09/10

L.S.Marsa Elriadh

Série 5

M : Zribi

4

Sc

1

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On considère la suite (U_n) définie par : U₀ =3;U_n+1 = 2 1 + U_n

1) Démontrer par récurrence que, pour tout n  IN , on a : 0  U_n  3 2) On considère la suite (V_n) définie, pour tout n  IN , par : V_n = U_n – 1

U_n + 2 Démontrer que la suite (V_n) est géométrique.

3) Exprimer V_n en fonction de n. En déduire la limite de la suite (V_n).

4) En déduire la limite de la suite (U_n).

Exercice 2 :

On définit la suite (u_n) par :







 

 



 , N

4 2 3 0

1 0

u n u u u

n n n

Soit la fonction f définie sur [0; 1] par :

4 2 ) 3

( 

  x x x f

(C) : Courbe représentative de f () : Droite d’équation y = x

1) a) Construire sur le repère ci-dessus les points de (O;i

) d’abscisses u0, u₁, u₂ et u₃. b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0  u_n 1.

c) Exprimer u_n+1 – u_n en fonction de u_n, en déduire la monotonie de (u_n).

2) On définit la suite (v_n) pour tout entier naturel n par :

2 1



 

n n

n u

v u

a) Démontrer que (v_n) est une suite géométrique que l’on caractérisera.

b) En déduire l’expression de v_n en fonction de n ainsi que la limite de (v_n) quand n tend vers +. c) Exprimer u_n en fonction de v_n et en déduire l’expression de u_n en fonction de n ainsi que la

limite de (u_n) quand n tend vers +.

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4

Sc

2

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Soit la suite (U_n) est définie sur IN par U₀ = a et la relation : U_n+1 = 6 + U_n

2 + U_n , avec 0  a  2.

1) Montrer par récurrence que pour tout n , 0  U_n 2.

2) a) Montrer que pour tout entier n : 2 – U_n+1 = 2 – U_n U_n + 2. b) En déduire que pour tout entier n : 0  2 – U_n+1¹

2 (2 – U_n ) 3) Montrer par récurrence que pour tout entier n : 0  2 – U_n  ¹ 2^n–1 En déduire la limite de la suite (U_n).

Exercice 4 :

Soit u la suite définie par : u₀ = 12 et u_n+1 = 3 + 4

1 u_n pour tout nN.

1) Tracer dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm) les droites D et  d’équations respectives : y =

4

1x + 3 et y = x. En déduire une construction des 3 premiers termes de la suite u

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 4  u_n  12.

3) Etudier la monotonie de u.

4) Soit v la suite définie par : v_n = u_n – 4 pour tout nN.

a) Démontrer que v est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b) Déterminer une expression de v_n en fonction de n et en déduire celle de u_n en fonction de n.

c) Justifier que la suite v est convergente et en déduire la convergence de la suite u.

5) Soit S la suite définie par : S_n = u₀ + u₁ + … + u_n pour tout nN.

a) Déterminer une expression de S_n en fonction de n.

b) Etudier la convergence de la suite S.

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4

Sc

3

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On considère la fonction f définie sur R\{-2}

par :

2 3 6 )

(    x x

f

et u la suite définie sur N par :











 pour tout 0 .

8

1 0

n )

f(u u

u

n n

1°) Sur le graphique ci-contre, sont tracées la courbe C_f représentative de f et la droite  d’équation y = x.

Construire, en justifiant, les 3 premiers termes de la suite u.

2°) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 1  u_n 8.

3°) Démontrer que, pour tout entier naturel n,on a :

2 ) 1 (

1 

 

 

n n n n

n u

u u u

u

En déduire le sens de variation de la suite u.

4°) On considère la suite v définie pour tout n de N par :

n

n u

v 1 1

a) Démontrer que la suite v est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b) Exprimer, pour tout entier naturel n, l’expression de v_n en fonction de n.



Cf

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4

Sc

4

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d) Déterminer la limite de la suite v et en déduire celle de la suite u.