UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

^`eme

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2012/2013

´Episode II : Matrices

E ^XERCICE 1

D´eterminer le rang des matrices suivantes :

A =





3 1 1

1 0 2

−1 2 −12



 B =





2 4 2 0 1 1 2 2 −1



 C =





1 2 1

−1 0 1 3 2 2



 D =









2 1 3 −1 3 −1 2 0 1 3 4 −2 4 −3 1 1









E XERCICE 2

Calculer le d´eterminant des matrices suivantes :

A =





1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b



 B =









1 1 1 1

a b c d

a

²

b

²

c

²

d

²

a

³

b

³

c

³

d

³









E ^XERCICE 3

Calculer sous forme factoris´ee les d´eterminants suivants :

a)

0 a b a 0 c b c 0

b)

a b c c a b b c a

c)

a + b b + c c + a a

²

+ b

²

b

²

+ c

²

c

²

+ a

²

a

³

+ b

³

b

³

+ c

³

c

³

+ a

³

E XERCICE 4

On consid`ere une matrice A = (a

ij

) de M

n

(K) telle que a

ij

= 0 si j ≤ n − i. Cela signifie que A est de la forme :















0 · · · · · · 0 a

1,n

0 0 a

2,n−1

a

2,n

.. . .. .

0 a

n−1,2

a

n−1,n

a

n,1

· · · a

n,n















Calculer son d´eterminant.

E ^XERCICE 5

Soit A = a b

c d

∈ M

2

(R).

1. V´erifier l’´equation (th´eor`eme de Cayley-Hamilton en dimension 2) : A

²

− tr(A)A + det(A)I

2

= 0 2. Soit B =

d −b

−c a

. Montrer que pour toute matrice A, on a : AB = BA = det(A)I

2

. 3. En d´eduire que A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0 et que dans ce cas :

A

⁻¹

= 1 det(A)

d −b

−c a

R EMARQUE Sujet de mai 2012...

E XERCICE 6

Partie A

Soit f l’endomorphisme de R

³

dont la matrice dans la base canonique est

A =





4 2 −4 1 4 −3 1 1 0





1. On pose u

1

= (1, 1, 1), u

2

= (2, 1, 1) et u

3

= (0, 1, 0).

On note U

1

, U

2

et U

3

les vecteurs colonnes de leurs coordonn´ees dans la base canonique.

Calculer AU

1

, AU

2

et AU

3

.

2. En d´eduire la matrice B de f dans la base {u

1

, u

2

, u

3

}.

3. D´eterminer P la matrice de passage de la base canonique de R

³

`a {u

1

, u

2

, u

3

}.

4. Calculer P

⁻¹

en utilisant la m´ethode de votre choix.

5. En utilisant les matrices de changement de base, retrouver la matrice B de f dans la base {u

1

, u

2

, u

3

}.

6. Montrer que l’on peut ´ecrire B = D + N o `u D est une matrice diagonale.

7. Calculer N

ⁿ

pour n entier naturel. En d´eduire B

ⁿ

puis A

ⁿ

. Partie B

Les suites (x

n

), (y

n

) et (z

n

) sont solutions du syst`eme d’´equations de r´ecurrence :







x

n+1

= 4x

n

+ 2y

n

− 4z

n

y

n+1

= x

n

+ 4y

n

− 3z

n

z

n+1

= x

n

+ y

n

8. ´Ecrire ce syst`eme sous la forme matricielle :

X

n+1

=



 x

n+1

y

n+1

z

n+1



 = A × X

n

puis d´eterminer les solutions x

n

, y

n

et z

n

en fonction des conditions initiales x

0

, y

0

et z

0

.

I NDICATION

On pourra utiliser la Partie A.

E XERCICE 7

Soit u l’endomorphisme de R

³

dont la matrice dans la base canonique (i, j, k) de R

³

est :

A =





0 1 0 0 0 1 1 −3 3



 .

1. Montrer que u est inversible et d´eterminer u

⁻¹

.

2. D´eterminer une base (e

1

, e

2

, e

3

) de R

³

telle que u(e

1

) = e

1

, u(e

2

) = e

1

+ e

2

et u(e

3

) = e

2

+ e

3

. 3. D´eterminer P la matrice de passage de (i, j, k) `a (e

1

, e

2

, e

3

) ainsi que P

⁻¹

.

4. Exprimer la matrice B de u dans la base (e

1

, e

2

, e

3

) de R

³

. 5. Montrer que l’on peut ´ecrire B = I

3

+ N .

6. En d´eduire u

ⁿ

(i), u

ⁿ

(j) et u

ⁿ

(k) pour n entier relatif.

E XERCICE 8

Les suites (x

n

), (y

n

) et (z

n

) sont solutions du syst`eme d’´equations de r´ecurrence :







x

n+1

= x

n

y

n+1

= y

n

− x

n

z

n+1

= z

n

− y

n

On ´ecrira ce syst`eme sous la forme matricielle :

U

n+1

=



 x

n+1

y

n+1

z

n+1



 = A × U

n

o `u A est une matrice qui peut se mettre sous la forme : A = I

3

− N . 1. Calculer N

ⁿ

pour n entier naturel. En d´eduire A

ⁿ

.

2. On admet que pour tout n ≥ 2, U

n

= A

ⁿ

× U

0

.

En d´eduire la solution g´en´erale U

n

en fonction du vecteur U

0

des conditions initiales.

E XERCICE 9

Partie A Soit f l’endomorphisme de R

²

associ´e `a la matrice A =

¹₄

3 1

1 3

.

1. D´eterminer la matrice B de f dans la base {u, v} de R

²

avec u = (1, −1) et v = (1, 1).

2. En d´eduire A

ⁿ

pour n entier naturel.

Partie B Les suites (u

n

) et (v

n

) sont solutions du syst`eme d’´equations de r´ecurrence :







u

n

=

³₄

u

n−1

+

¹₄

v

n−1

v

n

=

¹₄

u

n−1

+

³₄

v

n−1

Apr`es avoir ´ecrit ce syst`eme sous la forme matricielle U

n

= A × U

n−1

, on d´eterminera les solutions u

n

et v

n

en

fonction des conditions initiales u

0

= 2 et v

0

= 1.