TS 8 Interrogation 6A : Correction 1 d´ecembre 2017 Exercice 1 :
Un club multisports propose seulement deux formules d’abonnement : la formule sport unique et la formule tous sports.
Chaque adh´erent ne souscrit qu’`a une seule des deux formules. Dans le fichier en fin de saison, on constate que :
• 40% des adh´erents ont choisi la formule sport unique ;
• parmi ceux qui ont choisi la formule sport unique, 85% b´en´eficient d’une aide municipale ;
• parmi ceux qui ont choisi la formule tout sports, 25% b´en´eficient d’une aide municipale.
On choisit au hasard une fiche d’adh´erent. On consid`ere les deux ´ev´enements suivants.
U L’adh´erent a opt´e pour la formule sport unique; T L’adh´erent a opt´e pour la formule tout sports; A L’adh´erent b´en´eficie d’une aide municipale.
1. Donnerp(U),pU(A) etPT(A).
Solution: p(U) = 0,4, pU(A) = 0,85, pT(A) = 0,25
2. Repr´esenter la situation sur l’arbre pond´er´e ci-contre Solution:
T
A¯ 0,75
A 0,25
0,6
U
A¯ 0,15
A ,85
0,4
3. a. D´efinir par une phrase l’´ev´enementU∩A.
b. Calculerp(U ∩A).
Solution:
a. L’´ev´enement U ∩ A est l’´ev´enement :
L’adh´erent a opt´e pour la formule sport unique et b´en´eficie d’une aide municipale.
b. p(U∩A) =p(U)×pU(A) = 0,4×0,85 = 0,34
T
A¯ A U
A¯ A
4. Calculerp(A)
Solution: U et T forment un syst`eme complet d’´ev´enement, d’apr`es la formule des probabilit´es totales : p(A) =p(U)×pU(A) +p(T)×pT(A) = 0,34 + 0,6×0,25 = 0,49.
5. Calculer, arrondie `a 0,01 pr`es, la probabilit´e que l’adh´erent ait opt´e pour la formule sport unique sachant qu’il b´en´eficie d’une aide municipale.
Solution: pA(U) =p(A∩U)
p(A) =0,340,49 ≈0,69 Exercice 2 :
On consid`ere deux ´ev`enements ind´ependantsAetB tels queP(A) = 0,15 et P(A∩B) = 0,085. CalculerP(B).
Solution: On sait queP(A)×P(B) =P(A∩B) doncP(B) =p(A∩B) P(B) = 17
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Exercice 3 :
Une usine produit des grille-pain, certains ´etant d´efectueux, et on suppose que la probabilit´e qu’un grille-pain soit d´efectueux est ´egale `a 0,03.
T 8 Interrogation Page 2 de 2 On pr´el`eve au hasard un ´echantillon de 100 grille-pain dans la production d’une journ´ee et on admet que cette production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce pr´el`evement `a un tirage avec remise de 100 grille-pain.
On consid`ere la variable al´eatoireX qui, `a ce pr´el`evement de 100 grille-pain, associe le nombre de grille-pain d´efectueux.
Tous les r´esultats seront arrondis au centi`eme.
1. Justifier que la variable al´eatoireX suit une loi binomiale dont on pr´ecisera les param`etres.
Solution: Pr´elever un grille pain est une ´epreuve de Bernoulli de succ`esIl est d´efectueuxde probabilit´e 0,03.
On observe la r´ep´etition de 100 ´epreuves identiques et ind´ependantes.
X est la variable al´eatoire qui compte le nombre de succ`es.X suit donc la loi binomiale de param`etres 100 et 0,03.
2. Quelle est la probabilit´e qu’il y ait 96 grille-pain en bon ´etat dans ce pr´el`evement ? 0,1 Solution: P(X = 4) = 1004
(0,03)4×0,9796≈0,17 La probabilit´e d’avoir 96 grille-pain en bon ´etat est de 0,17
3. Quelle est la probabilit´e de l’´ev´enement au moins trois grille-pain sont d´efectueux? Solution: P(X >3) = 1−P(X = 0)−P(X = 1)−P(X = 2)≈0,58
4. Calculer l’esp´erance de la variable al´eatoireX.
Solution: E(X) =n×p= 3.
