Chapitre 4 Nombres complexes Leçon 12

(1)

4. NOMBRES COMPLEXES-L3 | 130

Chapitre 4 Nombres complexes

Leçon 12 Forme algébrique d’un nombre complexe

1. Définition

- Un nombre complexe s’écrit sous forme a+bi, où a et b sont deux nombres réels et i est un nombre tel que i² =−1. Cete écriture est appelée forme

algébrique du nombre complexe.

. i est unité imaginaire . a est la partie réelle . b est la partie imaginaire

- L’ensemble des nombre complexe est noté par C :



⁺ ^/ ^, ^^^, ² ⁼⁻¹



= a bi a b i C

Cas particuliers

. Si a=0, z=bi, on dit que z est un imaginaire pur . Si b=0, z=a, on dit que z est un réel.

Donc un nombre réel est considéré comme un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.

. Si a=0 et b=0, z=0, on dit que z est simultanément réel et imaginaire.

Exemple 1 :

1) z =5+i 2 est un nombre complexe dont : . la partie réelle est 5

. la partie imaginaire est 2

2) z i

5 3 2 1−

= est un nombre complexe dont : . la partie réelle est

2 1

. la partie imaginaire est

5

−3

3) z=−i est un nombre complexe dont : . la partie réelle est 0

. la partie imaginaire est −1

4) z =7 est un nombre complexe dont : . la partie réelle est 7

5) z =0 est un nombre complexe dont : . la partie réelle est 0

(2)

2. Puissance de i En calculant :

i i i i i

i i i

−

=



=

−

=

2 3 2 1 0

1 1

i i i i i

i i i i

i i i

−

=



−

=



=

−

=



=



=



=



=

1 1 1

6 7

5 6

4 5

2 2 4

On peut conclure :

i i

i i i i

k k k k

−

=

−

=

+ + +

3 4

2 4

1 4 4

1 1

Exemple 2 : Calculer : i²⁵ , i¹⁰² , i²⁵⁵ , i²⁰¹⁶ , 5i²⁰²⁰

Solution :

. i²⁵=i⁴^⁶⁺¹=i ou ⁱ²⁵⁼

( )

ⁱ² ¹²^ⁱ⁼¹^ⁱ⁼ⁱ

. i¹⁰² =i⁴^²⁵⁺² =−1 ou ⁱ¹⁰² ⁼

( )

ⁱ² ⁶¹⁼⁻¹

. i²⁵⁵ =i⁴^⁶³⁺³=−i ou ⁱ²⁵⁵ ⁼

( )

ⁱ² ¹²⁷^ⁱ⁼⁻ⁱ

. i²⁰¹⁶ =i⁴^⁵⁰⁴ =1 ou ⁱ²⁰¹⁶ ⁼

( )

ⁱ² ¹⁰⁰⁸ ⁼¹

. 5i²⁰²⁰ =5i⁴^⁵⁰⁵ =51=5 ou ⁵ⁱ²⁰¹⁶ ⁼⁵

( )

ⁱ² ¹⁰⁰⁸ ⁼⁵^¹⁼⁵

3. Égalité de deux complexes

On dit que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales, c’est-à-dire :

Soit z₁=a₁+b₁i et z₂ =a₂ +b₂i

2 1 2

1 z a a

z =  = et b1 =b2

Exemple : Soit z₁ =x+5i et z₂ =8+yi

2 8

1 =z x=

z et y=5

4. Représentation graphique

- Le plan muni du repère orthonormal direct

(

O;e1,e2

)

est appelé plan complexe : . l’axe

( )

Ox est appelé l’axe réel

. l’axe

( )

Oy est appelé l’axe imaginaire

- z =x+ yi , x,y est représenté par le point M

( )

x,y . On écrit aussi M

(

x+yi

)

ou ^M

( )

^z .

(3)

- On dit que M est l’image de z, que z est l’affixe du point M ou du vecteur u

(

x,y

)

.

- Sur la figure ci-contre, les points O, A,B,C,D,E,F ont pour affixe respectives 0;1; i, −2; −2i;1+2i; 2−i.

Conséquence immédiate :

. Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même affixe.

. Deux points sont confondus si et seulement s’ils ont la même affixe.

2 -1

-2

2

-1 -2

0 1

1

x y

O A

B

C

D E

F

5. Opérations

1) Addition de deux complexes

La somme de deux complexes est un complexe.

