Le mode de fonctionnement des machines à sous du casino de Diophantopolis est très simple. Après avoir introduit une mise de 3€, le joueur appuie sur deux touches qui lui permettent de choisir respectivement un entier n compris entre 3 et 10 et un entier d inférieur ou égal à n. La machine affiche alors un nombre entier aléatoire qui comporte n chiffres et ne commence jamais par un zéro.
Le joueur gagne la partie si le nombre contient exactement d chiffres distincts et récupère alors une certaine somme s en €.
Q₁ Pour commencer le joueur A choisit avec sa machine les options n₁ = 4 et d₁ = 4. A chaque gain,il récupère s = 6€. Le joueur B de son côté choisit avec sa machine un certain entier n₂ et d₂
= n₂. En cas de gain, il récupère s =10€. Enfin le joueur C choisit avec sa machine un certain entier n₃ et d₃ = n₃. En cas de gain, il récupère un jackpot s de 50€ . Les espérances de gain/perte des trois amis sont identiques. A l'issue de 100 parties, quelles sont leurs probabilités respectives de ne pas perdre d'argent?
Q₂ Ensuite A choisit avec sa machine les options : n₁ = 6 et d₁ = 4, B: n₂ = 7 et d₂ = 6 et C : n₃ = 8 et d₃ = 5. A chaque gain, chacun récupère la même somme s = 9€.A l'issue de 100 parties, quel est celui qui a le plus de chances de ne pas perdre d'argent?
La machine affiche un nombre aléatoire compris entre 10n-1 et 10n-1 : il y a donc N=9*10n-1 tirages possibles.
Q1 Dans le cas où d=n, le nombre de tirages favorables est M=9*9!/(10-n)! (nombres avec tous les chiffres distincts ne commençant pas par 0).
Pour n=4, p=M/N=9*8*7/103 =63/125 ; de même, pour n=5, 6 et 7, M/N évolue dans le rapport 6/10, 6/20 et 6/50 : les espérances de gain de B et C étant identiques à celles de A, c’est donc que n2=5 ( p=M/N=189/625) et n3=7 (p=M/N=189/3125).
Pour ne pas perdre d’argent, A doit gagner au moins 50 fois, B 30 fois et C 6fois.
La probabilité de gagner exactement k fois étant C100kpk(1-p)100-k, on trouve à l’aide d’un tableur des probabilités respectives de 57,15%, 55,84% et 56,72% , les écarts étant essentiellement dus au caractère discret de la loi de probabilité.
Q2 Avec d chiffres distincts, on peut composer S(n, d)*d! nombres de n chiffres, où S(n, d) est le nombre de Stirling de 2ème espèce, qui obéit à la relation de récurrence S(n,d)=S(n-1, d-1)+d S(n-1,d), avec S(n,n)=S(n,1)=1 (en effet, le nième chiffre est soit distinct des n-1 précédents, soit l’un des d distincts)
Ici S(6,4)=65, S(7,6)=21, S(8, 5)=1050 ; donc pour A, p=9*8*7*65/105= 32,76%, pour B, 9*8*7*6*5*21/106= 31,752%, pour C, 9*8*7*6*1050/107=31,752%
Chacun doit gagner au moins 34 parties pour ne pas perdre d’argent : la probabilité est donc de 43,26% pour A et de 34,96% pour B et C.
