SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES.

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�� SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES.

I. Convergences

On considère une suite(fn)nœNde fonctions etf une fonction, toutes définies sur un même ensembleEet à valeurs dansK=RouC.

I. A. Autour de la convergence uniforme

[Gou��, §�.�, p��-��] [QZ��, §V.III, p��]

D��. [�� ,��]

On dit que(fn)_nœNconverge simplement versfsi pour toutxœE, on afn(x) _n_æ+Œ≠æ f(x).

On dit que(fn)_nœNconverge uniformément versfsisupE|fn≠f| _n_æ+Œ≠æ 0.

E��. (x‘≠æxⁿ)_nœNconverge simplement mais pas uniformément vers0sur[0,1[.

T��. SoientEun espaces métrique. SoitaœE. On suppose quefn

≠æu næ+Œ fsur un voisinage deaet que les(fn)nœNsont continues ena. Alorsfest continue ena.

P��. [�� C�� ]

Il existe une fonctiongtelle quefn

≠æu

næ+Œ gsi et seulement si :

’Á>0,÷N œN|’p, qØN,’xœE,|fp≠fq|(x)ÆÁ

R��. C^b(X,Î.Î_Œ)est complet (oùXest un espace métrique complet).

T��. [�� ’A��-A��]

SupposonsEcompact. Alors on peut extraire de(fn)nœNune sous-suite uniformément conver- gente si et seulement si pour toutxœE:

(i) ’Á>0,÷÷>0|’nœN,’yœE, d(x, y)Æ÷=∆d(fn(x), fn(y))ÆÁ, (ii) Fx={fn(x)|nœN}est relativement compact.

T��. [�� W��] [QZ��, §XIII.II.�, p��–��]

R[X]est dense dansC([a, b],R,Î.Î_Œ)poura < bœR.

D��. [�� ]

On définit de même les convergences simple et uniforme d’une série de fonctions. On dit queq

fkconverge normalement siq

nœNÎfnÎ_Œ<+Œ.

E��. La série de terme généralfn:x‘≠æ _x+n¹ ²converge normalement pourxœ[a, A]

où0< a < A.

T��. La convergence normale implique la convergence uniforme.

E��. La réciproque est fausse. Considérerfn= _n+1¹ 1_[n,n+1[.

P��. SoitIun intervalle deR, on suppose les(fn)nœNdansC¹(I,R)telles que f_n^Õ _næ+Œ≠æ^u getfn

≠æs næ+Œ f. Alorsf œC¹([a, b],R),fn

≠æu

næ+Œ fetf^Õ =g.

R��. La preuve de ce théorème utilise le Théorème��.

C��. Si les(fn)nœNsontC^k([a, b],R)et telles quefn^(p)

≠æs

næ+Œ gppourpÆk avecfn^(k) u

næ+Œ≠æ gk, alorsg₀œC^k([a, b],R),fn

≠æu

næ+Œ getg₀^(p)=gppourpÆk.

E��. Soitfu:t‘≠æexp(tu)(uœR). AlorsfuestC^Œetfu^(p):t‘≠æq

nœN tⁿ^≠^p (n≠p)!uⁿ. E��. [Hau��, p��] Importance de la convergence uniforme de(f_n^Õ)nœN: considérer fn(x) =

x²+ 1/n.

I. B. Convergence en théorie de l’intégration

[Gou��, §�.�, p��] [BP��, Ch�/�, p��–��]

Soit(E,A, µ)un espace mesuré.

T��. [�� ]

Si(fn)_nœNest une suite de fonctions mesurables telles que :

• limnæ+Œfnexiste et vautf µ- p.p.,

• il existegintégrable surEtelle que|fn(x)|Æg(x)µ- p.p.pour toutnØ0.

Alorsfest intégrable etlimnæ+Œs

E|fn≠f|dµ= 0(et doncs

Efndµ _n_æ+Œ≠æ s

Xf dµ).

E��.

• L’hypothèse d’intégrabilité est nécessaire : considérerfn= 1/nsurR+.

• L’hypothèse de domination est cruciale : considérerfn=n1_[0,1/n].

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

(2)

Agrégation – Leçons ��– Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

A��. sn

0(1 +x/n)ⁿe^≠^–xdx _n_æ+Œ≠æ

; Œ si–Æ1 1/(–≠1) sinon .

C�� ��. Si (fn)_nœN est une suite de fonctions mesurables telles que q

nØ0s

X|fn|dµ <+Œ, alors les(fn)_nœNetq

nØ0fnsont intégrables et on a :

⁄

E

ÿ

nØ0

fndµ=ÿ

nØ0

⁄

E

fndµ

C��. Si(fn)nœNconverge uniformément versfsur[a, b]un segment deRalors fest continue etsb

afn(t)dt _næ+Œ≠æ sb a f(t)dt.

