NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 4 - 1h ECE 1 - A 23 avril 2013
La méthode de dichotomie permet de résoudre des équations.
On répète plusieurs fois successivement la procédure suivante : Si on sait que la solution se trouve dans un intervalle]a;b[, alors :
On "coupe cet intervalle en deux" en prenantc∈]a;b[.
On élimine un des deux intervalles, entre ]a;c[et]c;b[. (en utilisant une certaine fonction) On réitère cette opération.
La longueur de l'intervalle diminue donc au fur et à mesure que l'on répète ceci, ce qui nous permet d'obtenir un encadrement de la solution avec la précision voulue.
On considère l'équation (E) :x3−x2−8x−4 = 0.
L'objectif est de la résoudre numériquement à l'aide de la méthode par dichotomie.
1. Combien d'itérations ( ie de répétitions de la procédure) sont nécessaires an de diviser la longueur de l'intervalle par1000? Justier.
2. Créer un programme mettant en oeuvre la méthode. (Ce programme contiendra notamment une fonction.) 3. Trouver, à l'aide du programme précédent, une valeur approchée au millième de chacune (il y en a plus d'une)
des solutions de(E). Vous expliquerez précisément votre démarche.
4. Déterminer la complexité du programme construit si l'on suppose que la procédure de dichotomie est répétée10 fois.
5. Vérication du résultat : résoudre à la main l'équation(E). (On commencera par chercher les racines évidentes, puis on factorisera.)
1
NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 4 - 1h ECE 1 - B 14 mai 2013
Soitf une fonction continue sur un intervalle[a;b]. On rappelle qu'une valeur approchée de l'intégrale I =
Z b
a
f(t)dt peut être obtenue au moyen du calcul de la somme suivante : Sn= b−a
n
n
X
k=1
f
a+kb−a n
.
On admet que l'erreur vérie |I−Sn| ≤ M(b−a)2
n , où M = max
t∈[a;b]|f0(t)|. On considère l'intégrale I=
Z 4
1
(t3−6t2+ 5)dt, et on pose f(t) =t3−6t2+ 5. 1. Expliquer le principe de la méthode des rectangles.
2. Vérier que M = max
t∈[1;4]|f0(t)|= 12.
3. En déduire un entiernpermettant d'obtenir une valeur approchée deI au centième.
4. Créer un programme mettant en oeuvre la méthode. (Ce programme contiendra notamment une fonction.) 5. Déterminer la complexité du programme construit.
6. Vérication du résultat : calculer à la main l'intégraleI.
2
![Dans le cas d'une fonction continue et négative sur un intervalle [a ;b] alors : b b b ∫a f x dx](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)