Universit´e de Bordeaux

Universit´e de Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2

Math´ematiques Ann´ee 2015–2016

FEUILLE D’EXERCICES n^o 6

Compl´ements sur les groupes, anneaux (1)

Exercice 1 – Soient G un groupe et g un ´el´ement de G. Soit H un sous-groupe de G d’indice finin. Prouver qu’il existe k ∈ {1,· · · , n} tel que g^k ∈H.

Exercice 2 (normalisateur) –Soient Gun groupe etH un sous-groupe deG. On note N l’ensemble des g ∈Gtels que gHg⁻¹ =H.

1) V´erifier que N est un sous-groupe de G contenant H et que H est normal dans N.

2) Soit K un sous-groupe de G contenant H. Montrer que K ⊂ N si et seulement si H est normal dans K.

Exercice 3 – SoitGun groupe. SoientH etK deux sous-groupes finis normaux de G. On suppose |H| et|K| premiers entre eux.

1) Soient h ∈ H et k ∈ K. D´emontrer que hk = kh. Indication : on pourra commencer par ´etablir que hkh⁻¹k⁻¹ ∈H∩K.

2) Construire un morphisme injectif de groupes deH×K dans G.

Exercice 4 (structure de certains p-groupes) – Soient pun nombre premier et (A,+) un groupe ab´elien tel que px= 0 pour tout x∈A.

1) Prouver que A peut ˆetre muni d’une structure deZ/pZ-espace vectoriel.

2) En d´eduire que si A est de plus fini, alors A est isomorphe `a (Z/pZ)ⁿ pour un certain entier naturel n.

Exercice 5 – Soit n un entier ≥1. D´eterminer le centre du groupe GL_n(R).

Exercice 6 – Soient m un entier naturel impair et G un groupe d’ordre 2m. On choisit un ´el´ement g ∈G d’ordre 2 (cf exercice 11 de la feuille 3).

1) Montrer que l’application σ : G → G qui `a x associe gx est une permutation impaire de G.

2) En d´eduire que G contient un sous-groupe d’indice 2. Indication : on pourra d’abord construire un morphisme injectif de G dans S_2m.

Exercice 7 (lois non classiques) – On munit Z des deux lois internes ⊕ et ⊗ d´efinies par les formules x⊕y = x+y+ 1 et x⊗y = xy+x+y. D´emontrer que (Z,⊕,⊗) est un anneau commutatif.

Exercice 8 – Quels sont les ´el´ements inversibles de l’anneau Z/20Z ? Exercice 9 – Soit A un anneau tel que x² =x pour tout x∈A.

1) V´erifier que 2x= 0 pour tout x∈A.

2) En d´eduire que A est commutatif.

3) Quels sont les ´el´ements inversibles de A ?

Exercice 10 – Soient A un anneau fini et a un ´el´ement simplifiable de A. Prouver que a est inversible.

Exercice 11 – Soient A un anneau et (a, b)∈A².

1) Montrer que 1−ab est inversible si et seulement si 1−ba l’est. Indication : si 1−abest inversible, on pourra v´erifier que 1 +b(1−ab)⁻¹a est l’inverse de 1−ba.

2) L’´el´ement abpeut-il ˆetre inversible sans que bale soit ?