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L.S.Marsa Elriadh

Série 2

M : Zribi

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Sc

Exercices

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Exercice 1:

On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O,u,v) les points A, B, C, D

d’affixes respectives z_A 12i,z_B 1 3i,z_C 1 3i,z_D 12i. 1) Placer A, B, C, D et préciser la nature du quadrilatère ABCD.

2) Vérifier que i 3

z z

B A

B

D 



 . Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (BD) ?

3) Prouver que les quatre points A, B, C, D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Tracer .

Exercice 2:

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal (O; ^u , ^v ) (unité graphique : 2 cm) 1) Déterminer et représenter dans le plan P, l’ensemble D des points M dont l’affixe z

vérifie : ziz0.

2) Au point M d’affixe zxiy (x et y désignant des nombres réels distincts), on fait correspondre le point M d’affixe z définie par :

z i z

i z z z

f

z 



 

 ( ) .

a)Calculer le module de f(i).

b)Résoudre l'équation f(z)i.Ecrire la solution sous forme algébrique.

3) a)Calculer les coordonnées du point M en fonction de celles du point M.

b)Déterminer et représenter dans le plan P l’ensemble des points M tels que z soit un imaginaire pur.

Exercice 3:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,u,v)

. On considère les points M, M’ et M’’ d’affixes respectives z, z + i et iz où z est un nombre complexe différent de 0.

1) Caractériser la transformation qui à M associe M’, puis celle qui à M associe M’’.

2) Pour quel nombre z a-t-on M’ = O ? pour quel nombre z a-t-on M ’ = M ’’ ? 3) Dans cette question on suppose z distinct de 0, de –i et de

2 1i

. a) Prouver que les points O, M’ et M’’ sont alignés si et seulement si

iz i z

est réel.

b) On pose x = Re(z) et y = Im(z). Calculer Im 



 



  iz i

z en fonction de x et y.

c) Déterminer et représenter l’ensemble E des points M du plan tels que O, M’ et M’’

soient distincts et alignés.

4) a) Soit A le point d’affixe –i. Exprimer iz

i z

en fonction de AM et OM.

b) Déterminer et représenter l’ensemble F des points du plan tels que OM’M’’ soit un triangle isocèle en O.

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Exercice 4:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,^u ,^v ).

Soit A, B et C les points d'affixes respectives – 4 ; 3 et i.

On appelle f l'application du plan P privé de A dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z (z  −4)associe le point M ' d'affixe z ' définie par : z ' = z − 3

z + 4

1) Placer les points A, B et C sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.

2) a) Déterminer l'affixe du point C' image de C par l'application f.

b) Démontrer que le point C admet un unique antécédent par f, que l'on notera C".

3) Déterminer les affixes des points invariants par f (c'est-à-dire les points M vérifiant f(M)

= M).

4) a) Donner une interprétation géométrique du module de z'.

b) Déterminer et représenter l'ensemble E des points M dont les images par f appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

5) a) Montrer que pour tout complexe z différent de −4, | z' – 1 |  | z + 4 | = 7

b) En déduire que si M décrit un cercle C de centre A et de rayon r, alors son image M' par f appartient à un cercle C ' dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 5:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O, ^u , ^v ) direct.

Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe – i.

Soit f la fonction définie sur IC – {i} par : f(z) = 1– i z z – i . 1) Vérifier que pour tout z de IC – {i}, f(z) = – i + 2

z – i. 2) a) Démontrer que – i n’a pas d’antécédent par f.

b) Déterminer les antécédents de 0 et de i par f .

3) A tout point M différent de A, d’affixe z, on associe le point M ' d’affixe z' tel que z' = f(z).

a) Démontrer que pour tout point M différent de A, le produit des longueurs AM et BM ' est égal à 2 (AM • BM' = 2).

b) Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4, M ' se déplace sur un cercle C ' dont on précisera le centre et le rayon.

4) a) Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z – i soit un nombre réel non nul.

b) Démontrer que lorsque M décrit E, M ' se déplace sur une droite  que l'on précisera.

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5) Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur non nul.