TS9 DS 3 8 janvier 2019 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Sur le PGCD (15 minutes) (6 points)
1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD des nombres suivants : 4935 et 517 2. Montrer que pour tout entier natureln la fraction 3n+ 10
n+ 3 est ´ecrite sous forme irr´eductible.
3. D´eterminer deux entiersaetbayant pour PGCD 12 et pour lesquels l’algorithme d’Euclide comporte exactement six divisions.
Solution:
1. 4935 = 9×517 + 282 517 = 282 + 235 282 = 235 + 47 235 = 5×47 + 0.
Le PGCD est donc 47.
2. Pour tout entier natureln, 3n+ 10 = 3×(n+ 3) + 1 etn+ 3 = 1×(n+ 3) + 0. DoncP GCD(3n+ 10, n+ 3) = 1 donc les nombres sont premiers entre eux.
3. On part de la fin de l’algorithme d’Euclide en ajoutant des quotients quelconques (le premier diff´erent de 1).
24 = 12×2 + 0 36 = 24 + 12 60 = 36 + 24 96 = 60 + 36 156 = 96 + 60 252 = 156 + 96.
Les nombres 252 et 156 r´epondent `a la question.
Exercice 2 : Des matrices (45 minutes) (14 points)
On consid`ere la suite (un) d´efinie par u0 = 3, u1 = 8 et, pour tout nsup´erieur ou ´egal `a 0 : un+2= 5un+1−6un.
1. Calculer u2 etu3.
2. Pour tout entier naturel n>2, on souhaite calculer un `a l’aide de l’algorithme suivant : a←3
b←8
Pour iallant de 2 `an c←a
a←. . . b←. . . Fin Pour
(a) Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointill´es et les compl´eter.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15
un 4 502 13 378 39 878 119 122 356 342 1 066 978 3 196 838 9 582 322 28 730 582
(b) Quelle conjecture peut-on ´emettre concernant la monotonie et la limite de la suite (un) ? 3. Pour tout entier naturel n, on noteCn la matrice colonne
un+1 un
.
On note Ala matrice carr´ee d’ordre 2 telle que, pour tout entier natureln,
TS9 DS 3 Page 2 sur 2 Cn+1 =ACn.
D´eterminerA et prouver que, pour tout entier naturel n, Cn=AnC0. 4. Soient P =
2 3 1 1
, D =
2 0 0 3
etQ=
−1 3 1 −2
. Calculer QP.
On admet que A=P DQ.
D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel non nul n, An=P DnQ.
5. On admet que pour tout entier natureln, Dn=
2n 0 0 3n
. (a) En d´eduire une expression de An en fonction de n (b) En d´eduire une expression de unen fonction de n.
(c) D´eterminer la limite de (un) Solution:
1. u2 = 5u1−6u0= 40−18 = 22 u3 = 5u2−6u1= 110−48 = 62
2. (a) aprend la valeur b etbprend la valeur 5a−6c (b) La suite semble ˆetre croissante et tendre vers l’infini.
3. A=
5 −6
1 0
Prouvons par r´ecurrence queCn=AnC0.
Initialisation : c’est vrai pour n= 0, car A0 est la matrice identit´e.
H´er´edit´e : soitn∈N, tel que Cn=AnC0, alorsCn+1 =ACn=A(AnC0) = A×AnC0=An+1C0.
En conclusion,C0=A0C0et si pourn∈N, Cn=AnC0 alorsCn+1An+1C0; on a donc d´emontr´e par le principe de r´ecurrence que pour tout naturel n, Cn=AnC0.
4. QP =
−1 3 1 −2
2 3 1 1
=
−2 + 3 −3 + 3 2−2 3−2
=
1 0 0 1
5. Initialisation : c’est trivialement vrai pour n= 1.
H´er´edit´e : soit∈N, n>0 tel que An=P DnQ, alors :
An+1 =An×A=P DnQ(P DQ) =P Dn(QP)DQ=P DnDQ=P Dn+1Q.
La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie `a un rangnau moins ´egal `a 1, elle est vraie au rang suivant. On a donc d´emontr´e par le principe de r´ecurrence que pour tout entier natureln, non nul An=P DnQ.
6. (a) Puisque An=P DnQ On a An=
2 3 1 1
·
2n 0 0 3n
·
−1 3 1 −2
=
−2n+1+ 3n+1 3×2n+1−2×3n+1
−2n+ 3n 3×2n−2×3n
. (b) Puisque Cn=AnC0, on obtiendra un comme la somme :
un= 8(−2n+ 3n) + 3(3×2n−2×3n) =−8×2n+ 8×3n+ 9×2n−6×3n= 2n+ 2×3n. (c) Les deux suites de terme g´en´eral 2n et 3n ayant pour limite +∞, il en r´esulte que la suite
(un) n’a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu’elle diverge vers +∞).
