Mathématiques et calcul 1er semestre

(1)

Mathématiques et calcul 1 ^er semestre

Université Paris Descartes

(2)

Les nombres complexes

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

(3)

Les nombres complexes

Introduction Opérations sur C

Les nombres complexes représentés dans le plan Représentation de l’addition des complexes Conjugaison

Module d’un nombre complexe

Racine carrée des nombres complexes L’équation du second degré

Argument

Écriture trigonométrique des nombres complexes Représentation de la multiplication

Représentation de la division Formule de De Moivre Exponentielle complexe

Racines des nombres complexes Trigonométrie

Le théorème fondamental de l’algèbre

(4)

Les nombres complexes Introduction

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif

Dans R , un carré est toujours positif L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(5)

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif

Dans R , un carré est toujours positif

L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(6)

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif

Dans R , un carré est toujours positif L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(7)

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif

Dans R , un carré est toujours positif

L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(8)

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif Dans R , un carré est toujours positif

L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(9)

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif Dans R , un carré est toujours positif

L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(10)

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif

Dans R , un carré est toujours positif L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(11)

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif Dans R , un carré est toujours positif

L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(12)

La règle des signes

Soit a et b ∈ R

+

0 = a. ( b + ( − b )) = a.b + a. ( − b )

⇒ − ( a.b ) = a. ( − b )

Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif

0 = ( − a ) . ( b +( − b )) = ( − a ) .b +( − a ) . ( − b ) = − ( a.b )+( − a ) . ( − b )

⇒ a.b = ( − a ) . ( − b )

Le produit d’un négatif et d’un négatif est positif Dans R , un carré est toujours positif

L’équation X

²

+ 1 = 0 n’a pas de racine.

(13)

On appelle i une racine carrée de −1

: i ² = −1

On définit l’ensemble des nombres complexes comme : C ⁼ { z = x + iy | x, y ∈ R ^, ⁱ ² ⁼ −1}

x est la partie réelle de z , notée : x = ℜ ( z )

y est la partie imaginaire de z , notée : y = ℑ ( z )

(14)

On appelle i une racine carrée de −1 : i ² = −1

On définit l’ensemble des nombres complexes comme : C ⁼ { z = x + iy | x, y ∈ R ^, ⁱ ² ⁼ −1}

x est la partie réelle de z , notée : x = ℜ ( z ) y est la partie imaginaire de z , notée : y = ℑ ( z )

(15)

On appelle i une racine carrée de −1 : i ² = −1

On définit l’ensemble des nombres complexes comme : C ⁼ { z = x + iy | x, y ∈ R ^, ⁱ ² ⁼ −1}

x est la partie réelle de z , notée : x = ℜ ( z )

y est la partie imaginaire de z , notée : y = ℑ ( z )

(16)

On appelle i une racine carrée de −1 : i ² = −1

On définit l’ensemble des nombres complexes comme : C ⁼ { z = x + iy | x, y ∈ R ^, ⁱ ² ⁼ −1}

x est la partie réelle de z , notée : x = ℜ ( z ) y est la partie imaginaire de z , notée : y = ℑ ( z )

(17)

Les nombres complexes Opérations surC

z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0

z + z

⁰

= ( x + iy ) + ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x + x

⁰

+ i ( y + y

⁰

) z.z

⁰

= ( x + iy ) . ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x.x

⁰

− y.y

⁰

+ i ( x.y

⁰

+ x

⁰

.y ) x + iy = x

⁰

+ iy

⁰

⇔ x = x

⁰

et y = y

⁰

( x + iy ) . ( x − iy ) = x ² + y ² Si x + iy 6 = 0 : x

+

¹ iy = ^x

⁻

^iy

x

²+

y

²

= ^x

x

²+

y

²

+ i

⁻

^y

x

²+

y

²

Sinon pour y 6 = 0 : i = − ^x y ∈ R

(18)

z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0

z + z

⁰

= ( x + iy ) + ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x + x

⁰

+ i ( y + y

⁰

)

z.z

⁰

= ( x + iy ) . ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x.x

⁰

− y.y

⁰

+ i ( x.y

⁰

+ x

⁰

.y ) x + iy = x

⁰

+ iy

⁰

⇔ x = x

⁰

et y = y

⁰

( x + iy ) . ( x − iy ) = x ² + y ² Si x + iy 6 = 0 : x

+

¹ iy = ^x

⁻

^iy

x

²+

y

²

= ^x

x

²+

y

²

+ i

⁻

^y

x

²+

y

²

ℜ ( z + z

⁰

) = ℜ ( z ) + ℜ ( z

⁰

) et ℑ ( z + z

⁰

) = ℑ ( z ) + ℑ ( z

⁰

)