D��. [��L^p]

On dit que (fn)nœN tend vers f dans L^p si ce sont des éléments de L^p et si Îfn≠fÎp _n_æ+Œ≠æ 0.

P��. La convergenceL^pimplique la convergenceµ- p.p.d’une sous-suite.

E��. Stroboscope (bosses roulantes) : on n’a pas convergence simple de la suite.

D��. [�� ’�� ]

Une suite(–n)nØ1de fonctions positives deL¹est une approximation de l’unité si :

• pour toutnœN, on as

R^d–nd⁄d= 1,

• pour toutÁ>0, on alimnæ+Œs

{xØÁ}–nd⁄d= 0.

Si de plus les(–n)nØ1sont de classeCc^Œ, alors on dit que c’est une suite régularisante.

E��. [�� ’�� ]

On considère„:x‘≠æexp(_Î_x_Î¹2≠1)1_[0,1](ÎxÎ)puis–:x‘≠æ s ^„(x)

Rd„d⁄d. Alors la suite–n:x≠æn^d–(nx)est une suite régularisante.

P��. Soit(ﬂn)nœNune suite régularisante etf œL^p. Alors(ﬂnúf)nœNest une suite de fonctionsC^Œc qui converge versfdansL^p.

C��. Cc^Œest dense dansL^p.

II. Séries entières

[Gou��, §�.�, p��–��]

D��. [�� ]

On appelle série entière toute fonction de la formez‘≠æq

nØ0anzⁿoù(an)nœNœC^N. D��. [�� ]

On définit le rayon de convergence de la série entière par le réel R = sup({rØ0|(|anrⁿ|)_nœNest bornée}).

E��. La série entièreq

nØ0zⁿ

n! a un rayon de convergence infini.

Soit désormaisq

nØ0anzⁿune série entière de rayon de convergenceR.

P��. [�� ’A��]

• Si|z|< R, la sérieq

nØ0anzⁿconverge absolument,

• La série entièreq

nØ0anzⁿconvergence normalement surD^r(0)pour toutr < R. En particulier, la série entière est continue surD^R(O),

E�� ��. On n’a pas forcément convergence ou continuité sur D^R(0)! Par exemple q

nØ0(≠1)ⁿzⁿ=_1≠¹_zsurD1(0), prolongeable en1par1/2mais dont la série en1diverge.

P��.

• Si|z|> R, la sérieq

akz^kdiverge (grossièrement),

• La série entièreqakz^kconvergence normalement sur tout compactKµD^R(0).

E��. [�� CR(0)]

• q

nØ1zⁿdiverge en tout point deC1(0),

• q

nØ1zⁿ/nconverge en tout point deC1(0)sauf en1,

• q

nØ1zⁿ/n²converge en tout point deC1(0).

T��. [�� ’A�� C��]

i) Sian+1/an _n_æ+Œ≠æ ⁄œ[0,+Œ], alorsR= 1/⁄.

ii) Siⁿ

|an| _n_æ+Œ≠æ ⁄œ[0,+Œ], alorsR= 1/⁄.

E��. Pouran =; 1/3ⁿ sinest pair

4/3ⁿ sinest impair , on peut appliquer la règle deC��

mais pas la règle deH��.

(3)

T��. f :D^R(0)≠æC, z ‘≠æq

nØ0anzⁿest de classeC^Œet ses dérivées sont des séries entières de rayon de convergenceR.

A��. Siq

akz^ketq

bkz^ksont des séries entières de rayons de convergenceRa

etRb, alors leur produit deC��a un rayon de convergence supérieur àmin(Ra, Rb).

III. Séries de

[Gou��, Ch�.�, p��–��] [QZ��, Ch�, p��–��] [BMP��, §�.�.�/�.�.�, p��]

F��

On noteT = R/2ﬁZ,en = e^in. pourn œ Z. On définit lorsque cela a un sensÈf | gÍ =

2ﬁ1 s2ﬁ

0 f(t)g(t)dtetÎfÎ1= Èf |fÍ. D��. [�� F��]

Pourf œL¹(T), on définitcn(f) = _2ﬁ¹ sﬁ

≠ﬁf(t) e^≠^intdt=Èf |enÍlen-ième coe�icient de F��def, oùnœZ.

E��.

• Pourf =1_]≠a,a[où0< a <ﬁ, on acn(f) =;

a/ﬁ sin= 0

sin(na)/nﬁ sinon .

• Pourf :x‘≠æ1≠^xﬁ²², on acn(f) =; 1 sin= 0

2(≠1)ⁿ

ﬁ²n² sinon .

