Fourier, cet inconnu

Introduction Th´eorie Applications

Fourier, cet inconnu

Nicolas Le Roux et plein d’autres personnes dont j’ai avidement pomp´e les textes

25 Mars 2005

Nicolas Le Roux et plein d’autres personnes dont j’ai avidement pomp´S´eminaires LISAe les textes

1 Introduction

Code des couleurs D´efinitions

2 Th´eorie

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

3 Applications Echantillonnage´

Compression de donn´ees

Nicolas Le Roux et plein d’autres personnes dont j’ai avidement pomp´S´eminaires LISAe les textes

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

Code des couleurs

Version originale

Pour les gens assis au premier rang qui veulent comprendre les math´ematiques servant de base `a la th´eorie.

Version sous-titr´ee

Pour ceux des deuxi`eme et troisi`eme rangs que ¸ca int´eresse, mais qui sont plus ´emus par une femme nue que par la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat.

Version pour les sourds analphab`etes

Pour ceux du fond `a qui on a demand´e de venir alors qu’ils voulaient jouer `a Unreal Tournament et qui sont juste int´eress´es par les dessins.

Premi`ere bonne blague, on se dit que le reste va ˆetre drˆole. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

Code des couleurs

Version originale

Pour les gens assis au premier rang qui veulent comprendre les math´ematiques servant de base `a la th´eorie.

Version sous-titr´ee

Pour ceux des deuxi`eme et troisi`eme rangs que ¸ca int´eresse, mais qui sont plus ´emus par une femme nue que par la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat.

Pour ceux du fond `a qui on a demand´e de venir alors qu’ils voulaient jouer `a Unreal Tournament et qui sont juste int´eress´es par les dessins.

Premi`ere bonne blague, on se dit que le reste va ˆetre drˆole. S´eminaires LISA

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Code des couleurs D´efinitions

Code des couleurs

Version originale

Pour les gens assis au premier rang qui veulent comprendre les math´ematiques servant de base `a la th´eorie.

Version sous-titr´ee

Pour ceux des deuxi`eme et troisi`eme rangs que ¸ca int´eresse, mais qui sont plus ´emus par une femme nue que par la d´emonstration du th´eor`eme de Fermat.

Version pour les sourds analphab`etes

Pour ceux du fond `a qui on a demand´e de venir alors qu’ils voulaient jouer `a Unreal Tournament et qui sont juste int´eress´es par les dessins.

Premi`ere bonne blague, on se dit que le reste va ˆetre drˆole. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

D´ efinition des fonctions ´ egales presque partout

Deux fonctions sont dites´egales presque partoutsi : elles ne diff`erent qu’en un nombre fini de points (´eventuellement 0)

elles diff`erent en un nombre infini de points MAIS tous les points o`u elles diff`erent sont s´epar´es les uns des autres

On se rend compte qu’on s’´etait compl`etement tromp´e. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

D´ efinition des fonctions ´ egales presque partout

Deux fonctions sont dites´egales presque partoutsi : elles ne diff`erent qu’en un nombre fini de points (´eventuellement 0)

elles diff`erent en un nombre infini de points MAIS tous les points o`u elles diff`erent sont s´epar´es les uns des autres

Deux fonctions ´egales presque partout ont la mˆeme int´egrale

On se rend compte qu’on s’´etait compl`etement tromp´e. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

D´ efinition des fonctions ´ egales presque partout

Deux fonctions sont dites´egales presque partoutsi : elles ne diff`erent qu’en un nombre fini de points (´eventuellement 0)

elles diff`erent en un nombre infini de points MAIS tous les points o`u elles diff`erent sont s´epar´es les uns des autres

On se rend compte qu’on s’´etait compl`etement tromp´e. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

