Chapitre 4 : Dérivation point de vue local

Chapitre 4 : Dérivation point de vue local

I- Taux de variation et nombre dérivé a) Taux de variation d'une fonction

Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a et b deux réels de I

Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de f entre a et b est le nombre réel égal à : f (b)−f (a)

b−a Interprétation géométrique

Soit A ( a ; f(a) ) et B ( b ; f(b) ) deux points de la courbe représentative de f.

Le taux de variation de f entre a et b correspond au coefficient directeur de la droite (AB)

En effet : f ₍b₎₋f ₍a₎

b−a ⁼

y_B−y_A

xB−xA = Δy Δx

Interprétation cinématique

Etant donné un mobile M se déplaçant sur un axe (O ; ⃗

i ) on repère la position de ce mobile à l'instant t par la distance d(t) entre ce point et l'origine O.

Le taux de variation de la fonction d entre les instants t₀ et t₁ est égal à la vitesse moyenne du mobile entre les instants t0 et t1

b) Nombre dérivé

Définitio n: Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a un réel appartenant à I et h un réel non nul tel que a+h ∈ I . Dire que la fonction f est dérivable en a signifie que le taux de variation de f entre les nombres a et a + h se rapproche d'un nombre réel L lorsque h se rapproche de zéro.

Ce réel L limite du taux de variation lorsque h se rapproche de zéro est appelé nombre dérivé de f en a . On le note f '(a) et on a : lim

h→0

f ₍a₊h₎₋f ₍a₎

h = f '(a)

ORAL : lim

h→0

f (a+h)−f (a)

h se lit « limite quand h tend vers 0 de f (a+h)−f (a)

h »

Interprétation cinématique

On a vu que le taux de variation de d entre t₀ et t₁ correspondait à la vitesse moyenne du mobile . Pour t1=t0+h , si ce taux de variation admet une limite quand h tend vers 0, la fonction d est dérivable en t0 et le nombre dérivé d '(t0) correspond alors à la vitesse instantanée du mobile à l'instant t₀

c) Calcul d'un nombre dérivé

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x²₋₄x₊₁.

1. Calculer le taux de variation T(h) de f entre 2 et 2 + h

2. Déterminer la limite de ce taux de variation quand h tend vers 0 et en déduire que la fonction f est dérivable en 2 et préciser f '(2)

3. Retrouver la valeur de f '₍₂₎ à l'aide de la calculatrice

1. T(h) = ^{f (2+h}_h^{)−f (2)} f (2+h) = 3(2+h)²−4(2+h)+1 = 3(4+4h+h²)−8−4h+1 = 12+12h+3h²−8−4h+1 = 3h²+8h+5

f (2) = 3×2²−4×2+1 = 5 On a donc

T(h) = ^3h

2+8h

h = ^h(3h_h⁺⁸⁾ = 3h+8

2. lim

h→0T(h₎ = lim

h→0

3h+8 = 8

Comme cette limite existe, f est dérivable en 2 et on a f '(2)=8

3. A la calculatrice , on suit l'affichage après avoir entré :

• pour casio, OPTN CALC d/dx

• pour TI , math 8.nbreDerive

II- Interprétation géométrique du nombre dérivé : Tangente à une courbe en un point donné a) Notion de tangente

Soit C la courbe représentative d’une fonction f dérivable en a. On considère le point A ( a ; f(a) ) et le point M (a + h , f(a +h)).

La droite (AM) est une sécante à la courbe C et a pour coefficient directeur le taux de variation de la fonction f entre a et a + h :

yM– yA

x_M– x_A = ^{f ah– fa}

ah−a = ^{f ah– fa}

h = T(h) Lorsque le point M décrit la courbe C ( avec M ≠ A ) , on obtient donc un faisceau de sécantes à la courbe C

Puisque f est dérivable en a , on a lim

h→0T(h) = f '(a) La droite T passant par A de coefficient directeur

f '(a) se conçoit comme la position limite de ces sécantes lorsque M se rapproche de A . Cette droite est appelée la tangente à la courbe C au point d'abscisse a

Définition : Si f est dérivable en a , la tangente à la courbe C au point A(a;f (a)) est la droite passant par A de coefficient directeur f '(a)

Une remarque importante : Il existe une catégorie de tangente visible assez facilement sur une courbe : les tangentes horizontales. Elles se caractérisent par un coefficient directeur nul c'est à dire

f '(a) = 0

b) Equation réduite de la tangente

Propriété Soit f une fonction définie sur un intervalle et dérivable en un réel a de cet intervalle.

