Exemples de fonctions.

Exemples de fonctions.

I Fonctions affines.

II Fonction carré.

III Fonction cubique.

IV Fonction racine carrée.

V Fonction inverse.

VI Fonction valeur absolue.

VII Sous un autre angle.

VIII Fonction sinus.

IX Fonction cosinus.

I Fonction affine : f(x)=ax+b.

Définition : Soient a et b deux réels fixés, la fonction f :

x ax b

→ + ℝ ℝ

֏

est appelée fonction affine. Le réel a est le (slope) coefficient directeur et b est (Y- intercept) l’ordonnée à l’origine de f. Quand a=0 on dit que f est (constant) constante.

Quand b=0, on dit que f est (linear) linéaire.

Etude 1. D_f =ℝ.

2. Pas de périodicité, pas de parité sauf dans les cas suivants : - Si a=0 alors f est paire.

- Si b=0 alors f est impaire.

3. Si a>0 alors f est strictement croissante.

Preuve : Soient u<v, on a f(u)-f(v)=a(u-v)>0.

Si a<0 alors f est strictement décroissante.

Preuve : Soient u<v, on a f(u)-f(v)=a(u-v)>0.

x f(x)

+∞

+∞

- ∞

- ∞

x f(x)

+∞

+∞

- ∞

- ∞

4. Si a>0 Si a<0

Théorème (6.A) (Proportionnalité des accroissements) Soit f(x)=ax+b une fonction affine, lorsque x varie d’un nombre h, alors son image f(x) varie de ah.

Démonstration : f(x+h)=a(x+h)+b=ax+b+ah=f(x)+ah.

Exemple : f(x)=3x-7.

Run and rise

II Fonction carré : f(x)=ax

.

Dans cette partie, f est une fonction de la forme f(x)=ax² avec a≠0.

Etude 1. Df =ℝ.

2. Pas de périodicité, par contre, f est paire.

En effet, f(-x)=a(-x)²=ax²=f(x).

3. Si a>0 alors f est strictement croissante sur [0 ;+∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ;0].

4. Si a>0

Si a<0 alors f est strictement décroissante sur [0 ;+∞[ et strictement croissante sur ]-∞ ;0].

Si a<0 -1

-3 2 5

x

f(x) -16 -10 -1 8

+2

+6

+3

+9

-3

-9

×3

+∞

+∞

x f(x)

- ∞ +∞

0

0

+∞

+∞

x f(x)

- ∞

- ∞

0 0

- ∞ + ∞

Tracer sur un même repère les courbes f_n(x)=nx pour n=0,5 ;1 ;2 ;3 ;4 (zoomer sur [0 ;2]) Définition : La courbe représentative d’une fonction de

la forme ax²+bx+c avec a, b et c trois réels fixés (a non-nul), s’appelle une parabole.

Remarque : La parabole est sans doute la courbe représentative la plus connue si on excepte la droite. Elle fait partie de la famille des coniques au même titre que le cercle, l’ellipse et l’hyperbole que nous verrons plus loin. Elle s’obtient comme section d’un cône par un plan non- perpendiculaire à la base mais parallèle à un des flans du cône.

C’est la courbe que l’on rencontre dans la nature quand on jette un objet soumis à l’attraction terrestre.

Ellipse :

Faire la manipulation de la lampe torche….

III Fonction cube : f(x)=x

.

Ici, f(x)=x³. Etude 1. Df =ℝ.

2. Pas de périodicité, par contre, f est impaire.

En effet, f(-x)=(-x)³=x³=f(x).

3. La fonction f est strictement croissante sur ℝ. Preuve : Soit a<b, on a

f(a)-f(b)=a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

On voit clairement que si a et b sont positifs simultanément (resp. négatifs simultanément) la différence est négative.

Donc f est strictement croissante sur

[

[

]

]

(Attention ! ici on peut rabouter les intervalles ! !)

4.

x f(x)

+∞

+∞

- ∞

- ∞

IV Fonction racine carrée : f(x)= x.

Etude

1. Df =

[

[

2. Pas de périodicité, ni de parité car le domaine de définition n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

3. Variation sur

[

[

( ) ( ) a b a b

f a f b a b a b

a b a b

+ −

− = − = − × =

+ +

Or a b− <0 car a<b, donc f(a)<f(b) donc f est strictement croissante sur

[

[

V Fonction inverse : f(x)=

x

.

Etude

4. Df =ℝ\{0}.

5. Pas de périodicité, par contre, f est impaire.

En effet, f(-x) = - f(x).

3. Si a>0 alors f est strictement décroissante sur

[

[

]

]

Si a<0 alors f est strictement croissante sur

[

[

]

]

4. Courbe représentative : Si a>0 Si a<0 +∞

+∞

x f(x)

- ∞

-∞

0 +∞

+∞

0 0

+∞

+∞

x f(x)

- ∞

-∞

0 +∞

+∞ 0

0

Définition : La courbe représentative d’une fonction de la forme a/x+b avec a et b deux réels fixés (a non-nul), s’appelle une hyperbole.