(19)

z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0

z + z

⁰

= ( x + iy ) + ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x + x

⁰

+ i ( y + y

⁰

) z.z

⁰

= ( x + iy ) . ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x.x

⁰

− y.y

⁰

+ i ( x.y

⁰

+ x

⁰

.y )

x + iy = x

⁰

+ iy

⁰

⇔ x = x

⁰

et y = y

⁰

( x + iy ) . ( x − iy ) = x ² + y ²

Si x + iy 6 = 0 : x

+

¹ iy = ^x

⁻

^iy

x

²+

y

²

= ^x

x

²+

y

²

+ i

⁻

^y

x

²+

y

²

ℜ ( z.z

⁰

) = ℜ ( z ) . ℜ ( z

⁰

) − ℑ ( z ) ℑ ( z

⁰

) et

ℑ ( z.z

⁰

) = ℜ ( z ) ℑ ( z

⁰

) + ℜ ( z

⁰

) ℑ ( z )

(20)

z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0

z + z

⁰

= ( x + iy ) + ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x + x

⁰

+ i ( y + y

⁰

) z.z

⁰

= ( x + iy ) . ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x.x

⁰

− y.y

⁰

+ i ( x.y

⁰

+ x

⁰

.y ) x + iy = x

⁰

+ iy

⁰

⇔ x = x

⁰

et y = y

⁰

( x + iy ) . ( x − iy ) = x ² + y ² Si x + iy 6 = 0 : x

+

¹ iy = ^x

⁻

^iy

x

²+

y

²

= ^x

x

²+

y

²

+ i

⁻

^y

x

²+

y

²

Puisque : x + iy = x

⁰

+ iy

⁰

⇔ x − x

⁰

+ i ( y − y

⁰

) = 0

(21)

z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0

z + z

⁰

= ( x + iy ) + ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x + x

⁰

+ i ( y + y

⁰

) z.z

⁰

= ( x + iy ) . ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x.x

⁰

− y.y

⁰

+ i ( x.y

⁰

+ x

⁰

.y ) x + iy = x

⁰

+ iy

⁰

⇔ x = x

⁰

et y = y

⁰

( x + iy ) . ( x − iy ) = x ² + y ²

Si x + iy 6 = 0 : x

+

¹ iy = ^x

⁻

^iy

x

²+

y

²

= ^x

x

²+

y

²

+ i

⁻

^y

x

²+

y

²

(22)

z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0

z + z

⁰

= ( x + iy ) + ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x + x

⁰

+ i ( y + y

⁰

) z.z

⁰

= ( x + iy ) . ( x

⁰

+ iy

⁰

) = x.x

⁰

− y.y

⁰

+ i ( x.y

⁰

+ x

⁰

.y ) x + iy = x

⁰

+ iy

⁰

⇔ x = x

⁰

et y = y

⁰

( x + iy ) . ( x − iy ) = x ² + y ² Si x + iy 6 = 0 : x

+

¹ iy = ^x

⁻

^iy

x

²+

y

²

= ^x

x

²+

y

²

+ i

⁻

^y

x

²+

y

²

ℜ ( ¹ _z ) = ^ℜ

⁽

^z

⁾

ℜ( z

)²+ℑ(

z

)²

et ℑ ( ¹ _z ) =

^−ℑ⁽

^z

⁾

ℜ( z

)²+ℑ(

z

)²

(23)

Les nombres complexes Les nombres complexes représentés dans le plan

Soit z = a + ib ∈ C .

Le nombre complexe z s’appelle l’affixe du point M de coordonnées ( a , b ) dans le plan.

y

O x

M(z=a+ib)

a b

(24)

Les nombres complexes Les nombres complexes représentés dans le plan

Soit z = a + ib ∈ C .

