Exercice 1 : Exemples et contre-exemples de normes

(1)

2017-2018 MAT303–UGA

TD 2 : normes

Exercice 1 : Exemples et contre-exemples de normes

Parmi les applications N : R ² −→ R d´ efinies ci-dessous, lesquelles sont des normes ?

N (x, y) = |x| ² + |y| N (x, y) = sup(|x|, |y| ³ ) N (x, y) = p

(25x ² + 4y ² )

N (x, y) = max(x, y) N (x, y) = min(|x|, |y|) N (x, y) = 5|x| + 2|y|

N (x, y) = |x + y| + 2|y| N (x, y) = max(x ² , y ² ) N (x, y) = |x|

Exercice 2 : Etude de la norme 2 sur R ⁿ - In´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz Soit n > 0 un entier naturel. Pour tout x ∈ R ⁿ , on consid` ere la quantit´ e

kxk ₂ = x ² ₁ + · · · + x ² _n 1/2

.

Le but de cet exercice est de montrer que k · k ₂ est une norme sur R ⁿ . On consid` ere pour cela le produit scalaire euclidien sur R ⁿ , d´ efini par

hu, vi = u ₁ v ₁ + · · · + u _n v _n ,

pour tous vecteurs u et v de R ⁿ .

1. V´ erifier que kuk ² ₂ = hu, ui pour tout vecteur u de R ⁿ .

2. V´ erifier rapidement que le produit scalaire est lin´ eaire par rapport ` a chacune de ses variables, sym´ etrique et d´ efini (c’est-` a-dire que hx, xi = 0 ⇒ x = 0).

3. Soient x et y deux vecteurs de R ⁿ fix´ es. En ´ etudiant la fonction d´ efinie par

t −→ hx + ty, x + tyi,

o` u t varie dans R , montrer que |hx, yi| 6 kxk ₂ kyk ₂ . Que dire dans le cas o` u on a ´ egalit´ e ? 4. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que k · k ₂ est une norme sur R ⁿ .

Exercice 3 : Normes et applications lin´ eaires

Soit N une norme sur R ⁿ . On suppose donn´ ee une application lin´ eaire inversible ϕ : R ⁿ −→ R ⁿ . 1. Montrer que l’application N ϕ (v) = N (ϕ(v)) d´ efinit une norme sur R ⁿ .

2. D´ ecrire la boule unit´ e de N ϕ .

3. Application : montrer sans calcul que N ϕ (x, y) = max(|x + y|, |x − y|) d´ efinit une norme sur R ² et repr´ esenter sa boule unit´ e.

4. Que pensez-vous de la boule unit´ e de la question pr´ ec´ edente ? Montrer que max(|x + y|, |x − y|) = |x| + |y|.

Exercice 4 : Convexit´ e de la boule unit´ e

Soit N une norme sur R ⁿ . Soit B _N la boule unit´ e ouverte de N .

(2)

1. Repr´ esenter B _N lorsque n = 2, dans les cas o` u N est k · k ₁ , k · k ₂ , k · k _∞ .

2. Soient x et y deux vecteurs de R ⁿ . Justifier que l’ensemble des vecteurs tx + (1 − t)y, o` u t ∈ [0, 1] est le segment [x, y]. On pourra commencer par repr´ esenter la situation pour un cas particulier dans R ² .

3. D´ emontrer que B _N est convexe, c’est-` a-dire que pour tous a et b dans B _N , le segment qui les relie est inclu dans B _N .

4. Que se passe-t-il pour la boule unit´ e ferm´ ee ?

5. Existe-t-il une norme sur R ² dont la boule unit´ e aurait la forme d’un coeur ?

Exercice 5 : Comparaison de normes

Soient N ₁ et N ₂ deux normes sur R ⁿ , et α un r´ eel strictement positif. On note B ₁ et B ₂ les boules ferm´ ees pour N ₁ et N ₂ . Montrer que les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes.

1. B ₁ (0, 1) ⊂ B ₂ (0, α).

2. Pour tout vecteur x de R ⁿ , on a N ₂ (x) 6 αN ₁ (x).

Exercice 6 : Equivalence de normes On consid` ere R ² et les trois normes

k(x, y)k ₁ = |x| + |y| k(x, y)k ₂ = p

x ² + y ² et k(x, y)k _∞ = max(|x|, |y|) .

On note B i (O, R) la boule ferm´ ee de rayon R et de centre l’origine O pour la norme i.

1. Dessiner les boules B ∞ (O, 1) et B 1 (O, 2).

2. A l’aide de l’exercice pr´ ec´ edent, trouver la constante optimale C 1,∞ telle que l’on ait k · k ₁ 6 C 1,∞ k · k _∞ .