(

a bi

) (

a b i

) (

a b

) (

a b

)

i z

z₁+ ₂ = ₁+ ₁ + ₂+ ₂ = ₁+ ₁ + ₂ + ₂

Exemple : 1)

(

2+i

) (

+ 1−5i

)

=3−4i

2)

(

3+3i

) (

+ 1−3i

)

=4

3)

(

1+3i

) (

+ −1−2i

)

=i

Propriété

.

(

z1+z2

)

+z3=z1+

(

z2+z3

)

. z1+z2 =z2+z1

. z+0=0+z= z

. z+

( ) ( )

−z = −z +z=0, −z est appelé opposé de z. Exemple : l’opposé de z=4−7i est −z=−4+7i

2) Soustraction de deux complexes

La différence de deux complexes est un complexe.

(4)

(

a bi

) (

a bi

) (

a b

) (

a b

)

i z

z₁− ₂ = ₁ + ₁ − ₂ + ₂ = ₁ − ₁ + ₂ − ₂

Exemple : 1)

(

2+i

) (

− 1−5i

)

=1+6i

2)

(

3+3i

) (

− 1+3i

)

=2

3)

(

1+3ⁱ

) (

− 1+2ⁱ

)

=ⁱ

➢ Représentation géométrique d’un nombre complexe Point image, vecteur image

Définition

Le plan étant rappoeté à un repère orthonormal

(

O u v

)

,

; , tout nombre complexe z=a+bi est associé :

. soit au point M de coordonnées

( )

a,b

. soit au vecteur OM de coordonnées

( )

^a^,^b On dit alors que :

. z=a+bi est l’affixe du point M

( )

a,b ou du vecteur OM

( )

a,b

. Le point ^M

( )

^a^,^b est le point image du nombre complexe z=a+bi

. Le vecteur OM

( )

a,b est le vecteur image du nombre complexe z=a+bi

Image d’une somme, d’une différence Soit z₁=a₁+b₁i et z₂ =a₂ +b₂i

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal

(

O u v

)

,

; , z1 a pour image le vecteur OM1

(

a1,b1

)

et z2 le vecteur OM2

(

a2,b2

)

.

Alors :

. z₁+z₂ =

(

a₁+b₁

) (

+ a₂ +b₂

)

i a pour image le vecteur de coordonnées

(

a₁ +a₂; b₁+b₂

)

. z₁−z₂ =

(

a₁−b₁

) (

+ a₂−b₂

)

i a pour image le vecteur de coordonnées

(

a₁−a₂;b₁−b₂

)

Exemple :

. Le vecteur ^OM

( )

¹^,³ est le vecteur image du nombre complexe z=1+3i

. Le vecteur OM'

( )

2,1 est le vecteur image du nombre complexe z'=2+i

. Le vecteur ^OP

( )

³^,⁴ est le vecteur image du nombre complexe z+z'=3+4i

. Le vecteur ^OQ

(

⁻¹^,²

)

est le vecteur image du nombre complexe z−z'=−1+2i

(5)

4. NOMBRES COMPLEXES-L3 | 134 P(3,4)

M'(2,1) M(1,3)

Q(1,-2)

2 3 4

-1 -2

2 3 4

-1 -2 -3

0 1

1

x y

3) Produit de deux nombres complexes

Le produit de deux complexes est un complexe.

(

a bi

) (

a b i

)

z

z₁ ₂ = ₁+ ₁  ₂ + ₂

2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 z aa abi a bi bbi

z  = + + +

1 , ²

2 1 1 2 2 1 2 1 2

1z =aa +abi+abi−bb i =− z

(

^a^a ^b^b

) (

^a^b ^a ^b

)

ⁱ

z

z₁ ₂ = ₁ ₂ − ₁ ₂ + ₁ ₂ + ₂ ₁

Exemple : 1)

(

2−i

) (

 1+2i

) (

= 2+2

) (

+ 4−1

)

i=4+3i

2)

(

2+i

) (

 2−i

) (

= 4+1

) (

+ −2+2

)

i=5

3)

(

2+i

) (

1+2i

) (

= 2−2

) (

+ 4+1

)

i=5i

Propriété

Soit trois complexes z₁, z₂ et z₃. . z₁z₂ =z₂z₁

.

