I Généralités sur les suites

Chapitre 18 : Suites (suite).

I Généralités sur les suites

On appelle suite de nombres réels ou suite réelle toute application de NdansR.

Si uest une application de N dans R on la notera alors pu_nqnPN ou bien pu_nqně0 où, par convention,u_n“upnq.

On dit alors que la suite pu_nqnPNest la suite de terme généralu_n. On note R^N l’ensemble des suites réelles.

Définition 1

Remarque 1. — On parlera toujours de la suiteuou de la suitepu_nqnPNmais pas de la suiteu_n.

— De manière analogue, pour pPNon appellera encore suite une applicationudeJp,`8rdansR et on la noterapu_nqněp.

— Le choix de la lettre pour l’indice n’a pas d’importance, on peut écrire u“ pu_nqnPN“ pu_kqkPN

Exemple 1. — La suitepunqnPNdéfinie par

@nPN un“3n`1

— La suitepv_nqnPNdéfinie par

@nPN vn“0 est appelée la suite nulle.

— Une suite pwnqnPNvérifiant

@nPN wn “w0

est appelée une suite constante

Soitpu_nqnPNet pv_nqnPNdeux suites réelles et soitλPR. On définit alors

— la suitepa_nqnPNpar

@nPN a_n“λu_n On la notepλu_nqnPN.

— la suitepb_nqnPNpar

@nPN b_n“u_n`v<sub>n</sub> On la notepun`vnqnPN.

— la suitepc_nqnPNpar

@nPN cn“unˆvn

On la notepunvnqnPN.

— si la suitepvnqnPNne s’annule jamais, on définit la suite pdnqnPNpar

@nPN dn“un

vn

On la note

´u_n v_n

¯

nPN

. Définition 2

SoitPpnqune propriété dépendant d’un entiernPN. On dit que la propriétéPpnqest vraie à partir d’un certain rang s’il existen₀PNtel quePpnqest vraie pour tout entier něn₀. C’est-à-dire

Dn0PN @něn0 Ppnqest vraie Définition 3

Soitpu_nqnPNune suite réelle

— On dit que la suitepunqnPN est stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang, c’est-à-dire si

Dn₀PN @něn₀ a_n“a_n0

— On dit que la suitepunqnPNest périodique de périodepPNsi

@nPN un`p“un

Définition 4

Exemple 2. — La suitepunqnPNdéfinie par

@nPN un“ p´1qⁿ est périodique de période 2.

— La suitepvnqnPNdéfinie par

@nPN v_n“ Z10

n

^

est stationnaire.

SoitpunqnPNune suite réelle

— On dit que punqnPNest croissante (resp. strictement croissante) si

@nPN un`1ěun presp.un`1ąunq

— On dit que pu_nqnPNest croissante à partir d’un certain rang (resp. strictement crois- sante à partir d’un certain rang) si

Dn₀PN@něn₀ u_{n`1</sub>ěu<sub>n</sub> presp.u<sub>n`1}ąu_nq

— On dit que punqnPNest décroissante (resp. strictement croissante) si

Remarque2. Sous peine de risque de fâcher gravement le correcteur on n’écrira jamais «unÕ»ou

«unŒ»sur sa copie.

@nPN u_{n`1</sub>ďu<sub>n</sub> presp.u<sub>n`1}ău_nq

— On dit que punqnPN est décroissante à partir d’un certain rang (resp. strictement croissante à partir d’un certain rang) si

Dn0PN@něn0 un`1ďun presp.un`1ăunq

— On dit que pu_nqnPN est monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou bien si elle est décroissante (resp. si elle est strictement croissante ou bien si elle est strictement décroissante).

Définition 5

Exemple 3. — La suitepunqnPNdéfinie par

@nPN u_n “n²`1 est strictement croissante

— La suitepv_nqnPNdéfinie par

@nPN v_n“X? n\ est croissante (mais pas strictement croissante).

— Soit qą0 et soitpa_nqnPN la suite définie par

@nPN an“nqⁿ Quelle est la monotonie depanqnPN?

Siqě1 il est clair que panqnPNest croissante.

On suppose queqă1. PournPN^˚on a clairementa_n ‰0. Pour étudier l’éventuelle monotonie de la suitepa_nqnPNon va étudier le quotient ^un`1_u

n

SoitnPN^˚, on a

anďan`1

ôa_n`1 an

ě1 ôpn`1qq<sup>n`1</sup>

nqⁿ ě1 ôpn`1q

n ě1 ô1`1

n ě 1 q

ô1 n ě1

q ´1 ôně q

1´q pon a 1 q ą1q De même on montre que

a_n`1ďa_n ô ně q 1´q

Ainsi, siqă1, la suitepanqnPNest décroissante à partir du rangn0“ Y q

1´q

]

`1.

— Soit xą0 etpbnqnPNla suite définie par

@nPN b_n“ xⁿ n!

Étudions la monotonie de la suitepb_nqnPN. SoitnPNon a

bn`1´bn “ x<sup>n`1</sup> pn`1q! ´xⁿ

n!

“xⁿ n!

