UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2013/2014

´Episode IV : Fonctions de plusieurs variables

E XERCICE 1

Pour les fonctions suivantes, donner les points critiques, et, quand c’est possible, leur nature (max local, min local, point selle).

1. f (x, y) = x

+ x

− 6xy + 3y

2. g(x, y) = x

− 6xy + 2y

+ 10x + 2y − 5

3. h(x, y) = xy

+ x

y − xy 4. k(x, y) = 3x

+ 3x

y − y

E ^XERCICE 2

Soit f d´efinie par

f (x, y) = x

+ 2x

y + 2y

+ 2y + 1 1. La fonction f est-elle de classe C

sur R

?

2. D´eterminer les points critiques de f sur R

.

3. Calculer en chaque point critique la matrice des d´eriv´ees secondes et identifier les extremums locaux de f en ´etudiant la forme quadratique associ´ee.

4. S’agit-il d’extremums (globaux) sur R

?

E XERCICE 3

Soit l(x, y, z) = x

+ 6xy + y

− 3yz + 4z

− 10x − 5y − 21z.

1. Montrer que (2; 1; 3) est l’unique point critique de l.

2. Montrer que la forme quadratique d´efinie par H

(2; 1; 3) est :

q(x, y, z) = 2x

+ 2y

+ 8z

+ 12xy − 6yz 3. Montrer que q(x, y, z) = 2(x + 3y)

− 16(y +

z)

+

z

.

4. En d´eduire la nature du point critique.

5. Retrouver ce r´esultat en utilisant la m´ethode des mineurs diagonaux principaux.

E ^XERCICE 4

On consid`ere la fonction f d´efinie et de classe C

sur R

par : f (x, y) = x

+ 2xy − 2x

+ y

1. Trouver les extrema locaux ´eventuels de f .

2. En utilisant la matrice hessienne de f , d´eterminer la nature des points critiques de f . 3. On veut maintenant trouver les extrema de f sur le domaine :

∆ =

(x, y) ∈ R

tels que : − 3 ≤ x ≤ 3 ; −3 ≤ y ≤ 3

(a) Donner une repr´esentation graphique de ∆ permettant d’identifier clairement les sommets.

(b) Montrer que f poss`ede des extrema sur ∆.

(c) D´eterminer, en ´etudiant successivement l’int´erieur et les arˆetes de ∆, l’ensemble des points o `u f admet un minimum et un maximum sur ∆.

I NDICATION f

2−√ 22 3

; − 3

≃ 12 et f

2+√ 22 3

; − 3

≃ − 3, 2 .

E XERCICE 5

On consid`ere la fonction f d´efinie et de classe C

sur R

par :

f (x, y) = x

+ αy

+ xy + x o `u α est un r´eel.

1. Calculer la hessienne de f en un point (x, y) et en d´eduire que f est convexe sur R

si et seulement si α ≥ 1

4 .

2. Dans toute la suite du probl`eme, on suppose que α = 1.

Montrer que f admet un minimum global sur R

en un point que l’on d´eterminera.

3. On veut maintenant trouver les extremums de f sur le domaine :

∆ =

(x, y) ∈ R

tels que : x ≤ 0 ; y ≥ 0 ; y − x ≤ 2 (a) Repr´esenter soigneusement ∆.

(b) Montrer que le probl`eme a des solutions.

(c) Que peut-on dire des minimums de f sur le domaine ?

(d) Etudier successivement l’int´erieur de ∆ et ses arˆetes pour r´esoudre : max f (x, y )

(x, y ) ∈ ∆

E XERCICE 6

Une firme fabrique un produit qu’elle vend sur deux march´es diff´erents. Soit q

(resp. q

) le nombre de produits vendus sur le premier (resp. second) march´e. On suppose que les prix du produit sont donn´es par les fonctions p

= 60 − 2q

(pour le premier march´e) et p

= 80 − 4q

(pour le second march´e). Le co ˆut de production est donn´e par la fonction C = 50 + 40q, o `u q est le nombre total de produits vendus.

Calculer q

et q

pour que le b´en´efice soit maximum.

I NDICATION

On montrera que le b´en´efice est donn´e par la fonction B(q

, q

) = − 2q

− 4q

+ 20q

+ 40q

− 50 .

E XERCICE 7

On consid`ere la fonction f d´efinie et de classe C

sur R

par : f (x, y) = x

+ 2y

+ xy + x

Montrer que f admet un minimum global sur R

en un point que l’on d´eterminera.

E ^XERCICE 8

On consid`ere la fonction f d´efinie et de classe C

sur R

par : f (x, y, z) = z (e

− 1) − y

1. Trouver les extrema locaux ´eventuels de f .

2. D´eterminer la matrice hessienne de f .

3. V´erifier que le point de coordonn´ees (0, 0, 0) est un point critique de f . D´eterminer la matrice hessienne de f au point (0, 0, 0).

4. En utilisant la m´ethode des mineurs principaux, en d´eduire la nature du point critique (0, 0, 0).