Enoncé E572 (Diophante) Un club de logiciens
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement. Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont distincts, et inversement.
Prouver
a– qu’il existe un membre qui connaît 62 autres membres du club.
b– que si le club recrute un 2017ième membre, il existera même un membre qui en connaîtra 63 autres.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Groupons les membres par le nombre de leurs connaissances. Les membres qui ont d connaissances se connaissent entre eux, ne connaissent personne d’autre, et sont au nombre ded+ 1.
Dans le graphe où les sommets sont les membres et les arêtes joignent ceux qui se connaissent, les composantes connexes sont des cliques disjointes de cardinaux distincts. Il peut y avoir un membre isolé, qui ne connaît personne, le seul dans ce cas (d = 0), une paire de membres qui se connaissent mais ne connaissent personne d’autre (d= 1), etc.
Le nombre de membres est ainsi la somme d’entiers distincts (les cardinaux des cliques).
Question a : Si aucun membre n’en connaît 62 ou davantage, la plus grande clique n’a pas 63 sommets et le nombre maximum de membres est 1 + 2 +. . .+ 62 = 1953 ; puisqu’il y a 2016 membres, il y a une clique de 63 sommets au moins, dont chaque membre connaît tous les autres, au nombre de 62 au moins.
Question b : Si la plus grande clique n’avait que 63 sommets, le nombre maximum de membres serait 1953 + 63 = 2016 ; ce n’est pas possible s’il y a 2017 membres, et il existe une clique de 64 sommets au moins, dont chaque membre connaît tous les autres, au nombre de 63 au moins.