Remarque : L’hyperbole est, comme la parabole une conique.

Elle s’obtient par section d’un cône droit via un plan perpendiculaire à la base. Les deux branches viennent du fait qu’il faudrait considérer un second cône posé sur le sommet du premier.

VI Fonction valeur absolue : f(x)=|x|.

Etude 1. Df =ℝ.

2. Pas de périodicité, par contre, f est paire.

En effet, f(-x) = |-x| = |x| = f(x).

3. ↓ f est strictement croissante sur

[

[

Soient 0 a<b, on a

f(a)=|a|=a<b=|b|=f(b).

Donc f est strictement croissante sur

[

[

↓ f est strictement décroissante sur

]

]

Soient a<b 0, on a

f(a)=|a|=-a>-b=|b|=f(b).

Donc f est strictement décroissante sur

]

]

On remarque que le tableau de variation est le même que celui de f(x)=x². 4. Représentation graphique :

Remarque importante : Connaissant la courbe représentative de f, on peut tracer la courbe représentative de g=|f| en faisant la manipulation suivante : On opère une symétrie par rapport à l’axe des abscisses de la partie négative (f(x)<0) de la courbe représentative de f, tout en gardant la partie positive.

VII Sous un autre angle.

+∞

+∞

x f(x)

- ∞ +∞

0

0

VII.1 Le radian :

Devinette : Mon premier est mammifère à queue plate qui est très étroit.

Mon deuxième est mammifère à queue plate qui est très étroit.

Mon troisième est mammifère à queue plate qui est très étroit.

Mon tout est le rapport de la circonférence au diamètre.

Le radian est une unité de mesure d’angle au même titre que le degré. Son symbole est rad. On la définit comme la mesure de l’angle du cercle trigonométrique dont l’arc est de longueur 1. Si d est la mesure d’un angle en degré et r la mesure du même angle en radian, alors on a par proportionnalité :

180

d r

=π

Déterminer combien vaut 1 rad en degré à 10^-3 près et 1 degré en radian à 10^-3 près

Tableau de conversion :

Degrés 0 30 45 60 90 180 360

Radians 0

6 π

4 π

3 π

2

π _{π 2π}

Remarque : Le système sexagésimal nous vient des babyloniens qui s’intéressaient à l’astronomie. Ils avaient donc un système annuel de 12 mois et avaient remarqué que le cycle lunaire était de 29 jours. Ils lui ont préféré 30 jours ce qui donne 30×12=360. Les grecs, en revanche étaient plus intéressés par la géométrie et se sont donc concentrés sur les longeurs d’où le radian. En effet :

- Longueur de l’arc l =αR (arc of circle) - Aire du secteur

2

2 s₌αR

(sector) (AVEC α EN RADIAN ! ! ! !)

J’ai préparé un gâteau au chocolat et à la vanille pour mon pote soixante-huitard John.

Je voudrais le couper avec un seul coup de couteau comme l’illustre le dessin. Quel est l’angle α pour que le partage vanille-chocolat soit équitable?

Défi: : Le parsec : Le parsec est la distance à laquelle se trouve une étoile d’où l’on pourrait voir le rayon de l’orbite terrestre (i.e une unité astronomique) sous un angle de 1 seconde (cet angle est appelé la parallaxe de l’étoile). Evaluer le parsec en année-lumière à l’aide des données suivantes :

3600 secondes = 1 degré,

Vitesse de la lumière : 300 000km/s.

Unité astronomique : 150 000 000km On assimilera le rayon de l’orbite terrestre TP à un arc de cercle de centre l’étoile E et de

longueur 1ua.

En 2004, deux élèves sont venus me voir avec le problème suivant : On veut faire une rosace pour une chapelle de telle sorte que les 9 vitraux aient la même aire. En notant r et R les rayons respectifs du petit cercle et du grand cercle, déterminer R en fonction de r pour la condition soit satisfaite.

Un camion roule à 70km.h^-1. Chaque roue de ce camion fait 180 tours à la minute. Quelle est le rayon de la roue ?

Les rayons des cercles d’une cible sont 1, 2, 3, 4 et 5. La couronne extérieure vaut 10pts, la suivante 20pts et ainsi de suite jusqu’au disque central qui vaut 50pts. Il paraît, qu’en tirant au hasard , on a autant de chance de faire 30 pts ou plus que de faire 10pts ?

Le scribe Ahmès (Papyrus de Rhind 1650 av J.C.) : « Pour trouver l’aire d’un disque de diamètre D, il faut diminuer d’un neuvième, puis multiplier ce résultat par lui-même. »

Que vaut pi pour Ahmès ?

VII.2 Le cercle trigonométrique (unit circle).