D´ efinition des fonctions ´ egales presque partout

Deux fonctions sont dites´egales presque partoutsi : elles ne diff`erent qu’en un nombre fini de points (´eventuellement 0)

elles diff`erent en un nombre infini de points MAIS tous les points o`u elles diff`erent sont s´epar´es les uns des autres Deux fonctions ´egales presque partout ont la mˆeme int´egrale

On se rend compte qu’on s’´etait compl`etement tromp´e. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

Exemples

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Fonction ´egale presque partout au sinus : elle ne diff`ere du sinus qu’en un nombre fini de points

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0

au sinus : tous les points en lesquels elles diff`erent sont s´epar´es

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Fonction non ´egale presque partout au sinus : elle diff`ere du sinus sur un intervalle complet

Ils sont pas beaux mes dessins. S´eminaires LISA

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Code des couleurs D´efinitions

Exemples

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Fonction ´egale presque partout au sinus : elle ne diff`ere du sinus qu’en un nombre fini de points

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0 0.5 1

1.5 Fonction ´egale presque partout

au sinus : tous les points en lesquels elles diff`erent sont s´epar´es

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Fonction non ´egale presque partout au sinus : elle diff`ere du sinus sur un intervalle complet

Ils sont pas beaux mes dessins. S´eminaires LISA

Exemples

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Fonction ´egale presque partout au sinus : elle ne diff`ere du sinus qu’en un nombre fini de points

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0 0.5 1

1.5 Fonction ´egale presque partout

au sinus : tous les points en lesquels elles diff`erent sont s´epar´es

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Fonction non ´egale presque partout au sinus : elle diff`ere du sinus sur un intervalle complet

Ils sont pas beaux mes dessins. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

Ensembles de travail

D´efinitions

L^p : fonctions dont la puissance p-i`eme est int´egrable (c’est-`a-dire que R

X|f|^p est fini)

L^p : on consid`ere comme ´egales les fonctions de L^p qui sont

´

egales presque partout et d´efinies sur [−π, π].

Autre fa¸con de voir

Une classe =f + toutes les fonctions ´egales presque partout `a f En regardant bien, on peut mˆeme voir des chatons

Bon, l`a on commence `a vouloir s’en aller. S´eminaires LISA

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Code des couleurs D´efinitions

Ensembles de travail

D´efinitions

L^p : fonctions dont la puissance p-i`eme est int´egrable (c’est-`a-dire que R

X|f|^p est fini)

L^p : on consid`ere comme ´egales les fonctions de L^p qui sont

´

egales presque partout et d´efinies sur [−π, π].

Une classe =f + toutes les fonctions ´egales presque partout `a f En regardant bien, on peut mˆeme voir des chatons

Bon, l`a on commence `a vouloir s’en aller. S´eminaires LISA

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Code des couleurs D´efinitions

Ensembles de travail

D´efinitions

L^p : fonctions dont la puissance p-i`eme est int´egrable (c’est-`a-dire que R

X|f|^p est fini)

L^p : on consid`ere comme ´egales les fonctions de L^p qui sont

´

egales presque partout et d´efinies sur [−π, π].

Autre fa¸con de voir

Une classe =f + toutes les fonctions ´egales presque partout `a f

En regardant bien, on peut mˆeme voir des chatons

Bon, l`a on commence `a vouloir s’en aller. S´eminaires LISA

Ensembles de travail

D´efinitions

L^p : fonctions dont la puissance p-i`eme est int´egrable (c’est-`a-dire que R

X|f|^p est fini)

L^p : on consid`ere comme ´egales les fonctions de L^p qui sont

´

egales presque partout et d´efinies sur [−π, π].

