Enoncé G271 (Diophante) Machines à sous
Le mode de fonctionnement des machines à sous du casino de Diophanto- polis est très simple.Après avoir introduit une mise de 3€, le joueur appuie sur deux touches qui lui permettent de choisir respectivement un entier n compris entre 3 et 10 et un entier d inférieur ou égal à n. La machine affiche alors un nombre entier aléatoire qui comportenchiffres et ne com- mence jamais par un zéro.Le joueur gagne la partie si le nombre contient exactement dchiffres distincts et récupère alors une certaine somme sen
€.
Q1 Pour commencer le joueur A choisit avec sa machine les optionsn1= 4 et d1 = 4. A chaque gain, il récupère s = 6€. Le joueur B de son côté choisit avec sa machine un certain entier n2 etd2 = n2. En cas de gain, il récupère s= 10€. Enfin le joueur C choisit avec sa machine un certain entier n3 etd3 =n3. En cas de gain, il récupère un jackpots de 50€.
Les espérances de gain/perte des trois amis sont identiques. A l’issue de 100 parties, quelles sont leurs probabilités respectives de ne pas perdre d’argent ?
Q2 Ensuite A choisit avec sa machine les options : n1 = 6 et d1 = 4, B : n2 = 7 etd2= 6 et C : n3 = 8 etd3 = 5. A chaque gain, chacun récupère la même somme s= 9€.
A l’issue de 100 parties, quel est celui qui a le plus de chances de ne pas perdre d’argent ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Quand d=n, les choix conduisant au gain sont 9 pour le premier chiffre, 9 pour le deuxième, 8 pour le troisième, et ainsi de suite de diminuant jusqu’à 11−n pour len-ième. Le nombre total des possibilités produites aléatoirement est celui des nombres denchiffres, soit 9·10n−1. La proba- bilité de gain est ainsi (0,9)(0,8)· · ·(1,1−n/10).
Le tableau donne en deuxième colonne les probabilités de gain ; la troisième coolonne donne l’espérance du joueur A, et l’égalité des espérances montre quen2 =d2 = 5,n3 =d3= 7.
n=d p sp k Pr{≥k}
3 0,72
4 0,504 3,024 50 0,5714 5 0,3024 3,024 30 0,5636
6 0,1512
7 0,06048 3,024 6 0,5672 8 0,018144
9 0,0036288 10 0,00036288
Pour 100 parties, chacun mise 300€, et pour ne pas perdre d’argent chacun doit gagner au moins le nombrek de parties figurant en 4e colonne.
La probabilité de ces événements est donnée par la loi binômiale
100
X
k
C100m pm(1−p)100−m.
Pour A et B, je recours à l’approximation par la loi normale.
Pour A, la variable continue remplaçant le nombre de gains va de 49.5 à +∞, avec une espérance 100p= 50,4 et un écart-typeσ=p100p(1−p) = 4,9984 ; la variable réduite est −0,9/σ =−0,18, valeur dépassée avec la probabilité 0,5714.
Pour B, la variable continue remplaçant le nombre de gains va de 29.5 à +∞, avec une espérance 100p = 30,24 et un écart-type σ = p100p(1−p) = 4,593 ; la variable réduite est −0,74/σ = −0,16, valeur dépassée avec la probabilité 0,5636.
Pour C, la probabilité complémentaire est
5
X
0
C100m pm(1−p)100−m. Le calcul sur tableur donne 0,43277 d’où 0,5672 comme probabilité de non-perte.
Question 2
Je considère les nombres de x+y chiffres avec x chiffres distincts. Leur dernier chiffre peut être un chiffre déjà apparu (xpossibilités à partir des nombres caractérisés par le couple (x, y−1)), ou un nouveau chiffre (11−x possibilités à partir des nombres caractérisés par le couple (x−1, y)).
Le premier chiffre correspond au couple (1,0) avec 9 possibilités, et les nombres dex+y chiffres sont 9·10x+y−1.
Cela permet d’évaluer la probabilité de chaque couple (x, y) par la relation f(x, y) = (x/10)f(x, y−1) + (1,1−x/10)f(x−1, y). On établit ainsi le tableau suivant, avec f(x, y) en ligne x et colonne y. La colonne y = 0 reprend le résultat de la question 1.
0 1 2 3
1 1 0 0 0
2 0,9 0,1 0,01 0,001
3 0,72 0,432 0,18 0,0648
4 0,504 0,504 0,3276 0,1764 5 0,3024 0,4536 0,42336 0,31752 6 0,1512 0,31752 0,402192 0,4000752 7 0,06048 0,169344 0,2794176 0,3556224 8 0,018144 0,0653184 0,13608 0,21555072
Les couples (4,2), (6,1) et (5,3) correspondant aux choix des joueurs donnent pour probabilités de gain d’une partie 0,3276 à A, 0,31752 à B et C. Il faut au moins 34 parties gagnées pour ne pas perdre d’argent en ayant misé 300€ pour 100 parties.
L’approximation par la loi normale retient 33,5 < z < +∞ comme intervalle pour la variable continue d’espérance 100p et d’écart-type p100p(1−p).
La variable réduite est 33,5−100p
p100p(1−p) et prend les valeurs 0,1577 pour A, 0,3755 pour B et C. Il y correspond des probabilités de dépassement 0,437 pour A, 0,317 pour B et C, toutes inférieures à 1/2. Remarquons à ce propos que les espérances de gain à chaque partie sont inférieures aux 3€
de la mise.
