UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2011/2012

´Episode V : Fonctions de plusieurs variables

E ^XERCICE 1

Pour les fonctions suivantes, donner les points critiques, et, quand c’est possible, leur nature (max local, min local, point selle).

1. f (x, y) = x

+ x

− 6xy + 3y

2. g(x, y) = x

− 6xy + 2y

+ 10x + 2y − 5

3. h(x, y) = xy

+ x

y − xy 4. k(x, y) = 3x

+ 3x

y − y

E XERCICE 2

Soit f d´efinie par

f (x, y) = x

+ 2x

y + 2y

+ 2y + 1 1. La fonction f est-elle de classe C

sur R

?

2. D´eterminer les points critiques de f sur R

.

3. Calculer en chaque point critique la matrice des d´eriv´ees secondes et identifier les extremums locaux de f en ´etudiant la forme quadratique associ´ee.

4. S’agit-il d’extremums (globaux) sur R

?

E ^XERCICE 3

Soit l(x, y, z) = x

+ 6xy + y

− 3yz + 4z

− 10x − 5y − 21z.

1. Montrer que (2; 1; 3) est l’unique point critique de l.

2. Montrer que la forme quadratique d´efinie par H

(2; 1; 3) est :

q(x, y, z) = 2x

+ 2y

+ 8z

+ 12xy − 6yz 3. Montrer que q(x, y, z) = 2(x + 3y)

− 16(y +

z)

+

z

.

4. En d´eduire la nature du point critique.

E XERCICE 4

Soit f la fonction d´efinie par f (x, y) = 1

√ y ln x.

1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition D

de cette fonction. Calculer ses d´eriv´ees partielles.

Sont-elles d´efinies et continues sur D

? 2. Soit ∆ =

(x, y) ∈ R

; 1 ≤ x ≤ 9,

≤ y ≤ x . On se propose de d´eterminer l’ensemble des points o `u f admet un extremum sur ∆.

(a) Donner une repr´esentation graphique de ∆ permettant d’identifier clairement les sommets (adapter en particulier la taille de l’unit´e `a la dimension de la figure).

(b) D´eterminer par un raisonnement simple mais avec pr´ecision l’ensemble des points o `u f admet un minimum sur ∆.

(c) D´eterminer, en ´etudiant successivement l’int´erieur et les arˆetes de ∆, l’ensemble des points o `u f admet un maximum sur ∆. On prendra e

≃ 7, 4.

(d) Soit a = (e

, e

) et g la fonction d´efinie par g(x) = y − x. Calculer les vecteurs gradients de f et g au

point a. La fonction f admet-elle au moins un maximum local sur ∆ au point a ?

E XERCICE 5

On consid`ere la fonction f d´efinie et de classe C

sur R

par :

f (x, y) = x

+ αy

+ xy + x o `u α est un r´eel.

1. Calculer la hessienne de f en un point (x, y) et en d´eduire que f est convexe sur R

si et seulement si α ≥ 1

4 .

2. Dans toute la suite du probl`eme, on suppose que α = 1.

Montrer que f admet un minimum global sur R

en un point que l’on d´eterminera.

3. On veut maintenant trouver les extremums de f sur le domaine :

∆ =

(x, y) ∈ R

tels que : x ≤ 0 ; y ≥ 0 ; y − x ≤ 2 (a) Repr´esenter soigneusement ∆.

(b) Montrer que le probl`eme a des solutions.

(c) Que peut-on dire des minimums de f sur le domaine ?

(d) Etudier successivement l’int´erieur de ∆ et ses arˆetes pour r´esoudre : max f (x, y)

(x, y ) ∈ ∆

E XERCICE 6

R´esoudre le probl`eme d’optimisation :

max f (x, y, z) = xyz sous les contraintes : x + y + z ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

E ^XERCICE 7

A l’aide des conditions du second ordre, r´esoudre :

max f (x

, x

) = x

x

sous la contrainte :

2x

+ x

= 3