Autre fa¸con de voir

Une classe =f + toutes les fonctions ´egales presque partout `a f En regardant bien, on peut mˆeme voir des chatons

Bon, l`a on commence `a vouloir s’en aller. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

Produit scalaire

Le produit scalaire hermitien usuel surL² est l’application (f,g)7→ 1

2π Z π

−π

f(t).g(t)dt

¯f signifie le conjugu´e de f (on travaille avec des complexes) on peut remplacer une fonction par une fonction ´egale presque partout

Y en a qui voient les textes du bas pour la premi`ere fois. S´eminaires LISA

Produit scalaire

Le produit scalaire hermitien usuel surL² est l’application (f,g)7→ 1

2π Z π

−π

f(t).g(t)dt

¯f signifie le conjugu´e de f (on travaille avec des complexes) on peut remplacer une fonction par une fonction ´egale presque partout

Y en a qui voient les textes du bas pour la premi`ere fois. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Code des couleurs D´efinitions

Fonctions p´ eriodiques

une fonction est dite T-p´eriodiquesi pour toutx, on a f(x+T) =f(x)(l`a, tout le monde devrait suivre normalement)

Ex : la fonction sinus

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

on note un l’applicationt 7→e^i·n·t = cos(n·t) +i·sin(n·t)

Ils aimeraient bien revenir pour voir ceux qu’ils ont rat´es. S´eminaires LISA

Fonctions p´ eriodiques

une fonction est dite T-p´eriodiquesi pour toutx, on a f(x+T) =f(x)(l`a, tout le monde devrait suivre normalement)

Ex : la fonction sinus

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

on note un l’applicationt 7→e^i·n·t = cos(n·t) +i·sin(n·t)

Ils aimeraient bien revenir pour voir ceux qu’ils ont rat´es. S´eminaires LISA

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Code des couleurs D´efinitions

Fonctions p´ eriodiques

une fonction est dite T-p´eriodiquesi pour toutx, on a f(x+T) =f(x)(l`a, tout le monde devrait suivre normalement)

Ex : la fonction sinus

−30 −20 −10 0 10 20 30

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

on note un l’applicationt 7→e^i·n·t = cos(n·t) +i·sin(n·t)

Ils aimeraient bien revenir pour voir ceux qu’ils ont rat´es. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Le th´ eor` eme super top important

Th´eor`eme

La famille (u_n)n∈Z est une base hilbertienne de L² (les (u_n) sont orthonormaux).

(xi)i∈I BI deH si pour toutx deH,x =P

i∈I <xi|x >xi

On peut d´ecomposer n’importe quelle fonction p´eriodique en une somme desinou de cos de fr´equences enti`eres.

Petit dessin explicatif

R´esultat, ils ont rien suivi de la slide. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Le th´ eor` eme super top important

Th´eor`eme

La famille (u_n)n∈Z est une base hilbertienne de L² (les (u_n) sont orthonormaux).

(xi)i∈I BI deH si pour toutx deH,x =P

i∈I <xi|x >xi

Ce que ¸ca veut dire

On peut d´ecomposer n’importe quelle fonction p´eriodique en une somme desinou de cos de fr´equences enti`eres.

Petit dessin explicatif

R´esultat, ils ont rien suivi de la slide. S´eminaires LISA

Le th´ eor` eme super top important

Th´eor`eme

La famille (u_n)n∈Z est une base hilbertienne de L² (les (u_n) sont orthonormaux).

(xi)i∈I BI deH si pour toutx deH,x =P

i∈I <xi|x >xi

Ce que ¸ca veut dire

On peut d´ecomposer n’importe quelle fonction p´eriodique en une somme desinou de cos de fr´equences enti`eres.

Petit dessin explicatif

R´esultat, ils ont rien suivi de la slide. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Calcul d’un coefficient de Fourier

Formule

fˆ(n) = 1 2π

Z π

−π

e^−i·n·t·f(t)dt =f ·un

Concr`etement

On fait le produit scalaire de la fonctionf avec u_n, ce qui correspond au coefficient deu_n dans l’´ecriture de f. Petit dessin explicatif

De toute fa¸con, ¸ca manque de sexe cette pr´esentation. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Calcul d’un coefficient de Fourier

Formule

fˆ(n) = 1 2π

Z π

−π

e^−i·n·t·f(t)dt =f ·un

Concr`etement

On fait le produit scalaire de la fonctionf avec u_n, ce qui correspond au coefficient deu_n dans l’´ecriture de f.

