Equation de Langevin quantique ´

(1)

Parcours de Physique Quantique 1

^er

d´ ecembre 2009 Physique statistique hors ´ equilibre

TD n

^o

7 : Dissipation

Equation de Langevin quantique ´

1 Dissipation dans une ligne de transmission

Une ligne de transmission (un cable coaxial) parfaite (sans r´ esistance) est caract´ eris´ ee par une capacit´ e et une inductance par unit´ e de longueur. Elle peut ˆ etre mod´ elis´ ee comme une s´ erie d’inductances et de capacit´ es identiques. Nous montrons que l’imp´ edance de la ligne semi-infinie poss` ede une partie dissipative, alors que la ligne est constitu´ ee d’´ el´ ements non dissipatifs.

Q_n

n

...

I_n−1 I_n+1 In

Un+1

Qn+2 Q_n+1

U_n+2 U

...

Figure

1 – Une ligne de transmission (un cable coaxial) poss` ede une inductance et une capacit´ e.

Le ligne de transmission parfaite (sans ´ el´ ement r´ esistif ) peut ˆ etre mod´ elis´ ee comme une s´ erie d’´ el´ ements (L, C ) identiques.

Nous ´ etudions dans un premier temps les modes propres de la ligne infinie, puis nous calculons l’imp´ edance de la ligne semi infinie. On cherche des solutions harmoniques : I

_n

(t) = ˜ I

_n

e

^−iωt

dans la ni` eme inductance.

On notera les imp´ edances complexes d’une inductance et d’une capacit´ e : Z

_L

et Z

_C

.

1/

En utilisant les lois de Kirchhoff, trouver une ´ equation satisfaite par les courants ˜ I

n

.

2/Modes propagatifs.–

Montrer que les modes propagatifs I

n

(t) = e

^{iqn−iω(q)t}

n’existent que pour ω

∈

[0, ω

0

] o` u ω

0

def

= 2/

√

LC et pr´ eciser la relation de dispersion.

3/Modes ´

evanscents.– Donner ´ egalement la relation de dispersion des modes ´ evanscents I

n

(t) = (−1)

ⁿ

e

^qn−iω(q)t

. Sur quelle distance ces modes se propagent-ils (en fonction de ω) ?

4/Imp´

edance de la ligne semi-infinie.– Soit Z

n

l’imp´ edance de n couples L

−

C. Trouver la relation de r´ ecurrence entre Z

_n

et Z

_n+1

. En d´ eduire Z

∞ ≡

Z(ω). Tracer Re Z(ω) et Im Z (ω).

V´ erifier que Re Z (ω)

6= 0 dans un domaine de fr´

equences. Commenter.

2 Oscillateur coupl´ e ` a un bain d’oscillateurs

Dans cet exercice nous ´ etudions la dynamique d’un oscillateur coupl´ e ` a un bain d’oscillateurs harmoniques suppos´ es ` a l’´ equilibre thermodynamique. La dynamique du syst` eme est d´ ecrite par le hamiltonien :

H = ω

0

(a

^†

a + 1/2)

| {z }

H0

+ a

^†X

k

g

_k

b

_k

+ h.c

| {z }

Hint

+

X

k

Ω

_k

(b

^†_k

b

_k

+ 1/2)

| {z }

H_Bath

(1)

1

(2)

avec [a, a

^†

] = 1 et [b

_k

, b

^†_k0

] = δ

_k,k⁰

. La densit´ e spectrale des fr´ equences Ω

_k

est une fonction continue. Les constantes de couplage complexes g

_k

sont des donn´ ees du probl` eme, de plus g

_k

est suppos´ e varier lentement avec Ω

_k

.

L’objectif de l’exercice est d’´ etudier la fonction de r´ eponse de l’oscillateur pour caract´ eriser la dissipation.

1/

Calculer [H, a] et [H, b

k

]. En d´ eduire les ´ equations du mouvement pour les op´ erateurs en repr´ esentation de Heisenberg.

2/

La m´ ethode g´ en´ erale pour aboutir ` a l’´ equation de Langevin quantique consiste ` a r´ esoudre formellement l’´ equation du mouvement pour b

_k

(t) et injecter cette solution dans l’´ equation du mouvement de a(t). Montrer qu’en suivant cette proc´ edure on aboutit ` a la structure :

˙

a(t) =

−iω₀

a(t)

− Z t

0

dt

⁰

γ(t

−

t

⁰

) a(t

⁰

) + ξ(t) (2) Donner l’expression de la fonction γ(t) et de l’op´ erateur ξ(t). Il est commode d’introduire une fonction de Heaviside θ(t) dans la d´ efinition de γ(t).

3/

Calculer le commutateur [ξ(t), ξ

^†

(0)].

4/

Quelle est l’´ evolution libre (pour g

_k

= 0) de a(t) ? En admettant que le couplage g

_k

est une fonction variant lentement avec la fr´ equence Ω

_k

, et que le temps t est assez grand, justifier la substitution

Z t

0

dt

⁰

γ(t

−

t

⁰

) a(t

⁰

)

→

˜ γ(ω

₀

) a(t) (3) Cette substitution rend l’´ equation de Langevin quantique locale en temps.

5/

On ´ ecrit : ˜ γ (ω

₀

) = iδω

₀

+ Γ/2. Donner les expressions de δω

₀

et Γ. Commenter.

6/

Ecrire la nouvelle ’´ ´ equation de Langevin quantique en fonction des param` etres δω

₀

et Γ.

Int´ egrer l’´ equation.

7/

On admet que les oscillateurs sont initialement ` a l’´ equilibre thermodynamique :

hb^†_k

b

k⁰i

= δ

k,k⁰

n

k

(4) o` u n

k

= e

^βΩ¹^k−1

. Calculer le corr´ elateur

hξ^†

(t) ξ(0)i. Montrer que

ha(t)^†

a(t)i relaxe vers la distribution de Bose-Einstein. Commentaire.

8/

Calculer le commutateur [a(t), a

^†

(t

⁰

)]. D´ eduire l’expression de la fonction de Green retard´ ee

G^Ret

(t, t

⁰

)

^def

=

−iθ(t−

t

⁰

)h[a(t), a

^†

(t

⁰

)]i (5) Montrer que :

G^Ret

(t)

' −i

θ(t) e

^−(iω^R^+Γ/2)t

(6)

9/

Montrer que la fonction de r´ eponse χ

xx

(t) est reli´ ee ` a la fonction de Green retard´ ee : χ

_xx

(t) = iθ(t)h[x(t), x]i =

−

1 ω

0

Re G

^Ret

(t) (7)

D´ eduire χ

e_xx

(ω).

10/