G271. Machines à sous * à *****
Le mode de fonctionnement des machines à sous du casino de Diophantopolis est très simple.
Après avoir introduit une mise de 3€, le joueur appuie sur deux touches qui lui permettent de choisir respectivement un entier n compris entre 3 et 10 et un entier d inférieur ou égal à n.
La machine affiche alors un nombre entier aléatoire qui comporte n chiffres et ne commence jamais par un zéro.
Le joueur gagne la partie si le nombre contient exactement d chiffres distincts et récupère alors une certaine somme s en €.
Q1 Pour commencer le joueur A choisit avec sa machine les options n1 = 4 et d1 = 4. A chaque gain, il récupère s = 6€.
Le joueur B de son côté choisit avec sa machine un certain entier n2 et d2 = n2. En cas de gain, il récupère s = 10€.
Enfin le joueur C choisit avec sa machine un certain entier n3 et d3 = n3. En cas de gain, il récupère un jackpot s de 50€.
Les espérances de gain/perte des trois amis sont identiques.
A l'issue de 100 parties, quelles sont leurs probabilités respectives de ne pas perdre d'argent?
Q2 Ensuite A choisit avec sa machine les options :
n1 = 6 et d1 = 4, B: n2 = 7 et d2 = 6 et C : n3 = 8 et d3 = 5.
A chaque gain, chacun récupère la même somme s = 9€.
A l'issue de 100 parties, quel est celui qui a le plus de chances de ne pas perdre d'argent?
Solution de Paul Voyer
Q1
On a nécessairement di ≤ ni.
A tire un nombre de 4 chiffres ne commençant pas par un zéro.
Il existe 9000 de ces nombres.
A gagne si le nombre tiré a exactement 4 chiffres distincts.
Il existe 4536 = 9*9*8*7 =
! 6
! 9
*
9 de ces nombres.
L'espérance de gain de A est €
125 3 3 9000
4536
*
6 = 0.024€.
Un casino où l'espérance de gain est positive !
La distribution d'espérance de gain après 100 parties est gaussienne de moyenne 2.4 et d'écart- type 30.
La probabilité de non-perte pour A au bout de 100 parties est 0.532 . (formule EXCEL LOI.NORMALE)
B tire un nombre de n2 chiffres distincts ne commençant pas par un zéro.
Il existe 9*10n2-1 de ces nombres.
B gagne si le nombre tiré a exactement d2 chiffres distincts.
Il existe
9 1
!! 9
* 9
2
d de ces nombres.
L'espérance de gain est
9 1
! 310
* 9
! 9
* 9
* 10
2
2
d
n et doit valoir 3/125.
n2 = d2 = 4.
La distribution d'espérance de gain après 100 parties est gaussienne de moyenne 2.4 et d'écart- type 45.8.
La probabilité de non-perte pour B au bout de 100 parties est 0.521 . C tire un nombre de n3 chiffres distincts ne commençant pas par un zéro.
Il existe 9*10 n3-1 de ces nombres.
C gagne si le nombre tiré a exactement d3 chiffres distincts.
Il existe
9 1
!! 9
* 9
3
d de ces nombres.
L'espérance de gain est
9 1
! 310
* 9
! 9
* 9
* 50
3
3 1
n d et doit valoir 3/125.
n3 = d3 = 7.
La distribution d'espérance de gain après 100 parties est gaussienne de moyenne 2.4 et d'écart- type 122.5.
La probabilité de non-perte pour C au bout de 100 parties est 0.508 . Q2
A tire un nombre de n1=6 chiffres ne commençant pas par un zéro.
Il existe 9*10n1-1 = 9*105 de ces nombres.
Il gagne si le nombre tiré a exactement d1=4 chiffres distincts.
Le nombre de configurations possibles est 294 840.
L'espérance de gain est 3 0.0516 10
* 9
840 294
* 9
5 .
Pour B, le nombre de configurations est 2 857 680.
L'espérance de gain est 3 0.14232 10
* 9
680 857 2
* 9
6
Pour C, le nombre de configurations est 28 576 800.
L'espérance de gain est la même que celle de B, soit -0.14232.
L'écart type étant pratiquement le même,
c'est A qui a le plus de chances de ne pas perdre d'argent après 100 parties.