De toute fa¸con, ¸ca manque de sexe cette pr´esentation. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Calcul d’un coefficient de Fourier

Formule

fˆ(n) = 1 2π

Z π

−π

e^−i·n·t·f(t)dt =f ·un

Concr`etement

On fait le produit scalaire de la fonctionf avec u_n, ce qui correspond au coefficient deu_n dans l’´ecriture de f. Petit dessin explicatif

De toute fa¸con, ¸ca manque de sexe cette pr´esentation. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

S´ erie de Fourier

Formule

+∞

X

n=−∞

ˆf(n)·e^i·n·t =

+∞

X

n=−∞

(f ·u_n)u_n

Si−→x =a· −→u +b· −→v, alors =⇒a=−→x · −→u et b=−→x · −→v donc−→x = −→x · −→u−→u + −→x · −→v−→v

Je ressors subtilement mon petit dessin explicatif

L`a j’en ai d´ej`a perdu la moiti´e S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

S´ erie de Fourier

Formule

+∞

X

n=−∞

ˆf(n)·e^i·n·t =

+∞

X

n=−∞

(f ·u_n)u_n

Dans le plan

Si−→x =a· −→u +b· −→v, alors =⇒a=−→x · −→u et b=−→x · −→v donc−→x = −→x · −→u−→u + −→x · −→v−→v

Je ressors subtilement mon petit dessin explicatif

L`a j’en ai d´ej`a perdu la moiti´e S´eminaires LISA

S´ erie de Fourier

Formule

+∞

X

n=−∞

ˆf(n)·e^i·n·t =

+∞

X

n=−∞

(f ·u_n)u_n

Dans le plan

Si−→x =a· −→u +b· −→v, alors =⇒a=−→x · −→u et b=−→x · −→v donc−→x = −→x · −→u−→u + −→x · −→v−→v

Je ressors subtilement mon petit dessin explicatif

L`a j’en ai d´ej`a perdu la moiti´e S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Fait que c’est ¸ca qui est ¸ca

Proposition

Toutef dansL² est somme de sa s´erie de Fourier pour L².

f −

+∞

X

n=−∞

ˆf(n)·e^i·n·t

2

= 0

Ce que ¸ca veut dire

f est ´egale `a sa s´erie de Fourier presque partout.

Revenez quoi, soyez chouette ! S´eminaires LISA

Fait que c’est ¸ca qui est ¸ca

Proposition

Toutef dansL² est somme de sa s´erie de Fourier pour L².

f −

+∞

X

n=−∞

ˆf(n)·e^i·n·t

2

= 0

Ce que ¸ca veut dire

f est ´egale `a sa s´erie de Fourier presque partout.

Revenez quoi, soyez chouette ! S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Spectre

Signification de ˆf(n)

ˆf(n) repr´esente la participation du terme de fr´equence n dans le signal. C’est unnombre complexe : ˆf(n) =ρ·e^i·θ

ρest la puissancede ce terme θest laphase de ce terme Exemples

Regardez, j’ai remis des petits dessins ! S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Spectre

Signification de ˆf(n)

ˆf(n) repr´esente la participation du terme de fr´equence n dans le signal. C’est unnombre complexe : ˆf(n) =ρ·e^i·θ

ρest la puissancede ce terme

Exemples

Regardez, j’ai remis des petits dessins ! S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Spectre

Signification de ˆf(n)

ˆf(n) repr´esente la participation du terme de fr´equence n dans le signal. C’est unnombre complexe : ˆf(n) =ρ·e^i·θ

ρest la puissancede ce terme θest laphase de ce terme

Exemples

Regardez, j’ai remis des petits dessins ! S´eminaires LISA

Spectre

Signification de ˆf(n)

