E131 - Le jeu des suites

Problème proposé par Raymond Bloch

Le jeu des séquences se joue avec n ≥3 personnes. Chaque personne écrit sa propre suite de nombres réels selon la règle suivante: pour commencer, elle choisit un nombre réel > 0 comme premier terme de sa suite qu'elle fait connaître à tous les participants puis elle calcule le second terme en faisant la somme des termes choisis précédemment par les n ‒ 1 personnes.Ce second terme est également annoncé à tous. Et ainsi de suite, au k-ième tour, elle calcule le k-ième terme de sa suite en calculant la somme des termes calculés par les n ‒ 1 personnes au tour précédent.

Q₁ Zig entouré de ses sept camarades commence par écrire un entier N puis au tour suivant il écrit à nouveau un entier. Quelques tours plus tard, il obtient le nombre entier 2017. Calculer N et en déduire le 7-ième terme de la suite de Zig.

Q₂ Certains camarades de Zig en nombre p quittent le groupe. Tous ceux qui restent recommencent le jeu des suites. Zig choisit à nouveau l'entier N retenu dans le premier jeu. Il constate qu'au deuxième tour c'est le même entier que précédemment et quelques tours plus tard l'entier 2017 fait à nouveau son apparition. En déduire p.

Si S est la somme des nombres choisis à la première étape, le nombre annoncé à la deuxième étape est S-N, puis (n-2)S+N, et plus généralement, à la k-ième étape, par une récurrence immédiate : ((n-1)

+(-1)

)S/n+(-1)

N

Q

: Pour n=8, la suite choisie est : N, S-N, 6S+N, 43S-N, 300S+N, 2101S-N, 14706S+N, ...

N et S sont entiers, avec N<S et 2017 n’est pas atteint avant la quatrième étape : la seule possibilité est 2017=47*43-4 soit N=4, S=47, et le 7ème nombre est 691186.

Q

: On a également 43=129/3=(2

+1)/3, donc avec n=3, on obtiendra 2017 à la huitième étape avec les mêmes valeurs pour N et S. Donc p=5.

E131 - Le jeu des suites