’il y a 2 limites différentesLetL0: |L−L0|>0 É pour 0< ϵ < ^|L−L0|

2

∃N∈N: sin≥N, |u_n−L| ≤ϵ et |u_n−L0| ≤ϵ É |L−L0|=|L−u_n+u_n−L0| ≤ |L−u_n|+|u_n−L0| ≤2ϵ <|L−L0|

Suites Unicité de la limite

Unicité de la limite

∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N ^: pour n ≥ N, | u

− L | ≤ ϵ

Théorème : Si une suite ( u

)

converge vers une limite L , cette limite est unique

É S’il y a 2 limites différentesLetL0: |L−L0|>0 É pour 0< ϵ < ^|L−L0|

2

∃N∈N: sin≥N, |u_n−L| ≤ϵ et |u_n−L0| ≤ϵ

Suites Suites bornées

Suites bornées

On dit qu’une suite ( u

)

est

É

majorée si : ∃ M ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^{: u}

≤ M

É

minorée si : ∃ m ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^{: u}

≥ m

É

bornée si : ∃ C ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^: | u

| ≤ C

Ce qui revient à dire que l’ensemble :

{ u

| n ∈ N } est majoré, minoré, borné

Suites Suites bornées

Suites bornées

On dit qu’une suite ( u

)

est

É

majorée si : ∃ M ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^{: u}

≤ M

É

minorée si : ∃ m ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^{: u}

≥ m

É

bornée si : ∃ C ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^: | u

| ≤ C

Ce qui revient à dire que l’ensemble :

{ u

| n ∈ N } est majoré, minoré, borné

Suites Suites bornées

Suites bornées

On dit qu’une suite ( u

)

est

É

majorée si : ∃ M ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^{: u}

≤ M

É

minorée si : ∃ m ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^{: u}

≥ m

É

bornée si : ∃ C ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^: | u

| ≤ C

Ce qui revient à dire que l’ensemble :

{ u

| n ∈ N } est majoré, minoré, borné

Suites Suites bornées

Suites bornées

On dit qu’une suite ( u

)

est

É

majorée si : ∃ M ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^{: u}

≤ M

É

minorée si : ∃ m ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^{: u}

≥ m

É

bornée si : ∃ C ∈ R ^, ∀ n ∈ N ^: | u

| ≤ C Ce qui revient à dire que l’ensemble :

{ u | n ∈ N } est majoré, minoré, borné

Suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |u_n−L| ≤1 É |u_n|=|u_n−L+L| ≤ |u_n−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u₀|,|u₁|,· · · |u_N−1|}a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|u_i|

É ∀n∈N, soit : n<N et |u_n| ≤M

soit : n≥N et |u_n| ≤1+|L| dans tous les cas :

|u_n| ≤max(M,1+|L|)

Suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |u_n−L| ≤1 É |u_n|=|u_n−L+L| ≤ |u_n−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u₀|,|u₁|,· · · |u_N−1|}a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|u_i|

É ∀n∈N, soit : n<N et |u_n| ≤M

soit : n≥N et |u_n| ≤1+|L| dans tous les cas :

Suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |u_n−L| ≤1 É |u_n|=|u_n−L+L| ≤ |u_n−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u₀|,|u₁|,· · · |u_N−1|}a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|u_i|

É ∀n∈N, soit : n<N et |u_n| ≤M

soit : n≥N et |u_n| ≤1+|L| dans tous les cas :

|u_n| ≤max(M,1+|L|)

Suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |u_n−L| ≤1 É |u_n|=|u_n−L+L| ≤ |u_n−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u₀|,|u₁|,· · · |u_N−1|}a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|u_i|

É ∀n∈N, soit : n<N et |u_n| ≤M

soit : n≥N et |u_n| ≤1+|L| dans tous les cas :

