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Fonctions ´equivalentes

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Academic year: 2022

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Fonctions ´equivalentes

1 D´ efinition

On dit que deux fonctions f et g sont ´equivalentes en a ∈ R (avec ´eventuellement a = + ∞ ou a = −∞ ) si :

– elles sont d´efinies sur un intervalle contenant a ;

– il existe un intervalle contenant a sur lequel elles ne sont pas nulles ; – lim x → a f(x) g(x) = 1.

Dans ce cas on note f (x) ∼ x → a g(x) ou bien f ∼ a g.

2 Exemple

– Si lim x → a f (x) = ! avec ! ∈ R , alors f ∼ a !.

– Si f est d´erivable en 0 et f " (0) % = 0, alors

f (x) − f (0) ∼ x → 0 xf " (0).

On a par exemple : – e x − 1 ∼ x → 0 x ; – ln(1 + x) ∼ x→0 x ; – sin(x) ∼ x → 0 x ; – √

1 + x ∼ x→0 1 2 x.

– On a aussi 1 − cos(x) ∼ x → 0 x

2

2 .

3 Op´ erations sur les ´ equivalents

Si f (x) ∼ x→a α(x) et g(x) ∼ x→a β(x) alors

f (x)g(x) ∼ x → a α(x)β(x) et f (x) g(x) ∼ x → a

α(x) β(x) .

Dit autrement, on peut multiplier et diviser entre eux les ´equivalents.

En revanche, il n’est pas possible en g´en´eral de les additionner : si f (x) = x + x 2 et g(x) = − x 2 , alors

f (x) ∼ x → + ∞ x 2 et g(x) ∼ x → + ∞ = − x 2 , mais on n’a pas f (x) + g(x) ∼ x → + ∞ 0.

Références

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