Les mathématiques au collège Chapitre IV : Racine carrée. 2012

Chapitre IV : Racine carrée. 2012

Les mathématiques au collège ^{Page 2}

I- Définition :

Définition :

Soit ^a un nombre positif ou nul.

( a ≥0 ) .

On appelle racine de ^a le nombre positif noté

√ ^a

dont le carré

est égal à ^a .

Pour tout nombre positif a :

( √ ^{a )}

²

^{=a et} √ ^a

²

^{= a}

.

Exemples :

√ ¹⁶⁼ √ ⁴

²

⁼⁴

√ ^{0 , 09=} √ ^{( 0,3 )}

²

^=0,3

√ ²⁵⁼ √ ⁵

²

⁼⁵

Remarque :

N= { 0 ;1 ; 2 ;3 ; … … } : Ensemble des nombres entiersnaturels . Z = { … … ;−3 ;−2 ;−1 ; 0 ;1 ; 2; 3 ;… . } : Ensemble des nombresentiers relatifs.

Q= { Tous les nombresque l

^'

on peut écrire sous for me de fractions } : Ensemble des nombres rationnels .

√ ^{2≈1 , 414 …}

;

√ ^{3≈1 , 732 …}

_;

^{π ≈3 , 14⋯}

Ne sont pas rationnels. On dit qu’ils sont irrationnels

Si le nombre n’est pas un carré parfait sa racine carrée est un nombre qui n’est ni décimal ni rationnel «On ne peut pas l’écrire sous forme d’une fraction »

Un tel nombre est dit irrationnel ; Il appartient à l’ensemble

R

mais pas à l’ensemble

Q .

II- Calcul avec des racines carrées :

Propriétés :

 Soient

a et b

deux nombres positifs, on a :

√ ^a× √ ^b= √ ^{a ×b}

 Soient

a et b

deux nombres positifs et

b ≠0

_{, on a :}

√ ^a

√ ^{b =} √ ^{a b}

 Soient

a et b

deux nombres positifs, on a :

√ ^a

²

^b=a √ ^b

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Exemples :

√ ^12× √ ³⁼ √ ^{12×3 =} √ ^{36= 6}

√ ⁵⁰

√ ^{32 =} √ ^{50 32 =} √ ^{2×25 2×16 =} √ ^{25 16 = 5 4}

√ ⁶⁸⁼ √ ^{49 ×2=} √ ⁷

²

^{×2 =7} √ ²

III- L’équation

x²=a

d’inconnue ^x .

Si a=0 , l’équation

x

²

=0

admet une seule solution x=0.

Si

a > 0

l’équation x²=a admet deux solutions :



√ ^a

: Solution positive.



− √ ^a

: Solution négative.

Si a<0 , l’équation

x

²

=a

n’a pas de solution.

Exemples :

x

²

=64

Cette équation admet deux solutions :

√ ^{64=8 et −} √ ⁶⁴⁼⁻⁸

x

²

=3

Cette équation admet deux solutions :

√ ^{3 et −} √ ³

x

²

=−5

Cette équation n’a pas de solution.