Universit´e de Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2
Math´ematiques Ann´ee 2015–2016
FEUILLE D’EXERCICES no 5 Morphismes de groupes, isomorphismes, sous-groupes normaux, groupes quotients
Exercice 1 –
1) D´eterminer les morphismes de (Z,+) dans (Z,+). Parmi ceux-ci, quels sont les automorphismes ? Mˆemes questions en rempla¸cant Zpar Q.
2) D´eterminer les morphismes de (Z,+) dans ({−1,1},×). Sont-ce des isomor- phismes ?
3) Montrer que les groupes (R,+) et (R+\ {0},×) sont isomorphes.
Exercice 2 – Montrer que les seuls morphismes de groupes de Sn dans le groupe multiplicatif C\ {0} sont le morphisme trivial (f(σ) = 1 pour tout σ ∈ Sn) et la signature ε.
Exercice 3 – Si n ≥ 1 est un entier, on note Un le sous-groupe de (C\ {0},×) constitu´e par les racines n-i`emes de l’unit´e.
1) On suppose que m, n ≥1 sont deux entiers tels que pgcd(m, n) = 1. Quels sont les morphismes de groupes de Um vers Un ?
2) On a vu dans l’exercice 3 de la feuille 4 que si G et H sont deux groupes, le produit direct G ×H est cyclique si et seulement si G et H sont cycliques et pgcd(|G|,|H|) = 1. En d´eduire queUm×Un est isomorphe `a Umn si et seulement si pgcd(m, n) = 1.
3) Montrer que l’application f : Um ×Un → Umn d´efinie par f(a, b) = ab est un morphisme de groupes. Montrer que si pgcd(m, n) = 1, f est un isomorphisme entre Um×Un et Umn.
Exercice 4 – Soit Gun groupe fini d’ordre n.
1) Montrer que S(G), l’ensemble des bijections de G dans lui-mˆeme (muni de la loi
◦) est un groupe isomorphe `a Sn.
2) Soit fg : G → G l’application d´efinie par fg(x) = gx. Montrer que F(G) = {fg; g ∈G}est un sous-groupe de S(G), isomorphe `a G.
3)En d´eduire que tout groupe fini d’ordre n est isomorphe `a un sous-groupe deSn. Exercice 5 –
1) Le sous-groupe {Id,(1 2)} deS3 est-il normal ?
2)Soient Gun groupe etH un sous-groupe deG. Montrer que si l’indice deH dans G est 2, alors H est un sous-groupe normal de G.
3) D´eterminer les sous-groupes normaux de S3. Exercice 6 – Soit n≥2 un entier.
1) Rappeler pourquoi An est un sous-groupe d’indice 2 deSn.
2)Soient Gun groupe etH un sous-groupe deG. Montrer que si l’indice deH dans G est 2, alors pour toutx∈G on a x2 ∈H.
3) En d´eduire que le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn est An (indication : pour n≥3, se servir de l’exercice 8 de la feuille 2).
Exercice 7 – Soient Get G0 deux groupes et f un morphisme de Gdans G0. 1) Montrer que si H0 est un sous-groupe normal de G0, alors f−1(H0) est un sous- groupe normal de G.
2)Montrer que sif est surjectif et si H est un sous-groupe normal deG, alors f(H) est un sous-groupe normal de G0.
3) Donner un contre-exemple dans le cas o`u f n’est pas surjectif (indication : con- sid´erer un morphisme appropri´e de S3 dans S4).
Exercice 8 – 1) Soit
V4 ={Id,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} ⊂S4. Montrer que V4 est un sous-groupe normal de S4.
2) Montrer que le sous-groupe de S4 engendr´e par (1 2)(3 4) est un sous-groupe normal de V4 mais n’est pas un sous-groupe normal de S4. On a donc exhib´e des groupes emboˆıt´es K ⊆ H ⊆ G tels que H soit normal dans G, K normal dans H mais K non normal dans G.
Exercice 9 –
1) Soient G et G0 deux groupes finis et f : G → G0 un morphisme. Soit H un sous-groupe de G. Montrer que |f(H)| divise |H| et |G0|. En d´eduire que si pgcd(|H|,|G0|) = 1, alors H ⊆kerf.
2) Soient G un groupe fini et H un sous-groupe normal de G. Montrer que si pgcd(|H|,|G/H|) = 1, H est l’unique sous-groupe de G de cardinal|H|.
Exercice 10 – Soit (G,·) un groupe. Si g, h∈Gon appelle commutateur de g eth l’´el´ement [g, h] =ghg−1h−1.
1) Soient g, h, i∈G. Montrer que [g, h]−1 = [h, g] et queg[h, i]g−1 = [ghg−1, gig−1].
2) On note D(G) le sous-groupe de Gengendr´e par les commutateurs deG : D(G) = h[g, h]; g, h∈Gi.
Montrer que D(G) ={1} si et seulement siG est ab´elien.
3)Montrer que D(G) est un sous-groupe normal deGet queG/D(G) est un groupe ab´elien.
4) Soit N un sous-groupe normal de G. Montrer que si G/N est ab´elien alors D(G)⊆N.
5) R´eciproquement, soit H un sous-groupe de G. Montrer que si D(G) ⊆H, alors H est normal etG/H est ab´elien.
Exercice 11 –Soitn ≥1 un entier. Montrer que SLn(R) est un sous-groupe normal de GLn(R) et que GLn(R)/SLn(R) est isomorphe au groupe multiplicatif R\ {0}.
Exercice 12 – On pose U = {z ∈ C; |z| = 1}, Un = {z ∈ C; zn = 1} (o`u n est un entier ≥ 1) et U∞ = {z ∈ C; ∃n ∈ N\ {0} tel que zn = 1}. Si A = C,R ou R+, on note A× = A\ {0}. On ne demande pas de v´erifier que Un, U∞ et U sont des sous-groupes (emboˆıt´es) du groupe multiplicatif C×. ´Etablir les isomorphismes suivants :
U 'R/Z, U 'C×/R×+, U 'C×/R×, U 'U/Un, C× 'C×/Un, U∞ 'Q/Z. Dans chaque cas, on pr´ecisera les lois de groupes.