P��. Pourf œL¹(T), on a : (i) cn(f) =c_≠n(f),

(ii) cn(·af) = e^inacn(f), (iii) f úen =cn(f)en,

(iv) sif œC(T)ﬂCpm¹ (T), on acn(f^Õ) =incn(f).

L��. [�� R��-L��]

Sif œL¹(T), alorscn(f) _næ+Œ≠æ 0.

D��. [�� F��,��F��]

On appelle somme partielle de F�� d’ordre N œ N la quantité SN(f) = qN

n=≠Ncn(f)en.

On appelle somme partielle deF��d’ordreN œNla quantité‡N(f) = _N¹ qN≠1 n=0 SN(f).

R��. On peut voirSN(f)comme la projection surP^N = Vect((en)_≠N_ÆnÆN).

D��. [�� D��,��F��]

On appelle noyau deD��à l’ordreNœNla fonctionDN =qN n=≠Nen. On appelle noyau de F�� à l’ordre N œ N la fonction KN = _N¹ qN≠1

n=0 Dn = qN

n=≠N(1≠|n|/N)en.

P��. On a les propriétés suivantes : D�) SN(f) =fúDN,

D�) DNest pair etÎDNÎ1= 1, D�) ’xœT, DN(x) =^sin!_2N+1

2 x"

sin(x/2) ,

F�) ‡N(f) =fúKN, F�) ÎKNÎ1= 1,

F�) ’xœT, KN(x) = _N¹ ^sin_sin²2^{(N x/2)}(x/2) Ø0, F�) ’”œ]0,ﬁ],s

”Æ|t|ÆﬁKN(t)dt _N≠æ_æ+Œ 0.

T��. [�� F��]

• Soitf œ C(T). Alors Î‡N(f)Î_Œ Æ ÎfÎ_Œpour toutN Ø 1et‡N(f) = f ú KN

≠æu Næ+Œ f.

• Soitf œ L^p(T)pour unpœ [1,+Œ[. AlorsÎ‡N(f)Îp Æ ÎfÎppour toutN Ø 1et limNæ+ŒÎ‡N(f)≠fÎp = 0.

R��. On peut retrouver le théorème deW��à partir du premier résultat.

A��. F:C(T)≠æc₀(Z), f ‘≠æ(cn(f))_nœZest injective.

T��. (en)_nœZest une base hilbertienne deL²(T). En particulier, pourf œL²(T): f =q

nœZcn(f)en et ÎfÎ²L² =q

nœZ|cn(f)|²

A��. [�� ]

On peut reprendre l’Exemple��pour calculer les normes des applications dansL²: pouraœ J0,2ﬁK:q

nœN^ú sin(na)

n = ^ﬁ≠a₂ (première fonction) etq

nœN^ú 1

n⁴ =^ﬁ₉₀⁴(deuxième fonction).

On peut aussi calculer classiquementq

nœN^ú 1

n² = ^ﬁ₆² etq

nœN^ú 1

(2n≠1)² = ^ﬁ₈².

T��. Sif œC(T)ﬂCpm¹ (T), alors(SN(f))_NœNconverge normalement versf. E��. Contre-exemple sans l’hypothèseCpm¹ : il existe une fonctionf œC(T)telle que (SN(f)(0))NœNne converge pas (c’est un corollaire du théorème deB��-S��).

(4)

��

Références pour la théorie deF��: [SS��,QZ��].

��

Q Soitf :R≠æRtelle quefest limite uniforme de polynômes surR. Que dire def? Q Soient(Xn)nœNdes variables aléatoires (pas forcément indépendantes) de lois respectives

E(n²). Montrer queq

Xkconvergence dansL²et presque surement.

Q On posef :x≠æq

nØ1 e^≠^nx

n²+1surR+.

�) Montrer quefest bien définie et continue surR+.

�) Montrer quef estC^ŒsurR^ú+ et qu’elle est solution d’une ÉDO linéaire d’ordre�à coe�icients constants.

�) Quelle est la limite defen+Œ?

�) fest-elle dérivable en0?

Q On prend une suite(un)nœNcroissante qui tend vers+Œavecun > 0pour toutn. On s’intéresse à la somme de la série de fonctionsq

nØ1(≠1)ⁿexp(≠un.). Cette application est-elle bien définie? La somme de la série est-elle continue? Peut-on calculer la valeur de l’intégrale entre�et+Œde cette fonction?

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[BP��] M.B��et G.P��:Théorie de l’intégration. Vuibert,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Hau��] D.H��:Les contre-exemples en Mathématiques. Ellipses,�^èmeédition,��.

[QZ��] H.Q��et C.Z��:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�^èmeédition,��.

[SS��] E.S��et R.S��:Complex Analysis. Princeton University Press,��.

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