ˆ x n`1 ´1

˙

“ xⁿ

pn`1q!px´ pn`1qq Ainsi la suitepbnqnPNest décroissante à partir du rangn0“txu.

Soitf :RÑRet xPR. Il existe une unique suite punqnPNtelle que u0“x et @nPN un`1“fpunq On dit alors que la suite punqnPNest définie par récurrence par

#

u0“x

@nPN u_n`1“fpu_nq On parle alors de suite récurrente d’ordre 1.

On peut généraliser cette notion au cas où l’ensemble de définition D_f de f n’est pas R mais il est alors extrêmement important de vérifier que la suitepu_nqnPNest bien définie en prouvant (généralement par récurrence) que, pour tout nPN,un PDf.

Définition 6

Exemple 4. SoitpunqnPNla suite définie par

#

u0P r0,2s

@nPN u_n`1“? 2´u_n

Comme f : x ÞÑ ?

2´x n’est pas définie sur R, on DOIT montrer que la suite punqnPN est bien définie. Pour cela on va ici montrer par récurrence que, pour toutnPNunP r0,2s.

Initialisation :

On a par définitionu0P r0,2s (ce qui nous assure queu1“?

2´u0est bien défini).

Hérédité :

SoitnPN, on suppose que, pour toutkďn,u_k est bien défini et vérifieu_kP r0,2s.

On va montrer qu’alorsu_{n`1</sub>est bien défini et vérifieu<sub>n`1}P r0,2s.

Commeu_n P r0,2s ĂD_f alorsu_nn`1“fpu_nqest bien défini. De plus, comme u_n P r0,2s on a

alors ?

2´0ě?

2´u_n ě

?2´2 C’est-à-dire

0ďun`1ď

?2ď2

Ainsiun`1P r0,2s, ce qui prouve la propriété au rangn`1 et achève la récurrence.

On a ainsi prouvé que la suitepunqnPN est bien définie.

On peut généraliser la notion de suite définie par récurrence.

Soit pPN^˚,f :R^p ÑRet px0, x1,¨ ¨ ¨, xp´1q PR^p. Il existe une unique suitepunqnPN telle que

u0“x0 u1“x1 ¨ ¨ ¨ up´1“xp´1 et @nPN un`p“fpun, un`1,¨ ¨ ¨, un`p´1q On dit alors que la suite punqnPNest définie par récurrence par

$

’’

’’

&

’’

’’

% u0“x u1“x1

...

@nPN u_{n`p</sub>“fpu<sub>n</sub>, u<sub>n`1},¨ ¨ ¨ , u_n`p´1q On parle alors de suite récurrente d’ordrep.

Définition 7

II Suites usuelles

A Suite arithmétiques et géométriques

SoitrPRet soitpu_nqnPNla suite définie par récurrence par

# u0PR

@nPN un`1“un`r On dit alors quepunqnPN est une suite arithmétique de raisonr.

Définition 8

SoitpunqnPNune suite arithmétique de raisonr. Alors on a

@nPN un“u0`nr Théorème 1

Démonstration. On procède par récurrence surn.

Initialisation :

On a bienu0“u0`0ˆr Hérédité :

SoitnPN, on suppose queun“u0`nr.

Alors

u<sub>n`1</sub>“u<sub>n</sub>`r“u₀`nr`r“u₀` pn`1qr Ce qui prouve la propriété au rangn`1 et achève la récurrence.

SoitpunqnPNune suite arithmétique de raisonret soitN PN. Alors

N

ÿ

k“0

u_k“ pN`1qu<sub>0</sub>`NpN`1q

2 r

Théorème 2

Démonstration. On a

N

ÿ

k“0

u_k“

N

ÿ

k“0

u₀`rk

“ pN`1qu<sub>0</sub>`r

N

ÿ

k“0

k

“ pN`1qu0`NpN`1q

2 r

SoitqPRet soitpunqnPNla suite définie par récurrence par

# u0PR

@nPN u_n`1“qu_n

On dit alors quepu_nqnPN est une suite géométrique de raisonq.

Définition 9

SoitpunqnPNune suite géométrique de raison q. Alors on a

@nPN un“u0qⁿ Théorème 3

Démonstration. On procède par récurrence surn.

Initialisation :

On a bienu0“u0ˆ1“u0ˆq⁰ Hérédité :

SoitnPN, on suppose queun“u0qⁿ. Alors

u<sub>n`1</sub>“qu<sub>n</sub>“qu<sub>0</sub>q<sup>n</sup>“u<sub>0</sub>q<sup>n`1</sup> Ce qui prouve la propriété au rangn`1 et achève la récurrence.

SoitpunqnPNune suite géométrique de raison qet soitN PN. Alors

N

ÿ

k“0

uk“

#

u01´q^N`1

1´q siq‰1

pN`1qu₀ siq“1 Théorème 4

Démonstration. On a

N

ÿ

k“0

u_k“

N

ÿ

k“0

u₀q^k

“u0 N

ÿ

k“0

q^k

“

#

u₀^1´q_1´q<sup>N`1</sup> siq‰1 pN`1qu0 siq“1

B Suites arithmético-géométriques

Soitpa, bq PR²et soitpunqnPNla suite définie par récurrence par

# u0PR

@nPN u<sub>n`1</sub>“au<sub>n</sub>`b

On dit alors que la suite pu_nqnPNest une suite arithmético-géométrique.

