Parmi ceux-ci, quels sont les automorphismes ? Exercice 2 –Sin ≥1 est un entier, on noteUn le sous-groupe de (C\ {0

Universit´e Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2

Math´ematiques Ann´ee 2014–2015

FEUILLE D’EXERCICES n^o 4

Morphismes de groupes, sous-groupes normaux, groupes quotients Exercice 1 –

1) D´eterminer les morphismes de (Z,+) dans (Z,+). Parmi ceux-ci, quels sont les automor- phismes ?

2) D´eterminer les morphismes de (Z,+) dans ({−1,1},×). Sont-ce des isomorphismes ?

3) D´eterminer les morphismes de (Q,+) dans (Q,+). Parmi ceux-ci, quels sont les automor- phismes ?

4) D´eterminer les morphismes de (Z×Z,+) dans (Z×Z,+). Parmi ceux-ci, quels sont les automorphismes ?

Exercice 2 –Sin ≥1 est un entier, on noteU_n le sous-groupe de (C\ {0},×) constitu´e par les racines n-i`emes de l’unit´e.

1) Montrer que sim, n≥1 sont deux entiers tels que pgcd(m, n)6= 1, alors les groupesU_m×U_n et U_mn ne sont pas isomorphes.

2)On suppose quem, n≥1 sont deux entiers tels que pgcd(m, n) = 1. Montrer que l’application f :U_m×U_n→U_mn d´efinie par f(a, b) = abest un morphisme de groupes. D´eterminer son noyau (indication : penser `a Bezout) et en d´eduire que U_m×U_n etU_mn sont isomorphes.

Exercice 3 –

1) Soit (G,·) un groupe. On note Aut(G) l’ensemble des automorphismes de G. Montrer que (Aut(G),◦) est un groupe.

2) Soit n ≥ 2 un entier. Montrer que si (G,·) = (Z/nZ,+), alors Aut(G) est isomorphe `a (Z/nZ)^× le groupe multiplicatif des inversibles deZ/nZ.

3) Montrer que si (G,·) = (Z/2Z×Z/2Z,+), alors Aut(G) est isomorphe `aS₃.

Exercice 4 – Soit (S_n,◦) le groupe des permutations de {1,2, . . . n}. Soient x₁, x₂, . . . , x_k ∈ {1,2, . . . , n}. On note (x₁, x₂, . . . , x_k) le cycle qui `a x<sub>i</sub> (1≤i≤k−1) associex<sub>i+1</sub>, `a x_k associe x₁ et laisse invariants les autres ´el´ements de{1,2, . . . , n}. On note ´egalement multiplicativement la loi ◦ : τ σ=τ◦σ.

1) Soit σ ∈S_n. Montrer que σ(x₁, x₂, . . . , x_k)σ⁻¹ = (σ(x₁), σ(x₂), . . . , σ(x_k)).

2) On travaille d´esormais dansS₄ et non note Id l’´el´ement neutre de S₄ (l’application identit´e de {1,2,3,4}). Soit

V₄ ={Id,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}.

Montrer que V₄ est un sous-groupe normal deS₄.

3) Montrer que le sous-groupe de S₄ engendr´e par (1,2)(3,4) est un sous-groupe normal deV₄ mais n’est pas un sous-groupe normal deS₄. On a donc exhib´e des groupes emboˆıt´esK ⊆H ⊆G tels que H soit normal dans G, K normal dansH mais K non normal dans G.

Exercice 5 –

1) Soient (G,·) un groupe et H un sous-groupe deG. Montrer que si l’indice de H est 2, alors H est un sous-groupe normal de G.

2) Donner un exemple de groupe G admettant un sous-groupe d’indice 3 qui n’est pas normal.

Exercice 6 – Soit (G,·) un groupe d’´el´ement neutre e.

1)Soit g ∈G. Montrer quefg :G→Gd´efinie parfg(x) = gxest un morphisme si et seulement si g =e.

2) Soit F(G) = {f_g; g ∈ G}. On consid`ere µ :G → F(G) d´efinie par µ(g) = f_g. Montrer que (F(G),◦) est un groupe et que µest un isomorphisme de groupes.