(

z₁z₂

)

z₃=z₁

(

z₂z₃

)

. 1z₁ = z₁1

. ^z₁^

(

^z₁⁺^z₂

)

^^z₃⁼^z₁^^z₂⁺^z₁^^z₃

Exemple : Calculer :

(

3−2i

) (

 2−i

) (

 1+4i

)

.

( ) ( ) ( ) ( ) (  ) ( ) 

( ) ( )

( )

i

i i i

i i

i i i i

i i

9 32

14 12 21 18

7 6 2 3

4 8

2 2 3

4 1 2 2 3 4 1 2 2 3

2 2

+

=

−

− +

=

+



−

=

−

− +



−

=

+



−

= +



−



−

(6)

➢ Conjugué d’un nombre complexe Définition

Soit le nombre complexe z=a+bi. On appelle conjugué de z, et on note z, le nombre z=a−bi.

Remarque

Les nombres z et z sont symétriques par rapport à l’axe réel.

Exemple : 1) z=3+2iz=3+2i=3−2i

2) z=−5−i 3z=−3+i 3

3) z=3i−7z =−3i−7

4) z=−2iz =2i

5) z=8z=8

Propriété . z=z

. z₁z₂ =z₁z₂

. z₁z₂ =z₁z₂

.

2 1 2 1

z z z z =

 





. zz =a²+b²

Exemple : Calculer z₁z₂ sachant que z₁z₂ =8−10i

Solution

. z₁z₂ =8−10iz₁z₂ =8−10i i z

z z z z

z₁ ₂ = ₁ ₂ = ₁ ₂ =8+10

4) Quotient de deux nombres complexes

Pour effectuer le quotient de deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Soit z₁=a₁+b₁i et z₂ =a₂ +b₂i, z₂ 0 i

b a

i b a z z

2 2

1 1 2 1

+

= +

( )( )

2²

2 2

2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2

2 2 1 1 2 1

b a

i b b b a i b a a a i b a i b a

i b a i b a z z

+

− +

= −

− +

−

= +

b i a

b a b a b a

b b a a z z

2 2 2 2

2 1 1 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

+ + − +

= +

Théorème

Tout nombre complexe non nul z=a+bi,(a,b) admet un inverse de z,

(7)

et on note z⁻¹, le nombre

z⁻1 = 1z. C’est-à-dire zz⁻¹=1. Exemple :

1)

( )( )

5

2 5 11 5

2 11 4

3 6 4 8 2

2 2 3 4 2

3 4

2

2 i i

i i i i i

i i i i

i = + = +

−

− +

= −

− +

−

= + + +

2)

( )( )

(

²² ²²

)(

²² ²²

)

² ⁴² ⁴² ⁴ ² ⁶⁴ ² ¹ ³² ² ³¹ ²³²

2 2

i i i

i i

i

i =− + =− + =− +

− +

= + +

−

+

= +

− +

5) Racine carrée d’un nombre complexe Soit z=a+bi,(a,b)

En posant a+bi=x+yi/ x, y, on a :

(

^a⁺^bi

)

² ⁼

⁽

^x⁺^yi

⁾

²

( )

²

2 2xyi yi

x bi

a+ = + +

( ) ( )





=

 − +

−

=

+ 2 2

2 1

2 2 2

2

b xy

a y xyi x

y x bi a

( )



( )





=

= +

 −





=

−

4 4

3 2

2 ² ² ²

2 4 2 2 2 4

2

b y x

a y y x x b

xy

a y x

( ) ( )

3 + 4 x⁴+2x²y² +y⁴ =a² +b²



(

x² + y²

)

² =a² +b² x² +y² = a² +b²

( )

5

D’après

( )

¹ et

( )

⁵ , on obtient donc :

( )



( )





+

= +

=

−

5 1

2 2 2 2

2 2

b a y x

a y x

( ) ( ) ( ) ( )











−

 +

=

+

 +

=

 





− +

=

−

+ +

=

= +

2 2 2

1 5

2 5 1

2 2

2 2 2

a b y a

a b x a

a b a y

b a a x

On obtient bien donc :

. _^









 + + + + −



=

+ 2 2

2 2 2

2 a b a

a i b bi a

a

. _^









 + + − + −



=

− 2 2

2 2 2

2 a b a

a i b bi a

a

Exemples :

