Universit´ e de Bordeaux TMF704

Universit´ e de Bordeaux TMF704

2018 Analyse complexe

Devoir Surveill´ e du 16/11/2018,

les documents non-autoris´es; dur´ee: 1h 30

Exercice 1. (Questions du cours)

SoitO⊂Cun domaine etf ∈Hol(O).

1. Soitγ⊂O un chemin ferm´e. ´Enoncez les th´eor`emes de Cauchy pour : a) la valeur de la fonctionf en un pointa`a l’int´erieur deγ;

b) la valeur de la d´eriv´eef^(p), p∈N, en un pointa`a l’int´erieur deγ.

Faites l’attention toute particuli`ere `a bien ´enoncer les hypoth`eses requises pour ces r´esultats!

2. Soita∈OetD(a, r)⊂O. ´Enoncez les in´egalit´es de Liouville (de Cauchy- Liouville) pourf^(p)(a), p∈N.

3. Donner le th´eor`eme de Liouville sur les fonctions enti`eres.

Exercice 2. Calculez les int´egrales suivants:

Z

bD(0,2)

z²+ 1 (z−1)³dz,

Z

bD(0,3)

e^iz

z²−3z+ 2dz, Z

bD(0,3/2)

e^iz

z²−3z+ 2dz.

Exercice 3. SoitD =D(0,1). Rappelons le lemme de Pick: soitf ∈Hol(D) telle que

||f||D,∞= sup

z∈D

|f(z)|61

et f(0) = 1. Alors pour toutz∈D, |f(z)|6|z| et|f⁰(0)|61. Le but de cet exercice est de d´emontrer une version g´en´eralis´ee de ce r´esultat.

1. Soita∈D un point arbitraire. D´efinissons φ_a(z) = a−z

1−¯az :D→C. D´emontrer que:

a) pour toutz∈C, on a

(φa)⁻¹(z) =φa(z).

Ci-dessus, (φa)⁻¹ est la fonction r´eciproque `a φa et non l’inverse multiplicatif.

1

b) φ_a :D→D est une fonction holomorphe et bijective;

c) φa({z:|z|= 1}) ={z:|z|= 1}.

2. Soitf ∈Hol(D) et||f||_D,∞61. D´emontrer que

f(z)−f(a) 1−f(a)f(z)

6

z−a 1−az¯

, ∀z∈D, (1)

et |f⁰(a)|

1− |f(a)|² 6 1

1− |a|². (2)

Indication: pour (1), consid´ererg(z) =φ_f(a)◦f◦φa(z) et y appliquer le lemme de Pick.

Exercice 4. Soita >0. Le but de cet exercice est de calculer l’int´egrale I_a =

Z ∞

0

cosx x²+a²dx.

1. Justifiez l’existence ( = la convergence) de l’int´egrale Ia. 2. Soit maintenant

f(z) = e^iz

z²+a², γ_R= [−R, R]∪C_R,

o`u C_R = {Re^iφ : φ ∈ [0, π]}. Le chemin γ_R est parcouru dans le sense positif. (faites le dessin deγR).

Montrez que

R→+∞lim Z

CR

f(z)dz= 0.

Indication: utilisez l’in´egalit´e|e^iz|61 pour toutz∈CR. 3. Pour Rassez grand, calculer l’int´egrale

Z

γ_R

f(z)dz

`

a l’aide du th´eor`eme de Cauchy.

4. En d´eduire que

Z

R

e^ix

x²+a²dx= π ae^a et conclure.

FIN

2