Le nombre complexe z s’appelle l’affixe du point M de coordonnées ( a , b ) dans le plan.

y

O x

M(z=a+ib)

a b

(25)

Les nombres complexes Représentation de l’addition des complexes

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

(26)

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

a+a⁰ b+b⁰

(27)

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

a+a⁰ b+b⁰

(28)

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

a+a⁰

b+b⁰ S(z+z⁰)

(29)

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

(30)

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

M⁰⁰(−z⁰)

−a⁰

−b⁰

(31)

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

M⁰⁰(−z⁰)

−a⁰

−b⁰ a−a⁰

b−b⁰

(32)

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

M⁰⁰(−z⁰)

−a⁰

−b⁰ a−a⁰

b−b⁰

(33)

y

O x

M(z)

a b

M⁰(z⁰)

a⁰ b⁰

M⁰⁰(−z⁰)

−a⁰

−b⁰ a−a⁰

b−b⁰ D(z−z⁰)

(34)

Les nombres complexes Conjugaison

Soit z = x + iy ∈ C .

On appelle nombre complexe conjugué de z , le nombre :

¯

z = x − iy

(35)

Soit z = x + iy ∈ C .

On appelle nombre complexe conjugué de z , le nombre :

¯

z = x − iy

O

M(z)

x y

(36)

Soit z = x + iy ∈ C .

On appelle nombre complexe conjugué de z , le nombre :

¯

z = x − iy

O

M(z)

x y

M⁰(¯z)

−y

(37)

Conjugué : règles de calcul

z = x + iy z ¯ = x − iy

ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z )

ℜ ( z ) = ¹ ₂ ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = ₂ ¹ _i ( z − z ¯ ) z ∈ R ⇔ z = ¯ z

z ∈ i R ⇔ z + ¯ z = 0 ( z

1 + z

2 ) = z

1 + z

2 , ( z ) = z, ( z

1 .z

2 ) = z

1 .z

2

(38)

Conjugué : règles de calcul

z = x + iy z ¯ = x − iy

ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z ) ℜ ( z ) = ¹ ₂ ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = ₂ ¹ _i ( z − z ¯ )

z ∈ R ⇔ z = ¯ z z ∈ i R ⇔ z + ¯ z = 0 ( z

1 + z

2 ) = z

1 + z

2 , ( z ) = z, ( z

1 .z

2 ) = z

1 .z

2

(39)

Conjugué : règles de calcul

z = x + iy z ¯ = x − iy

ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z ) ℜ ( z ) = ¹ ₂ ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = ₂ ¹ _i ( z − z ¯ ) z ∈ R ⇔ z = ¯ z

z ∈ i R ⇔ z + ¯ z = 0 ( z

1 + z

2 ) = z

1 + z

2 , ( z ) = z, ( z

1 .z

2 ) = z

1 .z

2

(40)

Conjugué : règles de calcul

z = x + iy z ¯ = x − iy

ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z ) ℜ ( z ) = ¹ ₂ ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = ₂ ¹ _i ( z − z ¯ ) z ∈ R ⇔ z = ¯ z

z ∈ i R ⇔ z + ¯ z = 0

( z

1 + z

2 ) = z

1 + z

2 , ( z ) = z, ( z

1 .z

2 ) = z

1 .z

2

(41)

Conjugué : règles de calcul

z = x + iy z ¯ = x − iy

ℜ (¯ z ) = ℜ ( z ) et ℑ (¯ z ) = −ℑ ( z ) ℜ ( z ) = ¹ ₂ ( z + ¯ z ) et ℑ ( z ) = ₂ ¹ _i ( z − z ¯ ) z ∈ R ⇔ z = ¯ z

z ∈ i R ⇔ z + ¯ z = 0 ( z

1 + z

2 ) = z

1 + z

2 , ( z ) = z, ( z

1 .z

2 ) = z

1 .z

2

(42)

Les nombres complexes Module d’un nombre complexe

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | = p

z. ¯ z = Æ

x ² + y ²

Attention : Ne pas confondre module d’un nombre complexe avec valeur absolue.

La notation est la même mais :

Si z ∈ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁾ | z | = p

x ² = | x | et donc | z ² | = z ² Si z ∈ C \ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁺ ^{iy, y} 6 = 0 )

| z ² | = | ( x + iy ) ² | = Æ

( x ² − y ² ) ² + 4 x ² y ² = x ² + y ² = | z | ² ∈ R z ² = x ² − y ² + 2 ixy 6 = | z ² |

(43)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | = p

z. ¯ z = Æ

x ² + y ²

Attention : Ne pas confondre module d’un nombre complexe avec valeur absolue.