Définition 10

Soitpa, bq PR²et soitpunqnPNla suite arithmético-géométrique définie par

# u0PR

@nPN u<sub>n`1</sub>“au<sub>n</sub>`b On suppose quea‰0

Remarque3. Sia“0 alorspunqnPNest simplement une suite arithmétique

Soitc l’unique solution de l’équationx“ax`b.

Alors la suitepun´cqnPNest géométrique de raisonaet on a donc

@nPN un“c`aⁿpu0´cq Théorème 5

Démonstration. SoitnPN, on a

#

un`1“aun`b c“ac`b En soustrayant la seconde ligne à la première on a alors

u_n`1´c“apu_n´cq La suitepu_n´cq_nPNest donc bien géométrique de raisona.

On a alors

@nPNu_n´c“aⁿpu₀´cq D’où

@nPN un“c`aⁿpu0´cq

Exemple 5. Alice a payé avec une carte de crédit une somme de 1000 euros. Sa banque pratique un taux d’intérêt de 5% sur la somme restant due. Alice souhaite rembourser sa dette au rythme de 100 euros par mois à partir du second mois. Combien de temps faudra-t-il à Alice pour rembourser sa dette et combien aura-t-elle payé au total ?

La dette d’Alice au moisnnotéedn est une suite arithmético-géométrique vérifiant

@nPN d_n`1“1.05d_n´100 SoitcPRtel quec“1.05c´100 c’est-à-direc“_0.05¹⁰⁰ “2000.

On a alors

@nPN d_n“2000´1000ˆ1.05ⁿ

Alice aura remboursé sa dette lorsque queun ď0, c’est-à-dire dès quep1.05qⁿ ě2 donc dès que ně_lnp1.05q^lnp2q »14.

Il faut donc 15 mois à Alice pour payer sa dette et elle aura payé au total 13ˆ100`d14“1400`2000´1000ˆ1.05¹⁴»1420

C Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Soitpa, bq PR²et soitpu_nqnPNla suite définie par récurrence par

$

’&

’% u0PR u1PR

@nPN un`2“aun`1`bun

On dit alors quepunqnPN est une suite récurrente linéaire d’ordre 2.

Définition 11

Soitpa, bq PR²et soitpunqnPNla suite définie par récurrence par

$

’&

’% u0PR u₁PR

@nPN un`2“aun`1`bun

SoitP “X²´aX´b. On dit que P est le polynôme caractéristique de la suitepunqnPN. Trois cas sont possibles

— P admet deux racines réelles distinctes λet µ. Alors, il existepA, Bq PR²tel que

@nPN un “Aλⁿ`Bµⁿ Le couplepA, Bqest de plus l’unique solution du système

#

A`B “u0

λA`µB“u₁

— P admet une racine réelle double λ. Alors il existepA, Bq PR² te lque

@nPN un“Aλⁿ`Bnλⁿ Le couplepA, Bqest de plus l’unique solution du système

# A“u0

λpA`Bq “u₁

— P admet deux racines complexes conjuguéesρe^iθetρe^´iθ. Alors, il existepA, Bq PR² tel que

Remarque4. Il faut bien faire attention, la méthode est similaire à celle employée pour les équations différentielles mais la forme des résultats n’est pas la même

@nPN u_n“ρⁿpAcospnθq `Bsinpnθqq Le couplepA, Bqest de plus l’unique solution du système

#A“u₀

ρpAcospθq `Bsinpθqq “u1

Théorème 6

Démonstration. On admet que les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues introduit ont toujours une unique solution.

On va procéder par récurrence double

— P admet deux racines réelles distinctesλet µ. On a donc

λ²´aλ´b“0 et µ²´aµ´b“0 Initialisation :

On a bienu₀“Aλ⁰`Bµ<sup>0</sup>et u<sub>1</sub>“Aλ<sup>1</sup>`Bµ¹. Hérédité :

SoitnPN^˚, on suppose que

un “Aλⁿ`Bµ<sup>n</sup> etun´1“Aλ<sup>n´1</sup>`Bµ^n´1 Alors

un`1“aun`bun´1

“apAλⁿ`Bµ<sup>n</sup>q `b`

Aλ^n´1`Bµ^n´1˘

“Aλ^n´1paλ`bq `Bµ^n´1paµ`bq

“Aλ^n´1λ²`Bµ^n´1µ²

“Aλ<sup>n`1</sup>`Bµ^n`1

Ce qui prouve la propriété au rangn`1 est achève la récurrence.

— P admet une racine réelle doubleλ. On a alors

P“X²´aX´b“X²´2λX`λ² En particuliera“2λ.

