E131– Le jeu des suites [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Le jeu des séquences se joue avec n ≥3 personnes. Chaque personne écrit sa propre suite de nombres réels selon la règle suivante: pour commencer, elle choisit un nombre réel > 0 comme premier terme de sa suite qu'elle fait connaître à tous les participants puis elle calcule le second terme en faisant la somme des termes choisis précédemment par les n ‒ 1 personnes.Ce second terme est également annoncé à tous. Et ainsi de suite, au k-ième tour, elle calcule le k-ième terme de sa suite en calculant la somme des termes calculés par les n ‒ 1 personnes au tour précédent.
Q₁ Zig entouré de ses sept camarades commence par écrire un entier N puis au tour suivant il écrit à nouveau un entier > 1. Quelques tours plus tard,il il obtient le nombre entier 2017. Calculer N et en déduire le 7-ième terme de la suite de Zig.
Q₂ Certains camarades de Zig en nombre p quittent le groupe. Tous ceux qui restent recommencent le jeu des suites. Zig choisit à nouveau l'entier N retenu dans le premier jeu. Il constate qu'au deuxième tour c'est le même entier que précédemment et quelques tours plus tard l'entier 2017 fait à nouveau son apparition. En déduire p.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁
Avec n personnes,on désigne par uk le k-ième terme obtenu par Zig et Sk la somme des termes obtenues par ces n personnes au kième tour.
On a les égalités uk-1 = Sk-2 ‒ uk-2, Sk-1 = (n ‒ 1)Sk-2.
D'où uk = Sk-1 ‒ uk-1 = (n ‒ 1)Sk-2 ‒ Sk-2 ‒ uk-2 = (n ‒ 2)Sk-2 ‒ uk-2 qui donne la relation de récurrence:
uk = (n ‒ 2)uk-1 + (n ‒ 1)uk-2 avec u₁ = N et u₂ = nombre entier.
On en déduit u₃ = 6u₂ + 7u₁ . On exclut la relation u₃ = 2017 car il est écrit "quelques tours plus tard" au pluriel.
Puis on essaie u₄ = 43u₂ + 42u₁ = 2017. Comme u₂ > 1, l'unique solution est obtenue pour u₁= 4 et u₂ = 43.
L'équation u₅= 6u₄ + 7u₃ = 300u₂ + 301u₁ = 2017 est sans solution. A fortiori pour tout n° de tour k > 5.
Conclusion N = 4 et u₃ = 6*43 + 7*4 = 286, u₄ = 2017, u₅ = 14104, u₆ = 98743 et u₇ = 691186
Q₂
On recherche l'entier n < 8 et l'entier k > 4 tel que uk = (n ‒ 2)uk-1 + (n ‒ 1)uk-2 = 2017 avec u₁= 4 et u₂ = 43 Une solution unique existe pour n = 3 et k = 8.
D'où p = 5