ˆf(n) repr´esente la participation du terme de fr´equence n dans le signal. C’est unnombre complexe : ˆf(n) =ρ·e^i·θ

ρest la puissancede ce terme θest laphase de ce terme Exemples

Regardez, j’ai remis des petits dessins ! S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

La slide pour les ´ etudiants de Doug

Et l`a y en a encore tout plein ! S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Transformation de Fourier - 1/2

f ∈L¹

C(R) Formule

fˆ(t) = 1

√2π Z +∞

−∞

f(x)·e^−i·x·tdt

Idem mais produit scalaire deL¹_C(R)

Si f est dansL¹, alors ˆf est continue et tend vers 0 en±∞.

Vous pourrez pas dire que je vous ai pas gˆat´es. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Transformation de Fourier - 1/2

f ∈L¹

C(R) Formule

fˆ(t) = 1

√2π Z +∞

−∞

f(x)·e^−i·x·tdt

Lien avec la transform´ee de Fourier Idem mais produit scalaire deL¹_C(R)

Si f est dansL¹, alors ˆf est continue et tend vers 0 en±∞.

Vous pourrez pas dire que je vous ai pas gˆat´es. S´eminaires LISA

Transformation de Fourier - 1/2

f ∈L¹

C(R) Formule

fˆ(t) = 1

√2π Z +∞

−∞

f(x)·e^−i·x·tdt

Lien avec la transform´ee de Fourier Idem mais produit scalaire deL¹_C(R)

Si f est dansL¹, alors ˆf est continue et tend vers 0 en±∞.

Vous pourrez pas dire que je vous ai pas gˆat´es. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Transformation de Fourier - 2/2

Th´eor`eme d’inversion

Sif et ˆf appartiennent toutes les deux `aL¹, alors g :x7→ 1

√ 2π

Z +∞

−∞

ˆf(t)·e^i·x·tdt

est continue, tend vers 0 en +∞et −∞ et est ´egale `af presque partout.

Lien avec la transform´ee de Fourier

Toute f dansL² est somme de sa s´erie de Fourier pour L².

Bon, d’accord, c’est un peu indigeste. S´eminaires LISA

Transformation de Fourier - 2/2

Th´eor`eme d’inversion

Sif et ˆf appartiennent toutes les deux `aL¹, alors g :x7→ 1

√ 2π

Z +∞

−∞

ˆf(t)·e^i·x·tdt

est continue, tend vers 0 en +∞et −∞ et est ´egale `af presque partout.

Lien avec la transform´ee de Fourier

Toute f dansL² est somme de sa s´erie de Fourier pour L².

Bon, d’accord, c’est un peu indigeste. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Propri´ et´ es

x(t)↔Xb(f) y(t)↔Yb(f)

∀a,b∈C,a·x(t) +b·y(t)↔a·Xb(f) +b·Yb(f) : lin´earit´e x(−t)↔Xb(−f) : sym´etrie

x(a·t)↔ _|a|¹Xb ^f_a

:similitude

x(t−t₀)↔Xb(f)·e^{−2π·i·f·t0} :translation

dⁿx

dtⁿ(t)↔Xb(f)·(2π·i·f)ⁿ :d´erivation Rt

0 x(u)du↔ _2π·i·f^Xb(f) :int´egration

x(t)∗y(t)↔Xb(f)·Yb(f) : convolution x(t)·y(t)↔Xb(f)∗Yb(f) : convolution bis

N.B :x(t)∗y(t) =R+∞

−∞ x(τ)y(t−τ)dτ

L’essentiel pour une slide, c’est qu’elle soit a´er´ee. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Propri´ et´ es

x(t)↔Xb(f) y(t)↔Yb(f)

∀a,b∈C,a·x(t) +b·y(t)↔a·Xb(f) +b·Yb(f) : lin´earit´e x(−t)↔Xb(−f) : sym´etrie

x(a·t)↔ _|a|¹Xb ^f_a

:similitude

x(t−t₀)↔Xb(f)·e^{−2π·i·f·t0} :translation

dⁿx

dtⁿ(t)↔Xb(f)·(2π·i·f)ⁿ :d´erivation Rt

0 x(u)du↔ _2π·i·f^Xb(f) :int´egration

x(t)∗y(t)↔Xb(f)·Yb(f) : convolution x(t)·y(t)↔Xb(f)∗Yb(f) : convolution bis

L’essentiel pour une slide, c’est qu’elle soit a´er´ee. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Propri´ et´ es

x(t)↔Xb(f) y(t)↔Yb(f)

∀a,b∈C,a·x(t) +b·y(t)↔a·Xb(f) +b·Yb(f) : lin´earit´e x(−t)↔Xb(−f) : sym´etrie

x(a·t)↔ _|a|¹Xb ^f_a

:similitude

x(t−t₀)↔Xb(f)·e^{−2π·i·f·t0} :translation

dⁿx

dtⁿ(t)↔Xb(f)·(2π·i·f)ⁿ :d´erivation Rt

0 x(u)du↔ _2π·i·f^Xb(f) :int´egration

x(t)∗y(t)↔Xb(f)·Yb(f) : convolution x(t)·y(t)↔Xb(f)∗Yb(f) : convolution bis

N.B :x(t)∗y(t) =R+∞

−∞ x(τ)y(t−τ)dτ

L’essentiel pour une slide, c’est qu’elle soit a´er´ee. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Propri´ et´ es

x(t)↔Xb(f) y(t)↔Yb(f)

∀a,b∈C,a·x(t) +b·y(t)↔a·Xb(f) +b·Yb(f) : lin´earit´e x(−t)↔Xb(−f) : sym´etrie

x(a·t)↔ _|a|¹Xb ^f_a

:similitude

x(t−t₀)↔Xb(f)·e^{−2π·i·f·t0} :translation

dⁿx

dtⁿ(t)↔Xb(f)·(2π·i·f)ⁿ :d´erivation Rt

0 x(u)du↔ _2π·i·f^Xb(f) :int´egration

x(t)∗y(t)↔Xb(f)·Yb(f) : convolution x(t)·y(t)↔Xb(f)∗Yb(f) : convolution bis

L’essentiel pour une slide, c’est qu’elle soit a´er´ee. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

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Propri´ et´ es

x(t)↔Xb(f) y(t)↔Yb(f)

∀a,b∈C,a·x(t) +b·y(t)↔a·Xb(f) +b·Yb(f) : lin´earit´e x(−t)↔Xb(−f) : sym´etrie

x(a·t)↔ _|a|¹Xb ^f_a

:similitude

x(t−t₀)↔Xb(f)·e^{−2π·i·f·t0} :translation

dⁿx

dtⁿ(t)↔Xb(f)·(2π·i·f)ⁿ :d´erivation Rt

0 x(u)du↔ _2π·i·f^Xb(f) :int´egration

x(t)∗y(t)↔Xb(f)·Yb(f) : convolution x(t)·y(t)↔Xb(f)∗Yb(f) : convolution bis

N.B :x(t)∗y(t) =R+∞

−∞ x(τ)y(t−τ)dτ

L’essentiel pour une slide, c’est qu’elle soit a´er´ee. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Propri´ et´ es

x(t)↔Xb(f) y(t)↔Yb(f)

∀a,b∈C,a·x(t) +b·y(t)↔a·Xb(f) +b·Yb(f) : lin´earit´e x(−t)↔Xb(−f) : sym´etrie

x(a·t)↔ _|a|¹Xb ^f_a

:similitude

x(t−t₀)↔Xb(f)·e^{−2π·i·f·t0} :translation

dⁿx

dtⁿ(t)↔Xb(f)·(2π·i·f)ⁿ :d´erivation Rt

0 x(u)du↔ _2π·i·f^Xb(f) :int´egration

x(t)∗y(t)↔Xb(f)·Yb(f) : convolution x(t)·y(t)↔Xb(f)∗Yb(f) : convolution bis

L’essentiel pour une slide, c’est qu’elle soit a´er´ee. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Propri´ et´ es

x(t)↔Xb(f) y(t)↔Yb(f)