La notation est la même mais :

Si z ∈ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁾ | z | = p

x ² = | x | et donc | z ² | = z ² Si z ∈ C \ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁺ ^{iy, y} 6 = 0 )

| z ² | = | ( x + iy ) ² | = Æ

( x ² − y ² ) ² + 4 x ² y ² = x ² + y ² = | z | ² ∈ R

z ² = x ² − y ² + 2 ixy 6 = | z ² |

(44)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | = p

z. ¯ z = Æ

x ² + y ²

Attention : Ne pas confondre module d’un nombre complexe avec valeur absolue.

La notation est la même mais : Si z ∈ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁾ | z | =

p

x ² = | x | et donc | z ² | = z ²

Si z ∈ C \ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁺ ^{iy, y} 6 = 0 )

| z ² | = | ( x + iy ) ² | = Æ

( x ² − y ² ) ² + 4 x ² y ² = x ² + y ² = | z | ² ∈ R z ² = x ² − y ² + 2 ixy 6 = | z ² |

(45)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | = p

z. ¯ z = Æ

x ² + y ²

Attention : Ne pas confondre module d’un nombre complexe avec valeur absolue.

La notation est la même mais : Si z ∈ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁾ | z | =

p

x ² = | x | et donc | z ² | = z ² Si z ∈ C \ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁺ ^{iy, y} 6 = 0 )

| z ² | = | ( x + iy ) ² | = Æ

( x ² − y ² ) ² + 4 x ² y ² = x ² + y ² = | z | ² ∈ R

z ² = x ² − y ² + 2 ixy 6 = | z ² |

(46)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | = p

z. ¯ z = Æ

x ² + y ²

Attention : Ne pas confondre module d’un nombre complexe avec valeur absolue.

La notation est la même mais : Si z ∈ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁾ | z | =

p

x ² = | x | et donc | z ² | = z ² Si z ∈ C \ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁺ ^{iy, y} 6 = 0 )

| z ² | = | ( x + iy ) ² | = Æ

( x ² − y ² ) ² + 4 x ² y ² = x ² + y ² = | z | ² ∈ R

z ² = x ² − y ² + 2 ixy 6 = | z ² |

(47)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | = p

z. ¯ z = Æ

x ² + y ²

Attention : Ne pas confondre module d’un nombre complexe avec valeur absolue.

La notation est la même mais : Si z ∈ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁾ | z | =

p

x ² = | x | et donc | z ² | = z ² Si z ∈ C \ R ^, ⁽ ^z ⁼ ^x ⁺ ^{iy, y} 6 = 0 )

| z ² | = | ( x + iy ) ² | = Æ

( x ² − y ² ) ² + 4 x ² y ² = x ² + y ² = | z | ² ∈ R

z ² = x ² − y ² + 2 ixy 6 = | z ² |

(48)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | =

p z.¯ z = Æ

x ² + y ²

| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |

| z | = 0 ⇔ z = 0

| z.z

⁰

| = | z | . | z

⁰

|

| z + z

⁰

| ≤ | z | + | z

⁰

|

(49)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | =

p z.¯ z = Æ

x ² + y ²

| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |

| z | = 0 ⇔ z = 0

| z.z

⁰

| = | z | . | z

⁰

|

| z + z

⁰

| ≤ | z | + | z

⁰

|

x ² + y ² = 0 ⇔ x = y = 0

(50)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | =

p z.¯ z = Æ

x ² + y ²

| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |

| z | = 0 ⇔ z = 0

| z.z

⁰

| = | z | . | z

⁰

|

| z + z

⁰

| ≤ | z | + | z

⁰

|

| z.z

⁰

| ² = ( z.z

⁰

) . ( z.z

⁰

) = ( z.z

⁰

) . (¯ z. z ¯

⁰

) = ( z. ¯ z ) . ( z

⁰

. z ¯

⁰

) = | z | ² . | z

⁰

| ²

(51)

