Durée : 1h – Pas de Calculatrice – Pas de document Test 01 2009-2010
Test 01 – TS01-TS02
1. Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de
2 2
1 1 x x
x
− a + .
2. Déterminer la limite en +∞ de
3 2
cos( ) x 1 xa x − .
3. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition, avec
( )
3 4
3 1
( )
1
x x
f x x
= − +
− . Déterminer les asymptotes éventuelles de Cf.
4. Soit f définie par
sin( )
( ) ]0; ]
( ) ] ; [
f x x si x
x f x x si x
π
π π
= ∈
= − ∈ +∞
. f est-elle continue en π ?
5. Déterminer
0
2 1 1
lim
x
x
→ x
+ − .
6. Montrer que la droite d’équation D y: =2x est asymptote en +∞ à la courbe représentative de f, définie par f x( )= 4x2+1.
Préciser les positions relatives de C et D.
7. Déterminer les limites de f x( ) xsin 1 x
=
aux bornes de son domaine.
8. Déterminer la limite de la suite u de terme général n 1 0,1 0, 01 ... 0, 0...01{
n zéros
u = + + + + .
1..Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de x →→→→ x² - 1
x² + 1 . f(x) = x² - 1
x² + 1 = g(x) avec g(x) = x² - 1 x² + 1 quand x → ± ∞, g(x) se comporte comme x²/x² c'est à dire 1 et limX→1 X = 1
on en déduit que limx→-∞ f(x) = 1 et limx→+∞ f(x) = 1
2..Déterminer la limite en +∞ de x →→→→ cos(x3) x² − 1.
quand x → +∞, cos(x3) n’a pas de limite mais −1 ≤ cos(x3) ≤ 1 donc -1
x² ≤cos(x3) x² ≤ 1
x² car x → + ∞ et donc x² > 0
x→+∞lim -1
x² = limx→+∞ 1
x² = 0 donc d’après le théorème des gendarmes, limx→+∞cos(x3) x² = 0 d’où limx→+∞cos(x3)
x² − 1 = −1
3..Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition, avec f(x) = x3 - 3x + 1 (x - 1)4 . Déterminer les asymptotes éventuelles de CCCCf.
f(x) existe quand x – 1 ≠ 0 donc Df = ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[ limites en –∞ et +∞ : f(x) prend la forme indéterminée « ∞/∞ »
mais f étant une fonction rationnelle, f(x) a même limite que x3/x4 c'est à dire 1/x et donc limx→-∞ f(x) = 0 et limx→+∞ f(x) = 0
on en déduit que l’axe des abscisses est asymptote à Cf en –∞ et +∞. limite en 1 : x3 – 3x + 1 → −1 et (x – 1)4 → 0+ donc limx→1 f(x) = −∞
on en déduit que la droite d’équation x = 1 est asymptote à Cf
4..Soit f définie par
f(x) = sin(x)
x si x ∈∈∈∈]0 , ππππ]
x - ππππ si x ∈∈∈∈] ππππ , +∞∞∞∞[ . f est-elle continue enππππ ? f est continue en π ⇔ limx→π f(x) = f(π) = sinπ
π = 0 or limx→π- f(x) = limx→π-sinx
x = 0 et limx→π+ f(x) = limx→π+ x – π = 0 donc f est continue en π.
5..Déterminer : limx→→→→0 2x + 1 - 1
x . Posons f(x) = 2x + 1 - 1
x
quand x → 0, f(x) prend la forme indéterminée « 0/0 »
mais, f(x) = 2x + 1 - 1
x × 2x + 1 + 1
2x + 1 + 1 = 2x + 1 - 1
x( 2x + 1 + 1) = 2 2x + 1 + 1 quand x → 0, 2x + 1 + 1 → 2 donc limx→0 f(x) = 1
autre méthode : avec g(x) = 2x + 1 on a limx→0 2x + 1 - 1
x = limx→0g(x) - g(0)
x - 0 = g’(0) = 1
car g est dérivable sur ]−1/2 ; +∞[ donc en 0 et g’(x) = 2
2 2x + 1 = 1 2x + 1
6..Montrer que la droite D, d’équation y = 2x est asymptote en +∞ à la courbe représentative de f, définie par f(x) = 4x² + 1 .
D est asymptote à Cf en +∞ à condition que limx→+∞ f(x) – 2x = 0
quand x → +∞, f(x) – 2x prend la forme indéterminée « ∞ − ∞ »
mais : f(x) – 2x = ( 4x² + 1 – 2x)× 4x² + 1 + 2x
4x² + 1 + 2x = 4x² + 1 - 4x²
4x² + 1 + 2x = 1
4x² + 1 + 2x quand x → +∞, 4x² + 1 → +∞ et 2x → +∞ donc par addition, 4x² + 1 + 2x → +∞ on en déduit que limx→+∞ f(x) – 2x = 0
Préciser les positions relatives de C et D.
Les positions relatives de C et D sont données par le signe de f(x) – 2x.
quand x < 0 : – 2x > 0 et comme f(x) > 0, f(x) – 2x > 0, C est alors au dessus de D quand x ≥ 0 : on vient de voir que : f(x) – 2x = 1
4x² + 1 + 2x il est évident que 1
4x² + 1 + 2x > 0, C est alors au dessus de D.
autre méthode : montrons que f(x) – 2x > 0 f(x) – 2x > 0 ⇔ f(x) > 2x
quand x < 0, l’inégalité est évidente …
quand x ≥ 0, f(x) > 2x ⇔ 4x² + 1 > 2x ⇔ 4x² + 1 > 4x² ⇔ 1 > 0 ce qui est toujours vrai.
7..Déterminer les limites de f(x) = x sin(1
x ) aux bornes de son domaine.
f(x) existe pour x ≠ 0 donc Df = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ limites en 0 :
quand x → 0, 1/x →∞ et sin(1/x) n’a pas de limite.
mais : −1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 c'est à dire |sin(1/x)| ≤ 1
on a alors 0 ≤ |f(x)| ≤ |x| (en multipliant l’inégalité précédente par |x|) limx→0 |x| = 0 donc limx→0 |f(x)| = 0 d’où limx→0 f(x) = 0
limites en ±∞ :
quand x → ± ∞, 1/x → 0 donc sin(1/x) → 0 et f(x) prend la forme indéterminée « ∞× 0 » posons X = 1/x, on a alors : x sin(1/x) = sinX
X et quand x → ± ∞, X → 0 limX→0 sinX
X = limX→0sinX - sin0
X - 0 = sin’(0) = cos(0) = 1 car la fonction sin est dérivable sur IR donc en 0.
on en déduit que limx→-∞ f(x) = 1 et limx→+∞ f(x) = 1
8..Déterminer la limite de la suite u de terme général n 1 0,1 0, 01 ... 0, 0...01{
n zéros
u = + + + + .
un = 1 + 10−1 + 10−2 + … + 10−(n+1)
un est la somme de n + 2 termes consécutifs de la suite géométrique de raison 0,1 et de 1ier terme 1.
donc un = 1 × 1 - 0,1(n+2)
1 - 0,1 = 1 - 0,1(n+2) 0,9 = 10
9 (1 – 0,1(n+2)) 0 < 0,1 < 1 donc limn→+∞ 0,1n+2 = 0 et limn→+∞ un = 10/9
