Vendredi 12 Février 2010. NOM : Mathématiques. 1S.
SANS CALCULATRICE.
A faire et rendre sur cette feuille.
I. Compléter le tableau suivant :
x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 8π/3 −5π/4 5π/6 π 7π/6 −11π/4 11π/6 sinx
cosx
II. Ecrire en fonction de sin x ou cos x :
cos(−x) = cos(π − x) = cos(π + x) = cos(−π − x) =
sin(−x) = sin(π − x) = sin(π + x) = sin(−π − x) =
cos(π
2 − x) = cos(π
2 + x) = cos(x − π
2 ) = cos(−π
2 − x) = sin(π
2 − x) = sin(π
2 + x) = sin(x − π
2 ) = sin(−π
2 − x) =
III. x est un réel tel que π/2 < x < π et sin x = 4/5. Déterminer cos x.
IV. Dans (O ; i→; j→) orthonormé positif, u→ et v→ sont deux vecteurs tels que : ||u→ || = 2 ; ( i→ ; u→ ) = − π
3 +2kπ ; ||v→ || = 3 ; ( j→ ; v→ ) = π 6 +2kπ.
1.Montrer que u→ et v→ sont colinéaires et déterminer le réel a tel que v→ = a u→ .
2. déterminer la mesure principale de ( i→ ; v→ )
V. Dans chacun des cas suivant, trouver UN réel a tel que :
1. cos a = - cos(π/8)
sin a = sin(π/8) 2. cos a = - cos(π/9)
sin a = -sin(π/9)
3. cos a = cos(π/4)
sin a = -sin(π/4) 4. cos a = - sin(π/10)
sin a = cos(π/10)
VI. Dans (O ; i→ , j→) orthonormé positif :
1. Déterminer des coordonnées cartésiennes de A(2 ; 5π/6) et B(2 ;− π/3).
2. Déterminer la mesure principale de (OA→ ; OB→ )
3. Déterminer les coordonnées polaires de C( 2 ;− 2 ) et D(− 3 ; −1)
4. Déterminer la mesure principale de (OC→ ; OD→ )
5. Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires du point A’ tel que OA'→ soit le vecteur directement orthogonal à OA→ .
VII. Calculer A = cos² π
8 + cos² 3π
8 + cos² 5π
8 + cos² 7π 8
CORRIGE.
I. Compléter le tableau suivant :
x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 8π/3 −5π/4 5π/6 π 7π/6 −11π/4 11π/6 sinx 0 ½ 2 /2 3 /2 1 3 /2 2 /2 ½ 0 −1/2 − 2 /2 −1/2 cosx 1 3 /2 2 /2 ½ 0 −1/2 − 2 /2 − 3 /2 −1 − 3 /2 − 2 /2 3 /2
II. Ecrire en fonction de sin x ou cos x :
cos(−x) = cos x cos(π − x) = −cosx cos(π + x) = − cosx cos(−π − x) = − cosx
sin(−x) = − sinx sin(π − x) = sinx sin(π + x) = − sinx sin(−π − x) = sinx
cos(π
2 − x) = sinx cos(π
2 + x) = − sinx cos(x − π
2 ) = sinx cos(−π
2 − x) = − sinx sin(π
2 − x) = cosx sin(π
2 + x) = cosx sin(x − π
2 ) = − cosx sin(−π
2 − x) = − cosx III. x est un réel tel que ππππ/2 < x < ππππ et sin x = 4/5. Déterminer cos x.
cos²x = 1 – sin²x = 1 – (4/5)² = 9/25 donc cos x = 3/5 ou cos x = −3/5 π/2 < x < π donc cos x < 0 d’où cos x = −3/5
IV. Dans (O ; i→→→→; j→→→→) orthonormé positif, u→→→→ et v→→→→ sont deux vecteurs tels que : ||u→→→→ || = 2 ; ( i→→→→ ; u→→→→ ) = − ππππ
3 +2kππππ ; ||v→→→→ || = 3 ; ( j→→→→ ; v→→→→ ) = ππππ 6 +2kππππ.