On appelle module du nombre complexe z , le nombre réel :

| z | =

p z.¯ z = Æ

x ² + y ²

| z | = | − z | = | ¯ z | , | x | ≤ | z | , | y | ≤ | z |

| z | = 0 ⇔ z = 0

| z.z

⁰

| = | z | . | z

⁰

|

| z + z

⁰

| ≤ | z | + | z

⁰

|

| z + z

⁰

| ² = ( z + z

⁰

) . ( z + z

⁰

) = z. ¯ z + z. ¯ z

⁰

+ z

⁰

. z ¯ + z

⁰

. ¯ z

⁰

= | z | ² + 2ℜ ( z. ¯ z

⁰

) + | z

⁰

| ²

≤ | z | ² + 2| z | . | z

⁰

| + | z

⁰

| ² = ( | z | + | z

⁰

| ) ²

(52)

O

M(z)

r =

√ x

²

+ y

²

x y

(53)

Les nombres complexes Racine carrée des nombres complexes

Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.

Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i

On cherche z = x + i y tel que z ² = 3 + 4 i

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = 3 + 4 i

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

3

²

+ 4

²

= 5 x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= 3

2 xy = 4

x

²

+ y

²

= 5

D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )

(54)

Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.

Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i

On cherche z = x + i y tel que z ² = 3 + 4 i

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = 3 + 4 i

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

3

²

+ 4

²

= 5 x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= 3

2 xy = 4

x

²

+ y

²

= 5

D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )

(55)

Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.

Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i

On cherche z = x + i y tel que z ² = 3 + 4 i

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = 3 + 4 i

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

3

²

+ 4

²

= 5 x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= 3

2 xy = 4

x

²

+ y

²

= 5

D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )

(56)

Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.

Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i

On cherche z = x + i y tel que z ² = 3 + 4 i

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = 3 + 4 i

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

3

²

+ 4

²

= 5 x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= 3

2 xy = 4

x

²

+ y

²

= 5

D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )

(57)

Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.

Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i

On cherche z = x + i y tel que z ² = 3 + 4 i

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = 3 + 4 i

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

3

²

+ 4

²

= 5

x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= 3

2 xy = 4

x

²

+ y

²

= 5

D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )

(58)

Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.

Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i

On cherche z = x + i y tel que z ² = 3 + 4 i

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = 3 + 4 i

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

3

²

+ 4

²

= 5 x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= 3

2 xy = 4

x

²

+ y

²

= 5

D’où les deux solutions : ( x , y ) = ( 2 , 1 ) et ( x , y ) = ( −2 , −1 )

(59)

Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.

Exemple : trouver la racine carrée de 3 + 4 i

On cherche z = x + i y tel que z ² = 3 + 4 i

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = 3 + 4 i

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

3

²

+ 4

²

= 5 x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= 3

2 xy = 4

x

²

+ y

²

= 5

(60)

Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) ² = a + i b

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = a + i b

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

a

²

+ b

²

x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= a ( 1 )

2 xy = b ( 2 )

x

²

+ y

²

= q

a

²

+ b

²

( 3 ) Les équations (1) et (3) permettent de calculer x

²

et y

²

L’équation (2) permet de trouver le signe de x et y

(61)

Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) ² = a + i b

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = a + i b

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

a

²

+ b

²

x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= a ( 1 )

2 xy = b ( 2 )

x

²

+ y

²

= q

a

²

+ b

²

( 3 )

Les équations (1) et (3) permettent de calculer x

²

et y

²

L’équation (2) permet de trouver le signe de x et y

(62)

Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) ² = a + i b

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = a + i b

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

a

²

+ b

²

x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= a ( 1 )

2 xy = b ( 2 )

x

²

+ y

²

= q

a

²

+ b

²

( 3 ) Les équations (1) et (3) permettent de calculer x

²

et y

²

L’équation (2) permet de trouver le signe de x et y

(63)

Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b , on pose : ( x + i y ) ² = a + i b

( x + i y )

²

= x

²

− y

²

+ 2 i xy = a + i b

| z |

²

= x

²

+ y

²

= q

a

²

+ b

²

x et y sont donc solutions du système :







x

²

− y

²

= a ( 1 )

2 xy = b ( 2 )

x

²

+ y

²

= q

a

²

+ b

²

( 3 )

Les équations (1) et (3) permettent de calculer x

²

et y

²

L’équation (2) permet de trouver le signe de x et y

(64)