Initialisation :

On a bienu0“Aλ⁰`Bˆ0ˆλ<sup>0</sup> et u1“Aλ<sup>1</sup>`Bˆ1ˆλ¹. Hérédité :

SoitnPN^˚, on suppose que

un“Aλⁿ`Bnλ<sup>n</sup> et un´1“Aλ<sup>n´1</sup>`Bpn´1qλ^n´1 Alors

un`1“aun`bun´1

“apAλⁿ`Bnλ<sup>n</sup>q `b`

Aλ^n´1`Bpn´1qλ^n´1˘

“Aλ^n´1paλ`bq `Bpn´1qλ^n´1paµ`bq `aBλⁿ

“Aλ^n´1λ²`Bpn´1qλ<sup>n´1</sup>λ<sup>2</sup>`2λBλⁿ

“Aλ^{n`1</sup>`Bpn`1qλ<sup>n`1}

— P admet deux racines complexes conjuguéesρe^iθ et ρe^´iθ. Initialisation :

On a bien

u0“ρ⁰pAcosp0ˆθq `Bsinp0ˆθqq et u1“ρ<sup>1</sup>pAcosp1θq `Bsinp1θqq Hérédité

SoitnPN^˚, on suppose que

un “ρⁿpAcospnθq `Bsinpnθqq et ρ<sup>p</sup>n´1q pAcosppn´1qθq `Bsinppn´1qθqq Alors

un`1“aun`bun´1

“apρⁿpAcospnθq `Bsinpnθqqq `b´

ρ^pn´1q pAcosppn´1qθq `Bsinppn´1qθqq¯

“A`

aρⁿcospnθq `bρ^n´1cosppn´1qθq˘

`B`

aρⁿsinpnθq `bρ^n´1sinppn´1qθq˘ Or

aρⁿcospnθq `bρ<sup>n´1</sup>cosppn´1qθq “<´ a`

ρe^iθ˘ⁿ

`b`

ρe^iθ˘^n´1¯

“<´

`ρe<sup>iθ</sup>˘<sup>n´1</sup>`

aρe^iθ`b˘¯

“<´`

ρe^iθ˘n´1` ρe^iθ˘2¯

“ρ<sup>n`1</sup>cosppn`1qθq

De même

aρⁿsinpnθq `bρ<sup>n´1</sup>sinppn´1qθq “ρ<sup>n`1</sup>sinppn`1qθq Ainsi

un`1“A`

aρⁿcospnθq `bρ^n´1cosppn´1qθq˘

`B`

aρⁿsinpnθq `bρ^n´1sinppn´1qθq˘

“Aρ^{n`1</sup>cosppn`1qθq `Bρ<sup>n`1}sinppn`1qθq

“ρ<sup>n`1</sup>pAcosppn`1qθq `Bsinppn`1qθqq

Ce qui prouve la propriété au rangn`1 et achève la récurrence.

Exemple 6. la suite de Fibonacci est une suite célèbre introduite par Léonardo Fibonacci, pour répondre à la question suivante : « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? »

Ce problème mène à la suitepunqnPNdéfinie par récurrence par

$

’&

’% u₀“0 u1“1

@nPN u<sub>n`2</sub>“u<sub>n</sub>`u<sub>n`1</sub> Le polynômeX<sup>2</sup>´X´1 admet deux racines réelles <sup>1`</sup>

?5 2 et ^1´

?5 2

Ainsi il existepA, Bq PR² tel que

@nPN u_n“A

ˆ1`? 5 2

˙ⁿ

`B

ˆ1´? 5 2

˙ⁿ

On a alors

#A`B “0

1`? 5 2 A`^1´

?5

2 B “1

D’où

A“ 1

?5 et B“ ´ 1

?5 Ainsi

@nPN un“ 1

?5 ˆ1`

?5 2

˙ⁿ

´ 1

?5 ˆ1´

?5 2

˙ⁿ

III Convergence des suites réelles

A Généralités

Soitpu_nqnPNune suite réelle. On dit que la suitepu_nqnPNconverge ou est convergente si DLPR, @εą0, DpPN, @něp, |u_n´L| ďε

C’est-à-dire s’il existe une réelLtel que, pour tout réel strictement positifε, tous les termes de la suite sont dans rL´ε, L`εs à partir d’un certain rang.

On dit alors que la suitepunqnPNconverge versLou tend versLquandntend vers`8, ce que l’on note

nÑ`8lim un“L ou un ÝÑ

nÑ`8L Si punqnPNn’est pas convergente on dit qu’elle est divergente.

Définition 12

Unicité de la limite Soit punqnPN. Si punqnPN converge alors sa limite est unique, i.e. si punqnPN converge versL1PRet L2PRalorsL1“L2.

Proposition 7

Démonstration. Soitpu_nqnPNune suite qui converge vers L₁PRet L₂PR. Supposons par l’absurde queL1‰L2 et soitε“^|L1´L₃ ^2|.

Par définition de la convergence il existe alorspp1, p2q PN² tel que

@něp1 |un´L1| ďε et @něp2 |un´L2| ďε Ainsi, pourněmaxpp₁, p₂qon a

|L₁´L₂| ď |L₁´u_n| ` |u_n´L₂| ď2εď 2

3|L₁´L₂| Ce qui est absurde. AinsiL₁“L₂.

Exemple 7. — SoitcPR, la suite constante pcq_nPNconverge versc.

— La suitepunq_nPN˚ définie par

@nPN^˚ un“ 1 n² converge vers 0.