Nous savons déjà déterminer pour un angle de [0 ;360°] le sinus et le cosinus. Notre but va être de définir ces fonctions sur tous les réels :

Le principe de base à comprendre : Enrouler une ficelle autour d’une roue. (furl function : To furl a thread round the unit circle)

Si je me donne un réel a, quelle valeur pour cos(a) ne serait pas trop farfelue ? ! Pour cela, il faut que j’associe un angle à mon réel a. On assimile la droite réelle à une ficelle de longueur infinie. On se donne l’origine que l’on attache à notre roue de rayon 1. On tourne dans les sens indiqués dit sens positif et négatif. Il arrive un moment où ma ficelle est suffisament enroulée pour que mon réel a corresponde à un point de ma roue, donc à un angle (pour éviter les confusions, cet angle sera exprimé en radian puisqu’il s’agit d’une longueur). Je n’ai plus qu’à déterminer son cosinus par la méthode classique.

(We give a priority to a direction : the counterclockwise)

On remarque un certain nombre de choses : D’une part, quand j’enroule une longueur de corde de mesure 2π, je fais exactement un tour de cercle, d’autre part, je repasse à chaque fois par des points que j’ai déjà vu ; Ainsi, les réels x+2kπ (ou k est un entier) correspondent au même angle. C’est pour cela que le cosinus et le sinus sont périodiques de période 2π. On a donc défini une fonction : Enrouleur : ℝ → Cercle unitaire

Qui nous permet d’étendre la notion de sinus et cosinus de [0 ;2π] à ℝ. Placer les points suivants sur un cercle : 31π, 18π,

2 π , 95

2 π

− , 5 4 π

− , 5 6

π , 97 3 π

Défi : 10¹²π/12.

Définition : On a implicitement utilisé un sens de parcours du cercle trigonométrique, qui est le sens positif ou direct si on se déplace dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On appelle sens négatif ou indirect le sens des aiguilles d’une montre.

Secondes formules de trigonométrie (6.B): Soit α un réel quelconque, on a cos(-α) = cos(α) et sin(-α) = -sin(α)

cos(α+2π)= cos(α) et sin(α+2π)= sin(α)

VIII Fonction cosinus : f(x)=cos(x)

Etude 1. Df =ℝ.

2. Périodicité : 2π (en effet, d’après ce qui précède, cos(x+2π)=cos(x) De plus, f est paire d’après 5.B.

On étudie donc la fonction sur [0 , π]. (On étendra l’étude sur [-π , π] par parité et sur I, R tout entier par périodicité.

3. Sens de variation sur [0, π] : On voit aisément sur le cercle trigonométrique que si 0 u<v π, alors cos(u)>cos(v). Donc f est strictement décroissante sur [0, π].

La fonction f admet 1 pour maximum, atteint en x=0+2kπ (k entier). De même, la fonction f admet –1 pour minimum atteint en x=π+2kπ (k entier)

4. La courbe : Tableau de valeurs

x 0

6 π

4 π

3 π

2

π ²

3

π ³

4

π ⁵

6

π _π

cos(x) 1 3

2

2 2

1

2 0 - 1

2 - 2

2 - 3

2 -1

échelle : prendre 5 carreaux pour unité sur (oy) et 6 carreaux pour pi sur (ox).

x f(x)

- π

-1

0 1

-1 π

Quels sont les réels tels que cos(x)= 1 2

− ? Faire un raisonnement graphique sur la courbe puis sur le cercle trigonométrique.

Quelle est la période de x֏cos(2 )x .

VIII Fonction sinus : f(x)=sin(x)

Etude 1. D_f =ℝ.

2. Périodicité : 2π (d’après 5.B, sin(x+2π)=sin(x) De plus, f est impaire d’après 5.B.

On étudie donc la fonction sur [0 , π]. (On étendra l’étude sur [-π , π] par imparité et sur I, R tout entier par périodicité.

3. Sens de variation sur [0, π] : On voit aisément sur le cercle trigonométrique que si 0 u<v

2

π , alors sin(u)<sin(v). Donc f est strictement croissante sur 0, 2 π

 

 

 

Et si 2 π _≤

u<v π, alors sin(u)>sin(v). Donc f est strictement décroissante sur , π π2

 

 

 

La fonction f admet 1 pour maximum, atteint en x=

2

π +2kπ (k entier). De même, la fonction f

admet –1 pour minimum atteint en x= - 2

π +2kπ (k entier) 4. La courbe :

Tableau de valeurs

x 0

6 π

4 π

3 π

2

π ²

3

π ³

4

π ⁵

6

π _π

sin(x) 0 1

2

2 2

3

2 1 3

2

2 2

1

2 0

One can get the graph of sine function using cosine function and the simple fact that sin(x+

2

π )=cos(x). Hence the two curves are 2

π out of phase. Complete and figure it out.

f(x)

2 π 2

π x - π −

-1

0

1

π

0

0 0

Quels sont les réels tels que sin(x)= 3 2

− ? Faire un raisonnement graphique et un cercle trigonométrique.

Quelle est la période de sin(2x+1).