1. Montrer que u→→→→ et v→→→→ sont colinéaires et déterminer le réel a tel que v→→→→ = a u→→→→ . (u→ ; v→) = (u→ ; i→ ) + ( i→ ; j→ ) + ( j→ ; v→) + 2kπ
= − ( i→ ; u→) + ( i→ ; j→ ) + ( j→ ; v→) + 2kπ
= π/3 + π/2 + π/6 + 2kπ
= π + 2kπ donc u→ et v→ sont colinéaires et de sens contraires donc v→ = a u→ avec a < 0
→v
= a u→ donc ||v→ || = |a| × ||u→ || c'est à dire 3 = −2a (car a < 0) et donc a = −3/2 et v→ = (−3/2)u→ 2. déterminer la mesure principale de ( i→→→→ ; v→→→→ )
( i→ ; v→) = ( i→ ; j→ ) + ( j→ ; v→) + 2kπ
= π/2 + π/6 + 2kπ
= 2π/3 + 2kπ 2π/3 est une mesure principale car –π < 2π/3 ≤π V. Dans chacun des cas suivant, trouver UN réel a tel que :
Les réponses sont dans la question II…
1. cos a = - cos(π/8)
sin a = sin(π/8) a = π − π/8 = 7π/8 2.
cos a = - cos(π/9)
sin a = -sin(π/9) a = π + π/9 = 10π/9
3. cos a = cos(π/4)
sin a = -sin(π/4) a = −π/4 4.
cos a = - sin(π/10)
sin a = cos(π/10) a = π/2 + π/10 = 6π/10 = 3π/5 VI. Dans (O ; i→→→→ , j→→→→) orthonormé positif :
1. Déterminer des coordonnées cartésiennes de A(2 ; 5ππππ/6) et B(2 ;− ππππ/3).
xA = 2 cos(5π/6) = - 3 yA = 2 sin(5π/6) = 1
xB = 2 cos(-π/3) = 1 yb = 2 sin(-π/3) = - 3 2. Déterminer la mesure principale de (OA→→→→ ; OB→→→→ )
(OA→ ; OB→ ) = (OA→ ; i→ ) + ( i→ ; OB→ ) + 2kπ
= − ( i→ ; OA→ ) + ( i→ ; OB→ ) + 2kπ
= − 5π/6 – π/3 + 2kπ = −7π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ 5π/6 est une mesure principale car –π < 5π/6 ≤ π
3. Déterminer les coordonnées polaires de C( 2 ;− 2 ) et D(− 3 ; −−−−1) Soit r et θ les coordonnées polaires de C : r = OC = 2 et
2 = 2 cos θ - 2 = 2 sin θ d’où
cos θ = 2/2
sin θ = - 2/2 et donc θ = −π/4
Soit r et θ les coordonnées polaires de D : r = OD = 2 et
- 3 = 2 cos θ - 1 = 2 sin θ d’où
cos θ = - 3/2
sin θ = -1/2 et donc θ = −5π/6
4. Déterminer la mesure principale de (OC→→→→ ; OD→→→→ )
(OC→ ; OD→ ) = (OC→ ; i→ ) + ( i→ ; OD→ ) + 2kπ
= − ( i→ ; OC→ ) + ( i→ ; OD→ ) + 2kπ
= π/4 – 5π/6 + 2kπ = −7π/12 + 2kπ −7π/12 est une mesure principale car –π < −7π/12 ≤ π
5. Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires du point A’ tel que OA'→→→→ soit le vecteur directement orthogonal à OA→→→→ .
cours :
si u→ a pour coordonnées cartésiennes (a ; b) alors le vecteur v→ directement orthogonal à u→ a pour coordonnées (−b ; a) OA→ a pour coordonnées cartésiennes (− 3 ; 1) donc celles de OA'→ sont (−1 ; − 3 )
cours :
le vecteur v→ directement orthogonal à u→ est le vecteur tel que ||v→|| = ||u→|| et (u→ ; v→) = π/2 + 2kπ. OA→ a pour coordonnées polaires (2 ; 5π/6) donc celles de OA'→ sont (2 ; 5π/6 + π/2) soit (2 ; 4π/3)
VII. Calculer A = cos² ππππ
8 + cos² 3ππππ
8 + cos² 5ππππ
8 + cos² 7ππππ 8
3π/8 = π/ 2 – π/8 donc cos (3π/8) = sin(π/8) et cos²(3π/8) = sin²(π/8) 5π/8 = π/2 + π/8 donc cos (5π/8) = − sin(π/8) et cos²(5π/8) = sin²(π/8) 7π/8 = π − π/8 donc cos (7π/8) = − cos(π/8) et cos²(7π/8) = cos²(π/8) On a alors A = 2(cos²(π/8) + sin²(π/8)) = 2