∀a,b∈C,a·x(t) +b·y(t)↔a·Xb(f) +b·Yb(f) : lin´earit´e x(−t)↔Xb(−f) : sym´etrie

x(a·t)↔ _|a|¹Xb ^f_a

:similitude

x(t−t₀)↔Xb(f)·e^{−2π·i·f·t0} :translation

dⁿx

dtⁿ(t)↔Xb(f)·(2π·i·f)ⁿ :d´erivation Rt

0 x(u)du↔ _2π·i·f^Xb(f) :int´egration

x(t)∗y(t)↔Xb(f)·Yb(f) : convolution x(t)·y(t)↔Xb(f)∗Yb(f) : convolution bis

N.B :x(t)∗y(t) =R+∞

−∞ x(τ)y(t−τ)dτ

L’essentiel pour une slide, c’est qu’elle soit a´er´ee. S´eminaires LISA

Propri´ et´ es

x(t)↔Xb(f) y(t)↔Yb(f)

∀a,b∈C,a·x(t) +b·y(t)↔a·Xb(f) +b·Yb(f) : lin´earit´e x(−t)↔Xb(−f) : sym´etrie

x(a·t)↔ _|a|¹Xb ^f_a

:similitude

x(t−t₀)↔Xb(f)·e^{−2π·i·f·t0} :translation

dⁿx

dtⁿ(t)↔Xb(f)·(2π·i·f)ⁿ :d´erivation Rt

0 x(u)du↔ _2π·i·f^Xb(f) :int´egration

x(t)∗y(t)↔Xb(f)·Yb(f) : convolution x(t)·y(t)↔Xb(f)∗Yb(f) : convolution bis N.B :x(t)∗y(t) =R+∞

−∞ x(τ)y(t−τ)dτ

L’essentiel pour une slide, c’est qu’elle soit a´er´ee. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Relation d’incertitude

Formule

E(x)²

4 ≤4π²σ_f²σ_t² avecE(x) : ´energie du signal

σ²_f =R

f²|bX(f)|² df : ´etendue spectrale σ²_t =R

t²|x(t)|² dt : ´etendue temporelle

Ce que ¸ca veut dire

Localis´e en temps ⇔Etal´´ e en fr´equence Localis´e en fr´equence ⇔Etal´´ e en temps

Courage, c’est bientˆot fini. S´eminaires LISA

Relation d’incertitude

Formule

E(x)²

4 ≤4π²σ_f²σ_t² avecE(x) : ´energie du signal

σ²_f =R

f²|bX(f)|² df : ´etendue spectrale σ²_t =R

t²|x(t)|² dt : ´etendue temporelle Ce que ¸ca veut dire

Localis´e en temps ⇔Etal´´ e en fr´equence Localis´e en fr´equence ⇔Etal´´ e en temps

Courage, c’est bientˆot fini. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

Transform´ee de Fourier (fonctions p´eriodiques) Transformation de Fourier (fonctionsL¹) Propri´et´es

Enfin !

Fin de la partie chiante (dommage qu’il ne reste que 6 slides)

De toute fa¸con, il doit en rester 3 qui ne dorment pas. S´eminaires LISA

Et ` a quoi ¸ca sert, tout ¸ca ?

analyse de fonctions

´

echantillonnage

compression de donn´ees

r´esolution d’´equations diff´erentielles

On fait genre ¸ca a des applications pratiques. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

´Echantillonnage Compression de donn´ees

Echantillonnage - pr´ ´ esentation

signal continux_c(t)

xc(t)−→x_d(n) =xc(n·θ) θ= ¹_ν : p´eriode d’´echantillonnage ν : fr´equence d’´echantillonnage

x_e(t) =

+∞

X

n=−∞

θ·δ(t−n·θ)x_d(n) =x_c(t)·Peigne Dirac : ´etendue temporelle nulle −→´etendue spectrale infinie

Encore des belles formules, youpi ! S´eminaires LISA

Echantillonnage - formule ´

X_e(f) = X_c(f)∗TF(Peigne)

= Xc(f)∗

+∞

X

n=−∞

δ

f −n θ

!