Suites Suites bornées

Propriété des suites convergentes

Proposition : Une suite convergente est bornée

É Pourϵ=1 ∃N: n≥N, |u_n−L| ≤1 É |u_n|=|u_n−L+L| ≤ |u_n−L|+|L| ≤1+|L|

É Il n’y a qu’un nombre fini d’entiers inférieurs àN, l’ensemble {|u₀|,|u₁|,· · · |u_N−1|}a donc un plus grand élément :M= max

0≤i≤N−1|u_i|

É ∀n∈N, soit : n<N et |u_n| ≤M

soit : n≥N et |u_n| ≤1+|L| dans tous les cas :

|u_n| ≤max(M,1+|L|)

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente

Exemples :

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= (−1 )

u₀=1, u_n=−1, u₂=1, u₃=−1, . . . , u_2p=1, u_2p+1=−1, . . .

Supposons que lim_n

→∞u_n=L

É Pourϵ=¹₂, ∃N∈N, ∀n≥N: |u_n−L| ≤ ¹₂ É Pourn=2p≥N:

2=|u_2p−u_2p+1|=|u_2p−L+L−u_2p+1|

≤ |u_2p−L|+|u_2p+1−L| ≤1 2+1

2=1 Conséquence :une suite bornée n’est pas forcément convergente !

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= (−1 )

u₀=1, u_n=−1, u₂=1, u₃=−1, . . . , u_2p=1, u_2p+1=−1, . . .

Supposons que lim_n

→∞u_n=L

É Pourϵ=¹₂, ∃N∈N, ∀n≥N: |u_n−L| ≤ ¹₂ É Pourn=2p≥N:

2=|u_2p−u_2p+1|=|u_2p−L+L−u_2p+1|

≤ |u_2p−L|+|u_2p+1−L| ≤1 2+1

2=1

Conséquence :une suite bornée n’est pas forcément convergente !

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= (−1 )

u₀=1, u_n=−1, u₂=1, u₃=−1, . . . , u_2p=1, u_2p+1=−1, . . .

Supposons que lim_n

→∞u_n=L

É Pourϵ=¹₂, ∃N∈N, ∀n≥N: |u_n−L| ≤ ¹₂ É Pourn=2p≥N:

2=|u_2p−u_2p+1|=|u_2p−L+L−u_2p+1|

≤ |u_2p−L|+|u_2p+1−L| ≤1 2+1

2=1

Conséquence :une suite bornée n’est pas forcément convergente !

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= (−1 )

u₀=1, u_n=−1, u₂=1, u₃=−1, . . . , u_2p=1, u_2p+1=−1, . . .

Supposons que lim_n

→∞u_n=L

É Pourϵ=¹₂, ∃N∈N, ∀n≥N: |u_n−L| ≤ ¹₂ É Pourn=2p≥N:

2=|u_2p−u_2p+1|=|u_2p−L+L−u_2p+1|

≤ |u_2p−L|+|u_2p+1−L| ≤1 2+1

2=1

Conséquence :une suite bornée n’est pas forcément convergente !

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= (−1 )

u₀=1, u_n=−1, u₂=1, u₃=−1, . . . , u_2p=1, u_2p+1=−1, . . .

Supposons que lim_n

→∞u_n=L

É Pourϵ=¹₂, ∃N∈N, ∀n≥N: |u_n−L| ≤ ¹₂ É Pourn=2p≥N:

2=|u_2p−u_2p+1|=|u_2p−L+L−u_2p+1|

≤ |u_2p−L|+|u_2p+1−L| ≤1 2+1

2=1 Conséquence :une suite bornée n’est pas forcément convergente !

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= p n + 1

u₀=^p1, u₁=^p2, u₂=^p3, u₃=^p4, . . .

É SoitA∈R, A≥0

É Par la propriété d’Archimède :∃N∈N: A2−1≤N É Alors pourn∈N, n≥N: A≤^pn+1=u_n

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= p n + 1

u₀=^p1, u₁=^p2, u₂=^p3, u₃=^p4, . . .