Prouvons-le

Soitεą0, pournPN^˚ on a alors

|u_n´0| ďε ô 1

n² ďε ôn²ě1

ε carεet 1

n² sont de même signe.

ôně 1

?ε carnet 1

?ε sont tous deux positifs.

Posons doncp“ Y?1

ε`1 ]

, on a alors

@něp |un´0| ďε AinsipunqnPNconverge bien vers 0.

— La suitepv_nq_nPNdéfinie par

@nPN v_n“ p´1qⁿ diverge.

— La suitepw_nq_nPNdéfinie par

@nPN w_n“n diverge

Soitpu_nqnPNune suite réelle. On dit quepu_nqnPNtend vers`8(resp.´8) ou que la limite depu<sub>n</sub>qnPN quandntend vers`8est `8(resp.´8) si

@KPR, DN PN, @něN, u_něK respectivement

Remarque5. On pourra se limiter à Ką0 (respectivement K<0

@KPR, DN PN, @něN, unďK Définition 13

Remarque6. On ne dira JAMAIS qu’une suite converge vers`8ou´8. Une suite qui tend vers`8 ou´8est divergente.

Soit pu_nqnPN et pv_nqnPN deux suites réelles et soit λPR. On suppose que la suite pu_nqnPN

converge versL₁et que la suitepv_nqnPNconverge versL₂.

Alors la suitepλu_nqnPNconverge versλL₁, la suitepu_n`v<sub>n</sub>qnPNconverge versL<sub>1</sub>`L₂et la suitepu_nv_nqnPNconverge versL₁L₂.

Si, de plus la suitepvnqnPNne s’annule pas etL2‰0, alors la suite

´un

vn

¯

converge vers ^L_L¹

2. Théorème 8

Démonstration. Soit pu_nqnPN et pv_nqnPN deux suites réelles et soit λ P R. On suppose que la suite pu_nqnPN converge versL₁ et que la suitepv_nqnPNconverge versL₂.

— Siλ“0 alors la suitepλunqnPNest constante à 0 et converge donc vers 0. On suppose désormais queλ‰0.

Soitεą0.

SoitpPNtel que

@něp, |un´L1| ď ε

|λ|

Ainsi, pourněpon a

|λu_n´λL₁| “ |λ| |u_n´L₁| ďλ ε

|λ| ďε La suitepλunqnPNconverge bien vers λL1.

— Soit εą0

SoitpN₁, N₂q PN² tel que

@něN₁, |u_n´L₁| ďε

@něN2, |vn´L2| ďε PourněmaxpN₁, N₂qon a alors

|pu_n`v<sub>n</sub>q ´ pL<sub>1</sub>`L₂q| ď |u_n´L₁| ` |v_n´L₂| ď2ε

Quitte à remplacer ε par ^ε₂ on obtient le résultat voulu. Ainsi la suite pu_n`v<sub>n</sub>qnPN converge versL1`L2.

— Soit δą0

SoitpN1, N2q PN² tel que

@něN1, |un´L1| ďδ

@něN2, |vn´L2| ďδ PourněmaxpN₁, N₂qon a alors

|unvn´L1L2| ď |unvn´L1vn`L1vn´L1L2| ď |u<sub>n</sub>v<sub>n</sub>´L<sub>1</sub>v<sub>n</sub>| ` |L₁v_n´L₁L₂| ď |vn| |un´L1| ` |L1|vn´L2|

ď p|v_n´L₂| ` |L<sub>2</sub>|q |u<sub>n</sub>´L<sub>1</sub>| ` |L₁|v_n´L₂| ď pδ` |L<sub>2</sub>|qδ` |L₁|δ Soit alorsε. Posonsδ“min

´ ε

|L₁|`2|L₂|,|L2|

¯

de sorte que l’on ait pδ` |L<sub>2</sub>|qδ` |L₁|δď2|L₂|δ` |L₁|δďε et notonsN3“maxpN1, N2q. Alors,

@něN3 |unvn´L1L2| ďε

— On va prouver que la suite

´ 1 v_n

¯

tend vers _L¹

2. SoitδP

ı 0,^|L₂^2|

”

etN PNtel que

@něN |vn´L₂ďδ On a alors

@něN |L2|

2 ă |L2| ´δď |vn| ďδ`L2

D’où, pourněN

1 v_n ´ 1

L₂

ď|L₂´vn|

|v_n||L₂| ď 2δ

|L₂|² Soitεą0 etδ“^|L2|

2ε

2 , on a alors

@něN,

1 vn

´ 1 L2

ďε

Ainsi la suite´

1 vn

¯

nPN

converge vers_L¹

2, et ,d’après le point précédent, la suite´

u_n vn

¯

nPN

converge vers ^L_L¹

2.

Soit punqnPNune suite qui tend vers `8et soitpvnqnPN une suite réelle qui tend vers une limite `PRY t˘8u.

SoitλPR

— Siλą0 alors la suitepλunqnPN tend vers`8.

— Siλă0 alors la suitepλunqnPN tend vers´8.

— SipvnqnPNne tend pas vers ´8alorspun`vnqnPNtend vers`8.

