TSI 1 DM Lycée Les Lombards
DM de maths
Exercice 1On note pour tout entier natureln:In= Z π2
0
tncos(t)dt etJn = Z π2
0
tnsin(t)dt 1. CalculerI0 etJ0.
2. En effectuant des intégrations par parties , montrer que pour tout entier naturelnon a : In+1= π2n+1
−(n+ 1)Jn et Jn+1= (n+ 1)In
3. En déduireI1, J1, I2 etJ2.
Exercice 2Soitx∈]−1,1[ et f définie par :
f(x) = Z x
0
t2
√1−t2dt
Calculerf(x) en effectuant le changement de variable :t= sinu, etu∈]−π2,π2[
Exercice 3SoitA=
0 1 0 0 0 1 0 0 0
1. (a) CalculerA2 et A3
(b) En déduireAn pour tout entier natureln≥3
2. Dans cette question,M désigne un matrice carré d’ordre 3 qui commute avecA. On poseM =
a b c u v w x y z
(a) Montrer queM est de la formeaI3+bA+cA2
(b) En déduire que l’on aM2=a2I3+ 2abA+ (b2+ 2ac)A2 (c) Ecrire explicitement la matriceM2 en fonction dea,bet c.
3. On se propose de montrer qu’il n’existe aucune matrice N, carrée d’ordre 3, telle queN2=A (a) Montrer que si une telle matriceN existait, alors elle vérifieraitAN =N A
(b) En utilisant la question 2, en déduire qu’il n’existe pas de matrice telle queN2=A
4. L’objectif de cette question est de trouver les matrices P carrées d’ordre 3 vérifiantP A=P−A (a) Justifier que la matriceI3−Aest inversible
(b) Développer le produit (I3−A)(I3+A+A2) et en déduire l’inverse de la matriceI3−Aen fonction deI3, AetA2
(c) SoitP une matrice vérifiantP A=P−A. Montrer queP =A(I3−A)−1 et en déduire l’expression deP en fonction deA etA2.
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