1) _^









 + + + + −



=

+ 2

5 12 5 2

5 12 12 5

5

2 2 2

2

i i

(8)







 + + −



=











 + + −



=

+ 2

5 13 2

5 169 2

5 12 169

5 i i i

(

ⁱ

) (

ⁱ

)

i 9 4 3 2

12

5+ = + = +

2)

( ) ( )















 − + −

− + +

 −

=

− 2

13 0 13 2

13 0 13 13

2 2 2 2

i

13 2 13

0 2

13 13 2

13

13 13 i i =i



 

 +



=







 +

− +



=

−

3)

( ) ( )















 + − −

+ +

−

 +

=

− 2

0 2 0

2

0 2 2 0

2 2 2 2

i i

( )

i i

i = −







 −



=

− 1

2 2 2 2 2

4)

( ) ( )















 + − −

+ +

−

 +

=

− 2

3 4 3

2

3 4 4 3

3

2 2 2 2

i i







 −

+ −



=











 + −

+ +

 +

=

− 2

2 5 2

3 5 2

3 16 9 2

3 16 4 9

3 i i i

(

ⁱ

) ⁽

ⁱ

⁾

i = − = −

−4 4 1 2

3

6. Équation algébrique dans C

Exemples : Résoudre dans C les équations.

1)

(

2+3i

)

x=x−1

(

2+3i

)

x−x=−1

1 3

2x+ ix−x=− x+ ix=−

( ) ( )( )

1

( )

3 ¹¹ ³⁹ ¹⁰¹ ¹⁰³

3 1 3

1 3 1

3 1 3

1 1 1

3

1 ₂ i i

i i i

i i x i

i

x =− +

+

− −

− =

− −

− = +

− − + =

−

=



−

= +

2) i

x i i

i

+ +

= −

− +

2 3 1 1

2

( )( )

( )( ) ( )( )

(

i

)(

i

)

i x i

i i

− +

= − +

− + +

2 2

2 3 1 1

1 1 2

5 7 1 2

3 1 4

3 6 2 1

1 2 2

2 2 2

x i i i

i i x i

i i

i +

+ =

− 

− + +

=−

−

− + +

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

(

¹ ⁹

)

²

⁽

²²⁵ ¹⁰⁴

⁾

5

21 7 3 1 2 3 1 3 1 5

3 1 7 1 2 3 1 5

7 1 2

2 2



= +

−

− +

= −

− +

−

= + +

= + i

i i i i i

i i i i

x i

i i

x 25

4 25 22 5

5 4

22 = +



= +

3) x²−4x+13=0

(9)

4. NOMBRES COMPLEXES-L3 | 138 9 2

9 13 4

'= − =− = i



i i

x₁ =2− 9 ² =2−3 et x₂ =2+ 9i² =2+3i

4) 2x²−ix+1=0

( )

−ⁱ ²−⁸=ⁱ²−⁸=−¹−⁸=−⁹=⁹ⁱ²

=



2 4 2 4

3 4

9 ²

1

i i i i i

x =i− = − =− =−

i i i i i

x i + = =

+ =

= 4

4 4

3 4

9 ²

2

5) x²+

(

−2+i

)

x−2i=0

(

−2+i

)

² −4

( )

−2i =4−4i+i²+8i=4+4i+i² =

(

2+i

)

²

=



( ) ( )

i i i

i i

x −i− + = − − + =− =−

= 2

2 2

2 2 2

2

2 ²

1

( ) ( )

2 2 4 2

2 2

2 ²

2 − + + = =

+ = +

= −i i i i

x

6) 4x²−2x−i 3=0

( )

³ ¹ ⁴ ³

4 1

'= − −i = + i



( ) ( )















 + −

+ +

 +

= +

=

 2

1 3 4 1 2

1 3 4 3 1

4 1 '

2 2

i i











 + −

+ +

 +

=

 2

1 48 1 2

1 48

' 1 i

(

² ³

)

2 1 7 2

1 7 2

1 48 1 2

1 48

' 1 i i = +i





 + + −



=











 + + + + −



=



(

¹ ³

)

4 1 4

3 1 4

3 2 1

1 i i i

x = − − =− − =− +

(

³ ³

)

4 1 4

3 3 4

3 2 1

1 i i i

x + = +

+ =

= +