Généralités sur les suites
Classe de 1ère
I - Définitions et représentations graphiques
1) Définitions
Définitions :
On appellesuite numériquetoute liste de nombres réels ordonnée et numérotée à l’aides des entiers naturels.
La suite u0, u1,u2 .... définie sur IN est notée (un).
un est appelé terme d’indicen de la suite (un).
Exemples : Il existe plusieurs méthodes pour générer une suite : 1) Suite définie par une formule explicite.
• La suite (un) telle que pour toutn ∈IN, un =2n+1 est la suite composée des nombres impairs etu5=2×5+1=11
• La suite (vn) telle que pour tout n∈IN,vn =2×3n est telle que, par exemple v3= 2× 33= 54.
2) Suite définie par récurrence
Il est également possible de définir une suite à partir d’une relation de récurrence. C’est à dire que chaque terme sera défini à partir des termes précédents :
• Soit (un) la suite définie paru0=1 et pour toutn ∈IN∗,un = −2un−1. On aura alors : u0 = 1
u1 = −2 u2 = 4 u3 = −8
...
• Soit (vn) la suite définie par v0=1, v1=2 et pour toutn ∈IN tel quen >2, vn = vn−1+ vn−2. On aura alors :
v0 = 1 v1 = 2 v2 = 3 v3 = 5 v4 = 8
...
2) Représentations graphiques
Définition :
Dans un repère du plan, on appellereprésentation graphiqued’une suite (un) le nuage de point de coordonnées (n;un) pour tout n∈IN.
Exemple : Pour la dernière suite définie ci-dessus, on obtient, par exemple la représention gra- phique :
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
II - Sens de variation d’une suite
Définition :
Considérons une suite numérique (un).
• on dit que la suite (un) est croissantesi pour tout entier n,un+1>un,
• on dit que la suite (un) est décroissante si pour tout entiern, un+16un.
Exemples : 1) Lecture graphique : grâce au graphique précédent, on peut conjecturer que la suite est croissante.
2) Reprenons la suite (un) définie par un =2n+1 pour toutn∈IN.
Calculons :un+1−un =2(n+1)+1−(2n+1)=2
Pour toutn∈IN,un+1−un >0 donc la suite (un) est croissante.
3) Étudions alors les variations de la suite (vn) définie parvn =2×3n pour toutn ∈IN.
Calculons :
vn+1
vn = 2×3n+1 2×3n =3
III - Notion de limite
Définition :
Soit (un) une suite numérique. Lorsque, quand n augmente indéfiniment, les termes de la suite se rapprochent d’un nombre réelL,on dit que la suite (un) converge versL.
On dit dans ce cas que la limitede (un), lorsquen tend vers+∞, est égale àL et on écrit lim
n→+∞un =L. Exemple : Soit (wn) la suite définie par wn = 2
n pour tout n > 0. On obtient pour cette suite, la représentation graphique suivante :
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2
3 Les ordonnées des points se rapprochant de 0
lorsque n augmente, on peut supposer que (wn) converge vers 0.
Définition :
Une suite qui n’est pas convergente est appelée divergente.
Exemple : Les suites (un) et (vn) définies par récurrence dans la partie I semblent toutes deux divergentes.
En effet, (u ) semble ne tendre vers aucune valeur précise et (v ) semble augmenter indéfiniment