É SoitA∈R, A≥0

É Par la propriété d’Archimède :∃N∈N: A2−1≤N É Alors pourn∈N, n≥N: A≤^pn+1=u_n

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= p n + 1

u₀=^p1, u₁=^p2, u₂=^p3, u₃=^p4, . . .

É SoitA∈R, A≥0

É Par la propriété d’Archimède :∃N∈N: A2−1≤N É Alors pourn∈N, n≥N: A≤^pn+1=u_n

Suites Suites divergentes

Rappel

On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possède les propriétés suivantes :

É

R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ R

É

R possède une addition et une multiplication qui

prolongent l’addition et la multiplication définies sur Q

É

R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur Q

É

R possède la propriété d’Archimède :

Si A ∈ R ^{, A} ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= p n + 1

u₀=^p1, u₁=^p2, u₂=^p3, u₃=^p4, . . .

É SoitA∈R, A≥0

É Par la propriété d’Archimède :∃N∈N: A2−1≤N É Alors pourn∈N, n≥N: A≤^pn+1=u_n

Suites Suites divergentes

Une suite qui ne converge pas est une suite divergente Exemples :

u

= p n + 1

u₀=^p1, u₁=^p2, u₂=^p3, u₃=^p4, . . .

É SoitA∈R, A≥0

É Par la propriété d’Archimède :∃N∈N: A2−1≤N É Alors pourn∈N, n≥N: A≤^pn+1=u_n

Suites Suites divergentes

On dit qu’une suite ( u

)

tend vers + ∞ si :

∀ A ∈ R ^{, A} ≥ 0 , ∃ N ∈ N ^: ∀ n ≥ N, A ≤ u

Notation : lim

u

= + ∞

On dit qu’une suite ( u

)

tend vers −∞ si :

∀ A ∈ R ^{, A} ≤ 0 , ∃ N ∈ N ^: ∀ n ≥ N, A ≥ u

Notation : lim

u

= −∞

Suites Suites divergentes

On dit qu’une suite ( u

)

tend vers + ∞ si :

∀ A ∈ R ^{, A} ≥ 0 , ∃ N ∈ N ^: ∀ n ≥ N, A ≤ u

Notation : lim

u

= + ∞

On dit qu’une suite ( u

)

tend vers −∞ si :

∀ A ∈ R ^{, A} ≤ 0 , ∃ N ∈ N ^: ∀ n ≥ N, A ≥ u

Notation : lim

u

= −∞

Suites Suites divergentes

On dit qu’une suite ( u

)

tend vers + ∞ si :

∀ A ∈ R ^{, A} ≥ 0 , ∃ N ∈ N ^: ∀ n ≥ N, A ≤ u

Notation : lim

u

= + ∞

On dit qu’une suite ( u

)

tend vers −∞ si :

∀ A ∈ R ^{, A} ≤ 0 , ∃ N ∈ N ^: ∀ n ≥ N, A ≥ u

Notation : lim

u

= −∞

Suites Sommes et produits de suites

Limites et opérations

Soit 2 suites, u

et v

, convergentes, de limites respectives L et L

.

É

∀ λ ∈ R ^,

lim

( λu

) = λL

É _n

lim

( u

+ v

) = L + L

É _n

lim

( u

.v

) = L.L

É

Si L 6 = 0 ,

lim

1 u

= 1

L

Suites Sommes et produits de suites

Limites et opérations

Soit 2 suites, u

et v

, convergentes, de limites respectives L et L

.

É

∀ λ ∈ R ^,

lim

( λu

) = λL

É _n

lim

( u

+ v

) = L + L

É _n

lim

( u

.v

) = L.L

Si L 6 = 0 , lim 1

= 1

Suites Sommes et produits de suites

Limites et opérations

Soit 2 suites, u

et v

, convergentes, de limites respectives L et L

.

É

∀ λ ∈ R ^,

lim

( λu

) = λL

É _n

lim

( u

+ v

) = L + L

É _n

lim

( u

.v

) = L.L

É

Si L 6 = 0 ,

lim

1 u

= 1

L

Suites Sommes et produits de suites

Limites et opérations

Soit 2 suites, u

et v

, convergentes, de limites respectives L et L

.

