Première partie. Espaces normés Chapitre # 1. Exemples de normes

Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

année UE Approfondissement en analyse

Cours #2 – le 1er février 2021 –

Première partie. Espaces normés Chapitre # 1. Exemples de normes

6. Norme k k

dans K

, 1 < p < ∞ :

(f) L’inégalité de Young à partir de l’inégalité de Jensen.

(g) Inégalité de Hölder si 1 < p < ∞.

(h) Petit exercice : montrer l’inégalité de Hölder si p = 1 ou p = ∞.

(i) Inégalité de Minkowski.

7. k k

sur C([0, 1], K ).

8. Petit exercice. Montrer que k k

sur C([0, 1], K ) est positive et finie, et que kf k

= 0 = ⇒ f = 0.

Chapitre #2. Topologie

Le cadre est celui d’un espace normé (E, k k). Au besoin, nous notons la norme sur E k k

. Rappels de notions vues au premier semestre :

1. Distance (induite par la norme) : d(x, y ) := kx − yk, ∀ x, y ∈ E.

2. Petit exercice. Montrer que d est une distance, c’est-à-dire : (a) d(x, y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ E.

(b) d(x, y) = d(y, x), ∀ x, y ∈ E.

(c) ∀ x, y ∈ E, d(x, y) = 0 = ⇒ x = y.

3. Boule ouverte, boule fermée, sphère.

4. Suite convergente.

5. Fermé (F ).

6. Ouvert (U ).

7. Exemples : B(a, r) est ouverte, B(a, r) et fermée.

8. Unions et intersections, finies ou quelconques, d’ouverts ou fermés.

9. Exercice de cours. En reprenant la preuve dans R , montrer que :

[U ⊂ E est ouvert] ⇐⇒ [∀ x ∈ U, ∃ r > 0 tel que B (x, r) ⊂ U ].

10. Fonction continue f : A → G (avec (G, kk

) normé et A ⊂ E).

11. Exercice de cours. En reprenant la preuve dans R , montrer que :

[f est continue] ⇐⇒ [∀ x ∈ A, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tel que

[y ∈ A, ky − xk < δ] = ⇒ [|||f(y) − f(x)||| < ε]].

12. Fonction (k-)lipschitzienne.

13. Exemples de fonctions lipschitziennes : (a) E 3 x 7→ kx − x

k (avec x

∈ E fixé).

(b) sin, cos : R → R .