— Si pvnqnPN tend vers une limite`ą0 (éventuellement`“ `8) alors punvnqnPN tend vers`8.

— Si pvnqnPN tend vers une limite`ă0 (éventuellement`“ ´8) alors punvnqnPN tend vers´8.

Théorème 9

Démonstration. — Soit K ą0, on a alors ^K_λ ą0. Comme pu_nqnPN tend vers `8il existe donc N PNtel que

@něN, uně K λ Ainsi

@něN, λun ěK On en déduit quepλunqnPNtend vers`8

— Soit Kă0, on a alors ^K_λ ą0. Comme punqnPNtend vers`8il existe doncN PNtel que

@něN, uně K λ

Ainsi

@něN, λun ďK On en déduit quepλunqnPNtend vers´8

— On sait que `‰ ´8, ainsi,

Si`PRalors il existeNPNtel que

@něN, vn ě`´1 Si`“ `8alors il existeN PNtel que

@něN, vn ě0

Dans tous les cas la suite pv_nqnPN est minorée à partir d’un certain rang. Soit donc M P Ret N PNtel que

@něN, v_něM

SoitKPR, on sait que limnÑ`8un “ `8, ainsi il existeN¹PNtel que

@něN¹, un ěK´M Ainsi, en notant ˜N “maxpN, N¹q

@něN ,˜ un`vněK On en déduit que lim<sub>nÑ`8</sub>u_n`v<sub>n</sub>“ `8.

— On sait que `ą0, ainsi,

Si`PRalors il existeNPNtel que

@něN, vn ě`´` 2 Si`“ `8alors il existeN PNtel que

@něN, vn ě1

Dans tous les cas la suite pv_nqnPN est minorée à partir d’un certain rang par une constante strictement positive. Soit doncM ą0 etN PNtel que

@něN, v_něM

SoitKPR, on sait que limnÑ`8un “ `8, ainsi il existeN¹PNtel que

@něN¹, un ě K M

Ainsi, en notant ˜N “maxpN, N¹q

@něN ,˜ unvněK On en déduit que lim<sub>nÑ`8</sub>u<sub>n</sub>v<sub>n</sub>“ `8.

— SipvnqnPNtend vers une limite `ă0 alorsp´vnqnPN tend vers´`ą0.

D’après la point précédentp´u_nv_nqnPNtend alors vers`8.

D’après le second point, on en déduit alors quepunvnqnPNtend alors vers´8.

On peut résumer les résultats précédent dans des tableaux

On verra plus tard des méthodes pour lever les formes indéterminées.

Soit punqnPN une suite réelle. On considère les deux sous-suites pu2nqnPN et pu2n`1qnPN

respectivement des termes d’indice pairs et impairs de la suitepunqnPN. Alors la suitepunqnPN

est convergente si et seulement si les deux sous-suitespunqnPNetpvnqnPNsont toutes les deux convergentes et convergent vers la même limite.

Remarque7. Ce résultat sera fondamental pour l’étude des suites définies par récurrence

Théorème 10

Démonstration. — Supposons dans un premier temps que la suitepunqnPNconverge versLPR. Soitεą0 etN PNtel que

@něN |u_n´L| ďε On a alors

@ně ZN

2

^

, |u_2n´L| ďε

@ně ZN

2

^

, |u2n`1´L| ďε

Les suitespu_nqnPN etpv_nqnPNsont donc toutes les deux convergentes versL.

— Réciproquement supposons que suitespunqnPNetpvnqnPNsont donc toutes les deux convergentes vers une limiteLPR.

Soitεą0 etpN₁, N₂q PNtels que

@něN₁ |u_2n´L| ďε

@něN₂ |u_2n`1´L| ďε Alors

@němaxp2N1,2N2`1q |un´L| ďε La suitepu_nqnPN converge donc bien versL.

B Résultats fondamentaux : Limites et inégalités

SoitpunqnPNune suite réelle qui converge vers L.

Si L‰0 alors la suitepunqnPNest non-nulle à partir d’un certain rang. Plus précisément, si Lą0 alors la suitepunqnPNest strictement positive à partir d’un certain rang et si Lă0 alors la suite punqnPNest strictement négative à partir d’un certain rang.

Théorème 11

Démonstration. — SupposonsLą0. On considèreε“ ^L₂ ą0.

SoitNPNtel que

@něN, |un´L| ďε On a donc

@něN L´εďu_n ďL`ε C’est-à-dire

@něN L

2 ďun ď3ε 2 En particulier, comme ^L₂ ą0,

@něN u_ną0

— Supposons Lă0. On considèreε“ ^´L₂ ą0.

SoitNPNtel que

@něN, |un´L| ďε On a donc

@něN L´εďun ďL`ε C’est-à-dire

@něN 3L

2 ďunď L 2 En particulier, comme ^L₂ ă0,

@něN ună0

Soitpu_nqnPNune suite réelle convergente, alors pu_nqnPNest bornée.

Remarque8. La réciproque est ABSOLUMENT FAUSSE. Dire qu’une suite converge car elle est bornée est passible de bannissement dans le sixième cercle des Enfers.

