Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Interrogation de cours n˚14
Nom : Pr´enom :
Notations :La lettreKd´esigneRouC. Les entiersnetpsont des entiers naturels non nuls.
Question 1 (0,5+0,5+1 points) :SoitA une matrice de format n×p`a coefficients dans Ket soit B une matrice de formatq×r`a coefficients dansK.
1. `A quelle condition le produitAB est-il d´efini ?
2. Si le produitAB est d´efini, quel est le format de la matriceAB?
3. On suppose que le produit AB est d´efini. Compl´eter la phrase suivante pour donner la d´efinition des coefficients de la matriceAB.
Pour tout (i, j)∈J , K×J , K, [AB]ij =
Question 2 (0,5 point) : Donner deux matrices A et B de format 2×2 `a coefficients r´eels, toutes deux diff´erentes de 0M2(R), telles que AB= 0M2(R).
A=
B=
Question 3 (2 points) :Enoncer la formule du binˆ´ ome de Newton dans le contexte matriciel.
Question 4 (1,5 point) :SoitA∈ Mn(K). Donner la d´efinition de l’assertion :Aest une matrice inversible.
Question 5 (1 point) : Justifier que la matrice D =
−3 0 0 0 1 0 0 0 5
est inversible et donner sa matrice inverse.
1
Question 6 (3 points) :Enoncer et d´emontrer le r´esultat sur l’inversibilit´e et l’inverse de la matrice´ AB, o`u (A, B)∈GLn(K)2.
Enonc´e :´
Preuve :
Question 7 (6×0,25 points)
1. Comment nomme-t-on la matriceP =
0 1 0 1 0 0 0 0 1
?
2. Que dire quant `a l’inversibilit´e et `a l’inverse ´evententuelle deP?
3. Comment nomme-t-on la matrice ∆ =
1 0 0 0 1 0 0 0 3
?
4. Que dire quant `a l’inversibilit´e et `a l’inverse ´evententuelle de ∆ ?
5. Comment nomme-t-on la matriceT =
1 −2 0
0 1 0
0 0 1
?
6. Que dire quant `a l’inversibilit´e et `a l’inverse ´evententuelle deT?
2
Question 8 (1+0,5 point) 1. Calculer le produit suivant.
1 0 0
0 1 0
0 −2 1
1 0 0
−4 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0
−7 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 0
7 8 9 4 5 6 1 2 3
=
2. Qu’en d´eduire quant `a la matriceA:=
7 8 9 4 5 6 1 2 3
?
Question 9 (1 point): Soit A∈ Mn(K). Montrer que si Aest inversible alors l’unique solution du syst`eme lin´eaireAX= 0Mn,1(K) d’inconnueX ∈ Mn,1(K) est 0Mn,1(K).
Question 10 (6 points): SoitA∈ Mn(K). D´emontrer que les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
1. Aest inversible 2. A∼
L In
3