Les nombres complexes L’équation du second degré

a z ² + b z + c = 0 , a 6= 0 , b, c ∈ C

a z ² + b z + c = a z ² + b a

z + c a

= 0

= a z + b 2 a

₂

−

b ² − 4 ac 4 a ²

= 0

= a z + b 2 a

₂

− ∆ 4 a ²

= 0

Les racines sont donc les nombres complexes z , tels que z +

b

2 a soit une racine carrée de ∆ 4 a ²

(65)

a z ² + b z + c = 0 , a 6= 0 , b, c ∈ C

a z ² + b z + c = a z ² + b a

z + c a

= 0

= a z + b 2 a

₂

−

b ² − 4 ac 4 a ²

= 0

= a z + b 2 a

₂

− ∆ 4 a ²

= 0

Les racines sont donc les nombres complexes z , tels que z +

b

2 a soit une racine carrée de ∆

4 a ²

(66)

a z ² + b z + c = 0 , a 6= 0 , b, c ∈ C

a z ² + b z + c = a z ² + b a

z + c a

= 0

= a z + b 2 a

₂

−

b ² − 4 ac 4 a ²

= 0

= a z + b 2 a

₂

− ∆ 4 a ²

= 0

Les racines sont donc les nombres complexes z , tels que z +

b

2 a soit une racine carrée de ∆ 4 a ²

(67)

Quand a , b et c sont réels, on a les solutions (complexes) suivantes :

Si ∆ > 0, les deux racines sont : z 1 = − b + p

∆

2 a et z

2 = − b − p

∆ 2 a

Si ∆ < 0, les deux racines sont : z 1 = − b + i p

− ∆

2 a et z

2 = − b − i p

− ∆ 2 a Si ∆ = 0, il y a une racine double :

z = −

b

2 a

(68)

Quand a , b et c sont réels, on a les solutions (complexes) suivantes :

Si ∆ > 0, les deux racines sont : z 1 = − b + p

∆

2 a et z

2 = − b − p

∆ 2 a Si ∆ < 0, les deux racines sont :

z 1 = − b + i p

− ∆

2 a et z

2 = − b − i p

− ∆ 2 a

Si ∆ = 0, il y a une racine double : z = −

b 2 a

(69)

Quand a , b et c sont réels, on a les solutions (complexes) suivantes :

Si ∆ > 0, les deux racines sont : z 1 = − b + p

∆

2 a et z

2 = − b − p

∆ 2 a Si ∆ < 0, les deux racines sont :

z 1 = − b + i p

− ∆

2 a et z

2 = − b − i p

− ∆ 2 a Si ∆ = 0, il y a une racine double :

z = −

b

(70)

Les nombres complexes Argument

O

M(z)

r =

√ x

²

+ y

²

x y

(71)

O θ

M(z)

r =

√ x

²

+ y

²

x

y

(72)

O θ

M(z)

r =

√ x

²

+ y

²

x y

x = r. cos θ y = r. sin θ

(73)

On appelle argument du nombre complexe z = x + iy , la seule solution θ, 0 ≤ θ < 2 π , du système :







cos θ =

Æ

^x x

²+

y

²

sin θ =

Æ

^y x

²+

y

²

Notation : θ = arg ( z )

(74)

Les nombres complexes Écriture trigonométrique des nombres complexes

Un nombre complexe peut s’écrire de deux manières :

1

algébrique : z = x + iy, x, y ∈ R

2

trigonométrique :

z = r ( cos θ + i sin θ ) , r ∈ R

+

, 0 ≤ θ < 2 π

Remarque : Le choix 0 ≤ θ < 2 π est un choix arbitraire, on peut tout aussi bien choisir : − π ≤ θ < π ou ...

(75)

Un nombre complexe peut s’écrire de deux manières :

1

algébrique : z = x + iy, x, y ∈ R

2

trigonométrique :

z = r ( cos θ + i sin θ ) , r ∈ R

+

, 0 ≤ θ < 2 π

Remarque : Le choix 0 ≤ θ < 2 π est un choix arbitraire, on

peut tout aussi bien choisir : − π ≤ θ < π ou ...

(76)

Un nombre complexe peut s’écrire de deux manières :

1

algébrique : z = x + iy, x, y ∈ R

2

trigonométrique :

z = r ( cos θ + i sin θ ) , r ∈ R

+

, 0 ≤ θ < 2 π

Remarque : Le choix 0 ≤ θ < 2 π est un choix arbitraire, on peut tout aussi bien choisir : − π ≤ θ < π ou ...

Mathématiques et calcul 1er semestre