É

∀ λ ∈ R ^,

lim

( λu

) = λL

É _n

lim

( u

+ v

) = L + L

É _n

lim

( u

.v

) = L.L

Si L 6 = 0 , lim 1

= 1

Suites Sommes et produits de suites

Limites et opérations

Soit 2 suites, u

et v

, convergentes, de limites respectives L et L

.

É

∀ λ ∈ R ^,

lim

( λu

) = λL

É _n

lim

( u

+ v

) = L + L

É _n

lim

( u

.v

) = L.L

É

Si L 6 = 0 ,

lim

1 u

= 1

L

Suites Sommes et produits de suites

Limites et opérations

Exercice

Soit une suite u

qui converge vers L 6 = 0.

Montrer que : ∃ N ∈ N ^: ∀ n ≥ N, u

6= 0

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 2 suites, u

et v

.

É

Si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

et si u

et v

convergent,

n

lim

u

≤

lim

v

En particulier : si u

converge et si ∀ n ∈ N ^{, u}

≥ a

n

lim

u

≥ a

Attention : même si ∀ n ∈ N ^{, u}

^{> a,}

lim

u

≥ a

∀ n ∈ N

^{, u}

⁼

> 0 , mais

lim

u

= 0

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 2 suites, u

et v

.

É

Si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

et si u

et v

convergent,

n

lim

u

≤

lim

v

En particulier : si u

converge et si ∀ n ∈ N ^{, u}

≥ a

n

lim

u

≥ a

Attention : même si ∀ n ∈ N ^{, u}

^{> a,}

lim

u

≥ a

∀ n ∈ N

^{, u}

⁼

> 0 , mais

lim

u

= 0

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 2 suites, u

et v

.

É

Si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

et si u

et v

convergent,

n

lim

u

≤

lim

v

En particulier : si u

converge et si ∀ n ∈ N ^{, u}

≥ a

n

lim

u

≥ a

Attention : même si ∀ n ∈ N ^{, u}

^{> a,}

lim

u

≥ a

∀ n ∈ N

^{, u}

⁼

> 0 , mais

lim

u

= 0

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 2 suites, u

et v

.

É

Si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

et si u

et v

convergent,

n

lim

u

≤

lim

v

En particulier : si u

converge et si ∀ n ∈ N ^{, u}

≥ a

n

lim

u

≥ a

Attention : même si ∀ n ∈ N ^{, u}

^{> a,}

lim

u

≥ a

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 2 suites, u

et v

.

É

Si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

et si u

et v

convergent,

n

lim

u

≤

lim

v

En particulier : si u

converge et si ∀ n ∈ N ^{, u}

≥ a

n

lim

u

≥ a

Attention : même si ∀ n ∈ N ^{, u}

^{> a,}

lim

u

≥ a

∀ n ∈ N

^{, u}

⁼

> 0 , mais

lim

u

= 0

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 3 suites, u

, v

et w

.

É

si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

≤ w

É

si u

et w

convergent

É

si lim

u

=

lim

w

É

Alors :

1. v_nconverge

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 3 suites, u

, v

et w

.

É

si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

≤ w

É

si u

et w

convergent

É

si lim

u

=

lim

w

É

Alors :

1. v_nconverge 2. _nlim

→∞v_n=_nlim

→∞u_n=_nlim

→∞w_n

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 3 suites, u

, v

et w

.

É

si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

≤ w

É

si u

et w

convergent

É

si lim

u

=

lim

w

É

Alors :

1. v_nconverge

Suites Comparaison de suites

Limites et inégalités

Soit 3 suites, u

, v

et w

.

É

si ∀ n ∈ N ^{, u}

≤ v

≤ w

É

si u

et w

convergent

É

si lim

u

=

lim

w

É

Alors :

1. v_nconverge 2. _nlim

→∞v_n=_nlim

→∞u_n=_nlim

→∞w_n