3) Pourg ∈G on note φ_g l’application deG dansG d´efinie par φ_g(x) = gxg⁻¹. Montrer que φ_g

est un automorphisme de G. Un tel automorphisme est dit int´erieur.

4) Montrer que φg = IdG si et seulement sig ∈Z(G) le centre de G.

5) Soit A(G) = {φ_g; g ∈ G}. Montrer que (A(G),◦) est un groupe isomorphe `a G/Z(G).

Indication : consid´erer Ψ :G→ A(G) d´efinie par Ψ(g) = φ_g.

6) Montrer que pour n≥3 on a A(S_n)'S_n. Est-ce vrai pour n= 2 ?

7) On veut donner un exemple de groupe Gpour lequel Z(G)6={e}et tel que A(G)'G.

a)Pour t∈R on pose R(t) =

cost −sint sint cost

et S(t) =

cost sint

sint −cost

. Soit

G={R(t); t ∈R} ∪ {S(t); t ∈R}.

Montrer que G muni de la multiplication matricielle est un groupe.

b) Montrer que Z(G) ={I2,−I2}. La question 4) implique donc que A(G)'G/{I2,−I2}.

c)Soit ω :G→Gd´efinie par : pour tout t∈R,ω(R(t)) =R(2t) et ω(S(t)) =S(2t). Montrer que ω est un morphisme surjectif de G dans G.

d) Quel est le noyau deω ?

e) En d´eduire que G'G/Z(G)' A(G).

Exercice 7 –

1) SoientGetG⁰ deux groupes finis etf :G→G⁰ un morphisme. SoitH un sous-groupe de G.

Montrer que |f(H)| divise |H|et |G⁰|. En d´eduire que si pgcd(|H|,|G⁰|) = 1, alors H ⊆kerf.

2)SoientGun groupe fini etHun sous-groupe normal deG. Montrer que si pgcd(|H|,|G/H|) = 1, H est l’unique sous-groupe de Gde cardinal |H|.

Exercice 8 – Soit (G,·) un groupe d´el´ement neutre e. Si g, h∈G on appelle commutateur de g et h l’´el´ement [g, h] =ghg⁻¹h⁻¹.

1) Soient g, h, i∈G. Montrer que [g, h]⁻¹ = [h, g] et que g[h, i]g⁻¹ = [ghg⁻¹, gig⁻¹].

2) On note D(G) le sous-groupe de G engendr´e par les commutateurs de G: D(G) = h[g, h]; g, h∈Gi.

Montrer que D(G) = {e}si et seulement si Gest ab´elien.

3) Montrer que D(G) est un sous-groupe normal de Get que G/D(G) est un groupe ab´elien.

4) Soit N un sous-groupe normal de G. Montrer que si G/N est ab´elien alors D(G)⊆N. 5)R´eciproquement, soit H un sous-groupe deG. Montrer que siD(G)⊆H, alorsH est normal et G/H est ab´elien.

Exercice 9 –

1)Soitn ≥1 un entier. On consid`ere le groupe multiplicatifG= GL_n(R) et le sous-ensemble de G, H = SL_n(R) (l’ensemble des matrices de d´eterminant 1). Montrer que H est un sous-groupe normal de G et que G/H est isomorphe au groupe multiplicatif R\ {0}.

2) On garde la notation de l’exercice 2. On pose U ={z ∈ C; |z|= 1} etU∞ ={z ∈ C; ∃n ∈ N tel que zⁿ = 1}. Si A =C, R ou R+, on note A^× =A\ {0}. On ne demande pas de v´erifier que U_n, U∞ et U sont des sous-groupes (emboˆıt´es) du groupe multiplicatif C^×. Etablir les´ isomorphismes suivants :

U 'R/Z, U 'C^×/R^×+, U 'C^×/R^×, U 'U/U_n, C^× 'C^×/U_n, U∞ 'Q/Z, o`u n≥1 est un entier quelconque. Dans chaque cas, on pr´ecisera les lois de groupes.