Fermat 06/07 - PCSI 1 Khôlle de Maple 06
Suites Récurrentes
Exercice 1.
Soientaetbdeux réels strictement positifs. On définit deux suites(an)n∈Net(bn)n∈Npar les relations de récurrence :
a0=a, b0=b, et ∀n∈N, , an+1=p
anbn et bn+1=an+bn
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On a montré en exercice que ces deux suites convergent vers la même limite L(a, b) et que pour tout n∈N,an≤L(a, b)≤bn
a) Ecrire une procédureiterationde paramètresa, bet n, et qui retourne la liste[an, bn]
indication : On pourra soit écrire une boucle ou encore une procédure récursive à l’aide la commande option remember
b) Ecrire une procédurelimitede paramètres a, b, ε, et qui retourne le premier termean vérifiant
|an−bn| ≤ε. Comme|an−L(a, b)| ≤ |an−bn|, cette procédure retourne une valeur approchée deL(a, b) c) Ecrire une procédureerreurde paramètresa, bet net qui retourne la liste[b1−a1, . . . , bn−an].
Que peut-on dire de la convergence de la suite(an)n∈NversL(a, b)
Exercice 2. Etude Graphique d’une suite récurrente On se propose de visualiser le comportement d’une suite récurrente
u0∈R et ∀n∈N, un+1=f(un) a) Ecrire une procédure ListeP oints qui prend
comme paramètres la fonction f, la valeur initiale u0 et le nombre d’itérations n, et qui retourne la liste des de coordonnées des points de la ligne poly- gonale à tracer pour suivre le comportement de la suite.
b) Charger le packageplots. Ecrire une procédure graphiquequi prend comme paramètresf, a, b, net u0 et qui trace sur un même dessin le graphe de f, la première bissectrice et la ligne polygonale sur [a, b](on utilisera la commandedisplay)
c) Reprendre les exemples traités en classe.
0
0,6 0,4 0,2 0 1
0,6
0,4
1 0,8 0,2
0,8
Exercice 3. On considère la suite définie par
u1>0 et ∀n≥1, un+1=un
µ un+ 1
n
¶
a)Ecrire une procédureperturbequi prend comme paramètresu1etnet qui retourne la liste[u1, . . . , un].
Exemples :u1= 0.3, puisu1= 1, pourn= 10
On admet les résultats suivants :
• Les seules limites possibles de la suiteusont0,1et +∞
• la suite uconverge vers0 si et seulement si il existep≥1 tel queup≤1−1p
• la suite utend vers+∞ si et seulement si il existep≥1 tel queup≥1
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• il existe une valeur critique αtelle que :
u1< α =⇒ limu= 0 u1=α =⇒ limu= 1 u1> α =⇒ limu= +∞
b) Ecrire une procéduretestde paramètreu1 qui retournetruesi la suiteutend vers+∞
c) Justifier que α∈ [0,1]. Ecrire une procédure alphade paramètre ε qui retourne une séquence m, n, où m est une valeur approchée de α à la précision ε, calculée par dichotomie, et n est le nombre d’itérations utilisé pour ce calcul
d)Calculerperturbee(alpha(ε))pour plusieurs valeurs deε:ε= 10−4,10−10. . .(on pourra changer la valeur deDigits)
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