Th´eorie des ensembles TD 3 M2 LMFI - automne 2019
TD 3 – Cardinaux
Exercice 1. Une autre version de l’axiome du choix.
On travaille dans ZF. Soit xun ensemble. On rappelle que h(x) est le plus petit ordinal qui ne s’injecte pas dansx.
1) Montrer queh(x) est subpotent `a P(P(x×x)).
2) Montrer que l’´enonc´e suivant est ´equivalent `a l’axiome du choix :
Sia etb sont deux ensembles alors ou bienaest subpotent `ab ou bienb est subpotent `aa.
Exercice 2. Et une autre !
Le but de cet exercice est de montrer (dansZF) que l’´enonc´e
(∗) Tout ensemble infiniX est ´equipotent `a son carr´e cart´esienX×X.
implique l’axiome du choix. SiA est un ensemble, on noteh(A) le plus petit ordinal qui ne s’injecte pas dans A. SoitAun ensemble tel que (A∪h(A))×(A∪h(A)) est ´equipotent `a A∪h(A). En travaillant dansZF: 1) Montrer qu’il existe une injectionπ:A×h(A)→A∪h(A).
2) Montrer que pour touta∈A il existeξ∈h(A) tel queπ(a, ξ)∈h(A)\A.
3) En d´eduire l’existence d’une injection deAdansh(A).
4) En conclure que (∗) implique l’axiome du choix.
Exercice 3. Ensembles de petites parties.
Siκest un cardinal etAest un ensemble on notePκ(A) l’ensemble des parties deAayantκ´el´ements etP<κ(A) l’ensemble des parties deAayant strictement moins deκ´el´emenents.
1) Montrer que pour tout cardinal infiniκ,|P<ℵ0(κ)|=κ.
2) Montrer que pour tout cardinal infiniκ,|Pκ(κ)|= 2κ.
3) Montrer queλ6κsont deux cardinaux, avecκinfini, alors|Pλ(κ)|=κλ. Exercice 4. Apr`es aleph, beth.
On d´efinit la suite de cardinauxiαpar induction : i0=ℵ0
iα+1= 2iα iα= sup
β<αiβ pourαlimite.
On rappelle qu’un cardinalκest ditfortement limite si 2λ< κpour toutλ < κ.
1) Montrer qu’un cardinal non d´enombrable κest fortement limite si et seulement s’il existe un ordinal limite αtel que κ=iα.
2) Montrer qu’il existeα >0 tel queℵα=iα. Exercice 5. Formule de Hausdorff.
1) Montrer que siµest r´egulier alors pour tout cardinalκ < µl’ensemble des applications deκdansµest ´egal
`
a l’union S
γ<µ
γκdes ensembles d’applications deκdansγ avecγ < µ.
2) Montrer la formule de Hausdorff :ℵℵα+1β =ℵℵαβ· ℵα+1. En d´eduire que pour tout entiern,ℵℵnβ = 2ℵβ · ℵn. Exercice 6. Une cons´equence de l’hypoth`ese g´en´eralis´ee du continu.
On supposel’hypoth`ese g´en´eralis´ee du continu, i.e., 2κ=κ+pour tout cardinal infiniκ. Soitλun cardinal infini etµun cardinal non nul. Montrer que
λµ=
λ si µ <cof(λ) 2λ si cof(λ)6µ6λ 2µ si λ < µ.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
Th´eorie des ensembles TD 3 M2 LMFI - automne 2019 Exercice 7. Un peu de cofinalit´e
Montrer que siκest un cardinal infini, alors cof(2κ)> κ.
Exercice 8. Deux ensembles stationnaires disjoints
(1) Montrer que l’ensemble Clim={α∈ω1:αlimite} est un club.
(2) On fixe pour chaque α∈ω1 limite une suite strictement croissante (γn,α) telle queα= sup
n∈ω
γn,α. (a) Montrer qu’il existe pour chaquenun ordinalγnet un ensemble stationnaireSn tel que pour tout
α∈Sn limite, on aitγn,α=γn. On fixe d´esormais de telsSn etγn. (b) Montrer que l’intersectionT
n∈ωSn contient au plus un ordinal limite.
(c) En d´eduire l’existence d’unn∈ω tel queω1\Sn soit stationnaire.
Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques
