NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 3 - 1 h ECE 1
3 avril 2012
On considère la suiteudénie par u0= 5 et ∀n∈N, un+1= 1 2
√1 +un. On a donc un+1=f(un), oùf est la fonction dénie surR∗+ par f(x) = 1
2
√1 +x. On admet que la suiteuest convergente, de limiteL.
L'objectif est de déterminer une valeur approchée deLà l'aide de l'outil informatique.
On admet pour cela que ∀n∈N, |un−L| ≤ 1 4n.
1. Citer le théorème qui est à l'origine de l'inégalité précédente.
2. Créer un programme : comportant la fonctionf;
permettant de calculer une valeur approchée deL; avec une précisiona >0 donnée par l'utilisateur.
3. Donner une valeur approchée deLà 10−7 près. Combien de termes de la suite ont-ils été calculés ? 4. Calculer la valeur exacte deL.
5. Quelle est la complexité du programme s'il y a10passages dans la boucle WHILE ? (L'application de la fonction racine carrée est considérée comme une opération.)
1
NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 3 - 1 h ECE 1
10 avril 2012
On considère la suiteudénie par u0= 4 et ∀n∈N, un+1= u2n+ 5 3un .
On a donc un+1=g(un), oùg est la fonction dénie surR∗+ par g(x) =x2+ 5 3x . On admet que la suiteuest convergente, de limiteL.
L'objectif est de déterminer une valeur approchée deLà l'aide de l'outil informatique.
On admet pour cela que ∀n∈N, |un−L| ≤
5
12 n
.
1. Citer le théorème qui est à l'origine de l'inégalité précédente.
2. Créer un programme : comportant la fonctiong;
permettant de calculer une valeur approchée deL; avec une précisione >0 donnée par l'utilisateur.
3. Donner une valeur approchée deLà 10−8 près. Combien de termes de la suite ont-ils été calculés ? 4. Calculer la valeur exacte deL.
5. Quelle est la complexité du programme s'il y a20passages dans la boucle WHILE ? (L'application de la fonction carré est considérée comme une opération.)
2