3. Trouver les autres constantes optimales d’´ equivalence de ces trois normes.

Exercice 7 : Pourquoi norme

infinie

?

On consid` ere R ³ muni de la norme ` ^p , p ∈ [1, +∞[ d´ efinie par

k(x, y, z)k _p = |x| ^p + |y| ^p + |z| ^p 1/p

. Montrer que k(x, y, z)k _p −−−−−−−−→

p−→+∞ max(|x|, |y|, |z|).

Exercice 1 : Exemples et contre-exemples de normes

2017-2018 MAT303–UGA

TD 2 : normes

Exercice 1 : Exemples et contre-exemples de normes

Parmi les applications N : R 2 −→ R d´ efinies ci-dessous, lesquelles sont des normes ?

N (x, y) = |x| 2 + |y| N (x, y) = sup(|x|, |y| 3 ) N (x, y) = p

(25x 2 + 4y 2 )

N (x, y) = max(x, y) N (x, y) = min(|x|, |y|) N (x, y) = 5|x| + 2|y|

N (x, y) = |x + y| + 2|y| N (x, y) = max(x 2 , y 2 ) N (x, y) = |x|

Exercice 2 : Etude de la norme 2 sur R n - In´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz Soit n > 0 un entier naturel. Pour tout x ∈ R n , on consid` ere la quantit´ e

kxk 2 = x 2 1 + · · · + x 2 n 1/2

.

Le but de cet exercice est de montrer que k · k 2 est une norme sur R n . On consid` ere pour cela le produit scalaire euclidien sur R n , d´ efini par

hu, vi = u 1 v 1 + · · · + u n v n ,

pour tous vecteurs u et v de R n .

1. V´ erifier que kuk 2 2 = hu, ui pour tout vecteur u de R n .

2. V´ erifier rapidement que le produit scalaire est lin´ eaire par rapport ` a chacune de ses variables, sym´ etrique et d´ efini (c’est-` a-dire que hx, xi = 0 ⇒ x = 0).

3. Soient x et y deux vecteurs de R n fix´ es. En ´ etudiant la fonction d´ efinie par

t −→ hx + ty, x + tyi,

o` u t varie dans R , montrer que |hx, yi| 6 kxk 2 kyk 2 . Que dire dans le cas o` u on a ´ egalit´ e ? 4. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que k · k 2 est une norme sur R n .

Exercice 3 : Normes et applications lin´ eaires

Soit N une norme sur R n . On suppose donn´ ee une application lin´ eaire inversible ϕ : R n −→ R n . 1. Montrer que l’application N ϕ (v) = N (ϕ(v)) d´ efinit une norme sur R n .

2. D´ ecrire la boule unit´ e de N ϕ .

3. Application : montrer sans calcul que N ϕ (x, y) = max(|x + y|, |x − y|) d´ efinit une norme sur R 2 et repr´ esenter sa boule unit´ e.

4. Que pensez-vous de la boule unit´ e de la question pr´ ec´ edente ? Montrer que max(|x + y|, |x − y|) = |x| + |y|.

Exercice 4 : Convexit´ e de la boule unit´ e

Soit N une norme sur R n . Soit B N la boule unit´ e ouverte de N .

1. Repr´ esenter B N lorsque n = 2, dans les cas o` u N est k · k 1 , k · k 2 , k · k ∞ .

2. Soient x et y deux vecteurs de R n . Justifier que l’ensemble des vecteurs tx + (1 − t)y, o` u t ∈ [0, 1] est le segment [x, y]. On pourra commencer par repr´ esenter la situation pour un cas particulier dans R 2 .

3. D´ emontrer que B N est convexe, c’est-` a-dire que pour tous a et b dans B N , le segment qui les relie est inclu dans B N .

4. Que se passe-t-il pour la boule unit´ e ferm´ ee ?

5. Existe-t-il une norme sur R 2 dont la boule unit´ e aurait la forme d’un coeur ?

Exercice 5 : Comparaison de normes

Soient N 1 et N 2 deux normes sur R n , et α un r´ eel strictement positif. On note B 1 et B 2 les boules ferm´ ees pour N 1 et N 2 . Montrer que les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes.

1. B 1 (0, 1) ⊂ B 2 (0, α).

2. Pour tout vecteur x de R n , on a N 2 (x) 6 αN 1 (x).

Exercice 6 : Equivalence de normes On consid` ere R 2 et les trois normes

k(x, y)k 1 = |x| + |y| k(x, y)k 2 = p

x 2 + y 2 et k(x, y)k ∞ = max(|x|, |y|) .

