UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

^`eme

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2012/2013

´Episode I : Matrices

E XERCICE 1

Effectuer le produit des matrices : 2 1

3 2

×

1 −1 1 1

1 2 0 3 1 4

×





−1 −1 0

1 4 −1

2 1 2









a b c c b a 1 1 1



 ×





1 a c 1 b b 1 c a





E XERCICE 2

On consid`ere les trois matrices suivantes :

A =





2 −3 1 0

5 4 1 3

6 −2 −1 7



 B =







 7 2

−5 2 3 1 6 0







 et C =

−1 2 6 3 5 7

1. Calculer AB puis (AB)C.

2. Calculer BC puis A(BC) . 3. Que remarque-t-on ?

E XERCICE 3

On consid`ere les deux matrices suivantes :

A =









2 3 −4 1

5 2 1 0

3 1 −6 7

2 4 0 1









B =









3 −1 −3 7

4 0 2 1

2 3 0 −5

1 6 6 1









1. Calculer AB . 2. Calculer BA .

3. Calculer A

²

− B

²

. Que remarque-t-on ?

E XERCICE 4

Soit A =





0 1 1 1 0 1 1 1 0



 . Montrer que A

²

= A + 2I

3

. En d´eduire que A est inversible et calculer son inverse.

E XERCICE 5

Soit A =





1 0 2

0 −1 1 1 −2 0



 . Calculer A

³

− A. En d´eduire que A est inversible puis d´eterminer A

⁻¹

.

E XERCICE 6

Soit A =





2 −1 2

5 −3 3

−1 0 −2



 . Calculer (A + I

₃

)

³

. En d´eduire que A est inversible puis d´eterminer A

⁻¹

.

Bonus : Calculer les puissances enti`eres de A.

E XERCICE 7

D´eterminer si les applications suivantes sont des applications lin´eaires : 1. f (x, y) = (2x − y, 3x + y)

2. f (x, y, z) = (x − y, y, x + 3y + z + 1) 3. f (x, y, z) = (x + y + z, x + z) 4. f (x, y, z) = xyz

E XERCICE 8

Soit f une application lin´eaire de R

³

dans R

⁴

d´efinie par :

f (1, 1, 1) = (1, 1, 1, 3) , f(1, 1, 0) = (1, 1, 1, 2) et f (1, 0, 0) = (1, 1, 1, 1) Que vaut f (3, 2, 1) ? f (x, y, z) ?

E XERCICE 9

Existe-t-il une application lin´eaire f de R

³

dans R

⁴

telle que f (1, 1, 3) = (1, 1, 1, 1), f (1, 1, 2) = (1, 1, 1, 0) et f (1, 1, 1) = (1, 1, 0, 0) ?

E XERCICE 10

Soit u l’application de R

³

dans R

⁴

d´efinie par

u(x, y, z) = (−x + y, x − y, −x + z, −y + z).

1. Montrer que u est lin´eaire.

2. Soient {E

1

, E

2

, E

3

} la base canonique de R

³

et {F

1

, F

2

, F

3

, F

4

} la base canonique de R

⁴

. Calculer u(E

1

) , u(E

2

) et u(E

3

) en fonction de F

1

, F

2

, F

3

et F

4

.

3. ´Ecrire la matrice de u dans les bases canoniques.

4. Montrer que {F

1

, F

2

, u(E

1

), u(E

2

)} est une base de R

⁴

.

5. ´Ecrire la matrice de u dans les bases {E

1

, E

2

, E

3

} et {F

1

, F

2

, u(E

1

), u(E

2

)}.

E XERCICE 11

On consid`ere l’application lin´eaire f de R

³

dans R

⁴

d´efinie par

f (x, y, z) = (x + z, y − x, z + y, x + y + 2z).

1. Calculer les images par f des vecteurs de la base canonique (e

₁

, e

₂

, e

₃

) de R

³

. En d´eduire une base de Im (f ) .

2. D´eterminer une base de ker(f ) .

3. L’application f est-elle injective ? surjective ?

E XERCICE 12

Soit E le sous-espace vectoriel de R

³

engendr´e par les vecteurs u = (1, 0, 0) et v = (1, 1, 1) . Trouver un endomorphisme f de R

³

dont le noyau est E .

E XERCICE 13

Soit f l’endomorphisme de R

³

associ´e `a la matrice A =





0 0 0 4 1 0 0 2 2



.

1. Caract´eriser le noyau et l’image de f par une base.

2. Soit u = (1, −4, 4) , v = (0, 1, −2) , w = (0, 0, 1) . D´eterminer f (u) , f (v) et f (w) . En d´eduire la matrice B de f dans la base {u, v, w} de R

³

.

3. V´erifier ce r´esultat en utilisant la matrice de passage de la base canonique de R

³

`a la base {u, v, w}.

E XERCICE 14

On consid`ere l’application lin´eaire f de R

⁴

dans R

³

d´efinie par :

f (x, y, z, t) = (x + t, x + y + t, y + z + t)

1. D´eterminer la matrice de cette application lin´eaire lorsque R

⁴

et R

³

sont munis de leurs bases canoniques.

2. D´eterminer la matrice de cette application lin´eaire lorsque R

⁴

est muni de la base form´ee des vecteurs u

1

= e

1

+ e

2

+ e

3

+ e

4

, u

2

= e

1

+ e

2

+ e

3

, u

3

= e

1

+ e

2

, u

4

= e

1

et R

³

de la base :

v

1

= f

3

, v

2

= f

2

+ f

3

, v

3

= f

1

+ f

2

+ f

3

o `u {e

1

, e

2

, e

3

, e

4

} est la base canonique de R

⁴

et {f

1

, f

2

, f

3

} celle de R

³

.

E XERCICE 15

Soit f l’endomorphisme de R

³

associ´e `a la matrice A =





−6 5 3

−8 7 4

−2 1 1



.

1. Caract´eriser le noyau et l’image de f par une base.

2. Soit v = (1, 2, −1) , w = (0, −1, 2) . Calculer f (v) et en d´eduire que v ∈ Im f . Exprimer f (w) en fonction de v et w , en d´eduire que w ∈ Im f .

3. Trouver une base de R

³

dans laquelle la matrice de f est B =





0 0 0 0 1 1 0 0 1



.

Retrouver ce r´esultat en utilisant la matrice de changement de base.

E XERCICE 16

Soit f l’endomorphisme de R

³

dont la matrice dans la base canonique est

A =





3 −4 4 1 −1 −8

0 0 −3





1. On pose u

1

= (6, 13, 4) et u

2

= (2, 1, 0). On note U

1

et U

2

les vecteurs colonnes de leurs coordonn´ees dans la base canonique. Calculer AU

₁

et AU

₂

.

2. D´eterminer un vecteur u

3

tel que AU

3

= U

2

+ U

3

. 3. Montrer que la famille {u

1

, u

2

, u

3

} est une base de R

³

.

Calculer de deux fac¸ons diff´erentes la matrice B de f dans cette base.

4. Montrer que l’on peut ´ecrire B = D + N o `u D est une matrice diagonale.

Montrer que D et N commutent.

5. Calculer N

ⁿ

pour n entier naturel. En d´eduire B

ⁿ

puis A

ⁿ

.

I NDICATION

On pourra utiliser la formule du bin ˆome de Newton.