Théorème 12

Démonstration. SoitpunqnPNune suite réelle convergente, notonsLsa limite. SoitN PNtel que

@něN |un´L| ď1 Ainsi,

@něN un P rL´1, L`1s

L’ensembletu0, u1,¨ ¨ ¨, uN´1uest fini (plus précisément il admetN éléments), il est donc borné.

Soit alorspm, Mq PRtel que

@kPJ0, N´1K mďuk ďM Ainsi, pournPNon a

minpm, L´1q ďu_nďmaxpM, L`1q La suitepunqnPNest bien bornée.

Passage des inégalités à la limite SoitpunqnPNetpvnqnPNdeux suites convergentes de limites respectivesL1etL2. On suppose quepvnqnPNest supérieure àpunqnPNà partir d’un certain rang, c’est-à-dire

DN PN, @něN, unďvn

AlorsL1ďL2

Théorème 13

Démonstration. Supposons par l’absurde queL1 ąL2. La suite pun´vnqnPNconverge alors vers un réel strictement positif.

Ainsi la suitepu_n´v_nqnPNest strictement positive à partir d’un certain rang, il existe doncN₂PN tel que

@něN₂u_nąv_n SoitněmaxpN, N2q, on a alors

vnăun ďvn

ce qui est absurde. AinsiL1ďL2.

Remarque9. Sipv_nqnPNest strictement supérieure àpu_nqnPNà partir d’un certain rang, c’est-à-dire si DN PN, @něN, unăvn

Alors on n’a tout de même qu’une inégalité large à la limiteL1ďL2. Un exemple simple à considérer est l’exemple des suites`₁

n

˘

nPNet`_´1

n

˘

nPN

Théorème des gendarmes Soit panqnPN, pbnqnPN etpcnqnPNtrois suites réelles telles que

— DN PN @něN anďbnďcn

— panqnPNet pcnqnPNconverge vers la même limite.

AlorspbnqnPNconverge versL.

Théorème 14

Démonstration. SoitNPNtel que

@něn a_nďb_nďc_n Soitεą0 etpN₁, N₂q PNtel que

@něN1 |an´L| ďε

@něN2 |cn´L| ďε Ainsi

@něN1 an ěL´ε

@něN2 |cnďL`ε D’où, pourněmaxpN, N₁, N₂qon a

L´εďan ďbnďcn ďL`ε Ainsi

@němaxpN, N1, N2q, |bn´L| ďε La suitepbnqnPNconverge donc bien versL.

Extension aux limites infinies SoitpanqnPNetpbnqnPN deux suites réelles telles que DN PN, @něN, anďbn

— Si limnÑ8a_n“ `8alors limnÑ8b<sub>n</sub> “ `8.

— Si limnÑ8bn “ ´8alors limnÑ8an “ ´8.

Proposition 15

Démonstration. — On suppose que lim_nÑ8a_n“ `8SoitKą0 et soitpN, N¹q PN²tel que

@něN, anďbn

@něN¹, aněK Alors

@němaxpN, N¹q, bn ěK Ainsi limnÑ8bn“ `8.

— On suppose que lim_nÑ8b_n“ ´8SoitKă0 et soitpN, N¹q PN² tel que

@něN, anďbn

@něN¹, bnďK Alors

@němaxpN, N¹q, anďK Ainsi limnÑ8an“ ´8.

Exemple 8. 1. Soitpu_nqnPNla suite définie par

@nPN un “

n

ÿ

k“1

1 lnpn`kq PourkPJ1, nKon a <sub>lnpn`kq</sub>¹ ě _lnp2nq¹ , ainsi

@nPN, u_n ě n lnp2nq Ainsi limnÑ8un“ `8.

2. SoitpvnqnPN la suite définie par récurrence par

#v₀PR

@nPN, un`1“ <sup>e</sup><sub>n`1</sub>^´un On a clairement

@ně1, uně0 D’où

@ně2, 0ďu_nď 1 n`1

D’après le théorème des gendarmes la suitepunqnPN converge donc vers 0.

C Résultats fondamentaux : Limite et monotonie

Soit punqnPNune suite croissante à partir d’un certain rang et majorée, alors elle converge vers un réelLet on a

L“suptun, nPNu

De même sipvnqnPNune suite décroissante à partir d’un certain rang et minorée, alors elle converge vers un réel`et on a

`“inftvn , nPNu Théorème 16

Démonstration. — Rappelons la caractérisation de la borne supérieure S“suppAq ô

#

@aPA aďS

@εą0, existsaPA, S´εďaďS

Ici l’ensembletun, nPNuest majoré. Il admet donc une borne supérieure que l’on noteL.

On a en particulier

@nPN unďL

Soitεą0. La deuxième ligne de la caractérisation de la borne supérieure nous dit qu’il existe alorsNPNtel que L´εďu_N ďL.

La suitepu_nqnPN étant croissante, on a

@něN un ěuN

Ainsi

@něN L´εďuN ďunďL D’où

@něN |u_n´L| ďε On a donc prouvé quepunqnPNconverge versL.