=

+∞

X

n=−∞

Xc(f −n·ν)

Echantillonnage en temps = p´eriodisation en fr´equence

Allez, on ach`eve les derniers survivants. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

´Echantillonnage Compression de donn´ees

Th´ eor` eme de Nyquist

la distance entre deux p´eriodes fr´equentielles est de ν la bande passante du signal est de BP

si ν ≥2BP, il n’y pas recouvrement−→ r´eversibilit´e si ν <2BP, il y a recouvrement −→aliasing

Encore une subtile r´eutilisation d’image. S´eminaires LISA

Th´ eor` eme de Nyquist

la distance entre deux p´eriodes fr´equentielles est de ν la bande passante du signal est de BP

si ν ≥2BP, il n’y pas recouvrement−→ r´eversibilit´e si ν <2BP, il y a recouvrement −→aliasing

Encore une subtile r´eutilisation d’image. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

´Echantillonnage Compression de donn´ees

Th´ eor` eme de Nyquist

la distance entre deux p´eriodes fr´equentielles est de ν la bande passante du signal est de BP

si ν ≥2BP, il n’y pas recouvrement−→ r´eversibilit´e si ν <2BP, il y a recouvrement −→aliasing

Encore une subtile r´eutilisation d’image. S´eminaires LISA

Th´ eor` eme de Nyquist

la distance entre deux p´eriodes fr´equentielles est de ν la bande passante du signal est de BP

si ν ≥2BP, il n’y pas recouvrement−→ r´eversibilit´e si ν <2BP, il y a recouvrement −→aliasing

Encore une subtile r´eutilisation d’image. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

´Echantillonnage Compression de donn´ees

Th´ eor` eme de Nyquist

la distance entre deux p´eriodes fr´equentielles est de ν la bande passante du signal est de BP

si ν ≥2BP, il n’y pas recouvrement−→ r´eversibilit´e si ν <2BP, il y a recouvrement −→aliasing

Encore une subtile r´eutilisation d’image. S´eminaires LISA

Compression de donn´ ees

on fait une analyse fr´equentielle

on ne tient pas compte des fr´equences inaudibles pour l’humain

on ne tient pas compte des fr´equences dont la puissance est trop faible

C’est l’avant-derni`ere, on se pr´epare `a applaudir. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

´Echantillonnage Compression de donn´ees

Compression de donn´ ees

on fait une analyse fr´equentielle

on ne tient pas compte des fr´equences inaudibles pour l’humain

on ne tient pas compte des fr´equences dont la puissance est trop faible

C’est l’avant-derni`ere, on se pr´epare `a applaudir. S´eminaires LISA

Compression de donn´ ees

on fait une analyse fr´equentielle

on ne tient pas compte des fr´equences inaudibles pour l’humain

on ne tient pas compte des fr´equences dont la puissance est trop faible

C’est l’avant-derni`ere, on se pr´epare `a applaudir. S´eminaires LISA

Introduction Th´eorie Applications

´Echantillonnage Compression de donn´ees

Pour vous r´ ecompenser de votre patience

Let’s see a cute underage chick with hairy pussy !

Petit dessin explicatif

Il fallait bien un petit dessin pour la fin. S´eminaires LISA

Pour vous r´ ecompenser de votre patience

Let’s see a cute underage chick with hairy pussy ! Petit dessin explicatif

Il fallait bien un petit dessin pour la fin. S´eminaires LISA