On note B i (O, R) la boule ferm´ ee de rayon R et de centre l’origine O pour la norme i.

1. Dessiner les boules B ∞ (O, 1) et B 1 (O, 2).

2. A l’aide de l’exercice pr´ ec´ edent, trouver la constante optimale C 1,∞ telle que l’on ait k · k 1 6 C 1,∞ k · k ∞ .

3. Trouver les autres constantes optimales d’´ equivalence de ces trois normes.

Exercice 7 : Pourquoi norme

infinie

?

On consid` ere R 3 muni de la norme ` p , p ∈ [1, +∞[ d´ efinie par

k(x, y, z)k p = |x| p + |y| p + |z| p 1/p

. Montrer que k(x, y, z)k p −−−−−−−−→

p−→+∞ max(|x|, |y|, |z|).

Parmi les applications N : R ² −→ R d´ efinies ci-dessous, lesquelles sont des normes ?

N (x, y) = |x| ² + |y| N (x, y) = sup(|x|, |y| ³ ) N (x, y) = p

(25x ² + 4y ² )

N (x, y) = |x + y| + 2|y| N (x, y) = max(x ² , y ² ) N (x, y) = |x|

Exercice 2 : Etude de la norme 2 sur R ⁿ - In´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz Soit n > 0 un entier naturel. Pour tout x ∈ R ⁿ , on consid` ere la quantit´ e

kxk ₂ = x ² ₁ + · · · + x ² _n 1/2

Le but de cet exercice est de montrer que k · k ₂ est une norme sur R ⁿ . On consid` ere pour cela le produit scalaire euclidien sur R ⁿ , d´ efini par

hu, vi = u ₁ v ₁ + · · · + u _n v _n ,

pour tous vecteurs u et v de R ⁿ .

1. V´ erifier que kuk ² ₂ = hu, ui pour tout vecteur u de R ⁿ .

3. Soient x et y deux vecteurs de R ⁿ fix´ es. En ´ etudiant la fonction d´ efinie par

o` u t varie dans R , montrer que |hx, yi| 6 kxk ₂ kyk ₂ . Que dire dans le cas o` u on a ´ egalit´ e ? 4. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que k · k ₂ est une norme sur R ⁿ .

Soit N une norme sur R ⁿ . On suppose donn´ ee une application lin´ eaire inversible ϕ : R ⁿ −→ R ⁿ . 1. Montrer que l’application N ϕ (v) = N (ϕ(v)) d´ efinit une norme sur R ⁿ .

3. Application : montrer sans calcul que N ϕ (x, y) = max(|x + y|, |x − y|) d´ efinit une norme sur R ² et repr´ esenter sa boule unit´ e.

Soit N une norme sur R ⁿ . Soit B _N la boule unit´ e ouverte de N .

1. Repr´ esenter B _N lorsque n = 2, dans les cas o` u N est k · k ₁ , k · k ₂ , k · k _∞ .

2. Soient x et y deux vecteurs de R ⁿ . Justifier que l’ensemble des vecteurs tx + (1 − t)y, o` u t ∈ [0, 1] est le segment [x, y]. On pourra commencer par repr´ esenter la situation pour un cas particulier dans R ² .

3. D´ emontrer que B _N est convexe, c’est-` a-dire que pour tous a et b dans B _N , le segment qui les relie est inclu dans B _N .

5. Existe-t-il une norme sur R ² dont la boule unit´ e aurait la forme d’un coeur ?

Soient N ₁ et N ₂ deux normes sur R ⁿ , et α un r´ eel strictement positif. On note B ₁ et B ₂ les boules ferm´ ees pour N ₁ et N ₂ . Montrer que les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes.

1. B ₁ (0, 1) ⊂ B ₂ (0, α).

2. Pour tout vecteur x de R ⁿ , on a N ₂ (x) 6 αN ₁ (x).

Exercice 6 : Equivalence de normes On consid` ere R ² et les trois normes

k(x, y)k ₁ = |x| + |y| k(x, y)k ₂ = p

x ² + y ² et k(x, y)k _∞ = max(|x|, |y|) .

2. A l’aide de l’exercice pr´ ec´ edent, trouver la constante optimale C 1,∞ telle que l’on ait k · k ₁ 6 C 1,∞ k · k _∞ .

On consid` ere R ³ muni de la norme ` ^p , p ∈ [1, +∞[ d´ efinie par

k(x, y, z)k _p = |x| ^p + |y| ^p + |z| ^p 1/p

. Montrer que k(x, y, z)k _p −−−−−−−−→