— Si pvnqnPN une suite décroissante à partir d’une certain rang et minorée alors p´vnqnPN est une suite croissante à partir d’un certain rang et majorée. Elle converge alors vers une limite L“supt´vn, nPNu.

AinsipvnqnPN converge vers

`“ ´L“ ´supt´v_n, nPNu “inftv_n, nPNu

Remarque 10. Si pu_nqnPNest croissante et majoré parM PRalors elle converge mais RIEN ne nous dit qu’elle converge versM. On a par contre

nÑ8lim u_nďM

Toute suite monotone bornée converge. La réciproque est FAUSSE Corolaire 17

Exemple 9. On a vu plus tôt que, pourxą0, la suite`_xⁿ

n!

˘

nPNest décroissante à partir d’un certain rang et minorée par 0. Ainsi elle converge vers une limite`ě0.

On verra plus tard que lim_nÑ8^x_n!ⁿ “0.

SoitpunqnPNune suite réelle.

— On suppose que punqnPNest croissante à partir d’un certain rang et non majorée.

Alorspu_nqnPN tend vers`8quandntend vers`8.

— On suppose que pu_nqnPNest décroissante à partir d’un certain rang et non minorée.

AlorspunqnPN tend vers´8quandntend vers`8.

Théorème 18

Démonstration. — On suppose quepunqnPNest croissante à partir d’un certain rang et non majorée.

SoitKą0. Comme pu_nqnPNn’est pas majorée, elle n’est en particulier pas majorée parK.

Ainsi, il existeN PNtel queuněK.

Commepu_nqnPNest croissante, on a de plus

@něN, u_něu_N D’où

@něN, uněK

Ainsi la suitepunqnPNtend bien vers`8quandntend vers`8.

— On suppose que punqnPNest décroissante à partir d’un certain rang et non minorée.

Alorsp´u_nqnPN est croissante à partir d’un certain rang et non majorée. Doncp´u_nqnPN tend vers`8quand ntend vers`8.

AinsipunqnPNtend vers´8quand ntend vers`8.

Remarque11. Une suite non-bornée est divergente mais n’admet pas forcement de limite. Par exemple la suitepu_nqnPNde terme général

@nPN u_n“ p´1qⁿn n’est ni majorée, ni minorée, et elle n’admet pas de limite.

Suites adjacentes

SoitpunqnPNetpvnqnPNdeux suites réelles. On dit quepunqnPNetpvnqnPNsont adjacentes si

— Elles sont monotones de sens contraire.

— limnÑ`8un´vn“0 Définition 14

SoitpunqnPN etpvnqnPNdeux suites adjacentes. AlorspunqnPN etpvnqnPNsont convergentes et convergent vers la même limite.

Théorème 19

Démonstration. Pour fixer les idées supposons quepu_nqnPN est décroissante etpv_nqnPNest croissante.

Alors la suitepu_n´v_nqnPN est décroissante. Comme elle converge vers 0 on a donc

@nPN, u_n´v_ně0 D’où

@nPN, u_něv_n Et, par monotonie depunqnPNet pvnqnPN

@nPN, u0ěuněvněv0

DESSIN

La suitepunqnPNest décroissante et minorée parv0, elle converge donc vers une limiteL1. La suite pvnqnPNest croissante et majorée paru0, elle converge donc vers une limiteL2.

Ainsi, la suitepun´vnqnPNconverge versL1´L2.

Par unicité de la limite on a alorsL1´L2“0, c’est-à-direL1“L2.

D Limite et continuité

On ne va pas donner ici une définition rigoureuse de la continuité, tous les résultats seront donc admis.

Soit f une fonction continue deD_f dansR. Soitpu_nqnPN une suite réelle convergeant vers une limiteL. On suppose que

@nPN, unPDf et LPDf

Alors la suitepfpunqqnPNest convergente et converge versfpLq.

Théorème 20

Ce résultat peut s’étendre aux situations avec des limites infinies.

Soitf une fonction deDf dansR. SoitpunqnPNune suite réelle telle que limnÑ`8un“lP RY t˘8u. On suppose que

@nPN, un PDf et lim

xÑ`fpxq “LPRY t˘8u Alors limnÑ`8fpunq “L.

Théorème 21

Exemple 10. — La suite` sin`₁

n

˘˘

nPN est convergente et converge vers 0.

— La suite` ln`

1`¹_n˘˘

nPN est convergente et converge vers 0.

Soit pa, bq P R² avec a ă b. Soit f : ra, bs Ñ ra, bs une fonction continue. Alors il existe x₀P ra, bstel que fpx₀q “x₀.

On dit quex₀ est un point fixe def surra, bs.

Proposition 22

La recherche de points fixes sera d’une grande importance pour l’étude de la convergence des suites récurrentes plus tard.

Soitf une fonction continue deDf dansR. SoitpunqnPN la suite définie par

# u0PDf

@nPN, un`1“fpunq

On suppose que la suitepunqnPNest bien définie et qu’elle converge vers une limiteLPDf.

Remarque12. Il faut faire attention aux cas oùLexiste mais n’appartient pas àDf, dans ces cas, comme fpLqn’est pas défini,

AlorsLest un point fixe deR Théorème 23

BCPST 1 2019-2020 18