L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point ( a ; f(a) ) est : y = f '(a) ( x – a ) + f(a)

Démonstration

III- Fonction dérivée a) Fonction dérivée

Définition On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel a de I. On appelle alors fonction dérivée de f noté f ' la fonction qui à tout réel x de I associe f '(x)

Un premier tableau de fonction dérivée à connaître (vu en activité) Fonction La fonction f définie par …. ...est dérivable pour tout

réel x appartenant à ...

… de fonction dérivée f '(x) égal à …

Constante f(x) = k avec k constante ℝ ^{f '(x)=0}

Identité f(x) = x ℝ ^{f '(x)=1}

Affine f(x) = mx + p avec m et p

constantes réelles ℝ ^{f '(x)=m}

Carré f(x) = x² ℝ ^{f '(x)=2x}

Cube f(x) = x³ ℝ ^{f '(x)=3x2}

Inverse

f(x) = ¹_x ]–∞;0[ et ]0;+∞[ ^{f '}(x)=− 1

x² Racine

carrée f(x) = _√x ]0;+∞[ f '(x)= 1

2√x Un cas de non dérivabilité

La fonction racine carrée est définie en 0 et pourtant elle n'est pas dérivable en 0. En effet le calcul du taux de variation entre 0 et 0+h donne :

T(h) = f (0+h)−f (0)

h ^{= √}

h−0 h ^{= √}

h h ⁼

1

√h

Or lorsque h se rapproche de 0, le réel 1

√h prend des valeurs arbitrairement grandes. On dit que la limite de T(h) dans un tel cas est +∞ .

Cette limite n'étant pas finie, la fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en 0.

b) Somme et produit par un réel Propriétés

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I et k un réel 1. Les fonctions u + v et k × u sont dérivables sur I

2. (u+v)'=u '+v ' , (k×u)'=k×u ' Application

On peut ainsi dériver des polynômes de degré 2 ou 3 . En effet, P(x)=4x³−7x²+3x+1 est une somme de fonctions dérivables sur ℝ dont on connaît les dérivées . On peut donc dire que P est dérivable sur ℝ et que sa fonction dérivée est : P'(x)=4×3x²−7×2x+3×1+0

P'(x)=12x²−14x+3 c) Produit de deux fonctions dérivables

Propriété Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.

La fonction produit x u(x)×v(x) est dérivable sur I et on a : ₍u×v)'=u ' v+uv '

Démonstration : Voir le cahier d'exercice

A noter qu'il est indispensable de connaître vos formules mais également les domaines de dérivabilité qui les accompagnent

d) Dérivée d’un inverse et d’un quotient Théorème

• Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s'annulant pas sur I alors la fonction v1 est dérivable sur I et on a :

(

) ^'

• Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que v ne s'annule pas sur I alors la fonction ^u_v est dérivable sur I et on a :

(

) ^'

Démonstration : Voir le cahier d'exercice

IV- Quelques exemples

Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1) f (x)=7x³−2x+5 2) g(x) = ^x_√^x 3) h(x)= 1

2x+2 4) k(x)= x²−3 2x+4 1) f est de la forme u+v avec u(x)=7x³ et

v(x)=−2x+5. u et v étant dérivables sur ℝ , f est dérivable sur ℝ et on a : f '(x)=21x²−2

3) h est de la forme _v¹ avec v(x)=2x+2. v est une fonction affine dérivable sur ℝ et qui s'annule en –1 donc h est dérivable sur ℝ/{–1} et on a :

h '(x)=− 2 (2x+2)² 2) g est un produit de deux fonctions

dérivables

sur ]0;+∞[ donc g est dérivable sur ]0;+∞[ et on a :

forme u×v avec : u(x)=x et v(x)=√x u '(x)=1 et ^{v '}(x)= 1

2√x g '(x)=u ' v+uv '

g '(x)=1×√x+x× 1 2√x g '(x)=√x+ x

2√x = _√x+ √x

2 = ^3√₂^x

4) k est un quotient ^u_v de deux polynômes dérivables sur ℝ avec le dénominateur qui s'annule en −2 donc k est dérivable sur ℝ/{—2}

forme ^u_v avec u(x)=x²−3 et v(x)=2x+4 u '(x)=2x et v '(x)=2

k '(x)=u ' v−uv ' v²

k '(x)=2x×(2x+4)−2(x²−3) (2x+4)²

k '(x)=2x²+8x+6 (2x+4)²