224 – Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

224 – Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

2013 – 2014

Question.

Quel outil principal utilise-t-on pour prouver le théorème des nombres pre- miers ?

Réponse.

On utilise la fonctionζ :s7→P

n≥1 1

n^s définie sur Re(s)>1, que l’on écrit sous la forme

ζ(s) =Y

p∈P

1 1−p^−s.

Question.

Donner le terme suivant dans le développement asymptotique dePn k=0

1 k = lnn+γ+o(1).

Réponse.

On écrit

n

X

k=1

1

k = lnn+γ+xn.

1

On a

x_n+1−x_n= 1 n+ 1+ ln

n n+ 1

= 1

n+ 1+ ln

1− 1 n+ 1

= 1

n+ 1− 1

n+ 1 − 1

2(n+ 1)²+o 1

(n+ 1)²

=− 1 2n² +o

1 n²

.

Par ailleurs,

+∞

X

n=N

xn+1−xn=−xN

et la série de terme général _2n¹2 est convergente donc

x_N ∼

+∞

X

n=N

1 2n² ∼

Z +∞

N

dt 2t² = 1

2N.

Question.

On pose la suiteu_n=1=u_ne^−un avecu₀>0, donner un équivalent de (u_n).

Réponse.

On posef :x7→xe^−x, on a f(R+)⊂R+.

f admet 0 comme unique point fixe. Par ailleurs,u_n+1−u_n=u_n(e^−un−1)≤ 0 donc (u_n) est décroissante et positive, donc converge vers 0.

Trouvons α tel que u^α_n+1−u^α_n ne tend pas vers 0. On prend α < 0, sinon u^α_n+1−u^α_n tend vers 0.

u^α_n+1−u^α_n =u^α_n(e^−αun−1)

=u^α_n(−αun+o(un))

=−αu^α+1_n +o(u^α+1_n ).

On poseα=−1, limn→+∞u^α_n+1−u^α_n = 1.

On en déduit, par le lemme de Césaro,

n→+∞lim 1 n

n−1

X

k=0

1 uk+1

− 1 uk

= 1

donc lim_n→+∞¹_n

1 u_n −_u¹

0

= 1, d’oùun∼ _n¹.

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