Vendredi 6 Février 2009. NOM : Mathématiques. 1S1.
SANS CALCULATRICE.
A faire et rendre sur cette feuille.
I. Compléter le tableau suivant :
x π/6 π/4 π/3 π/2 −2π/3 3π/4 −5π/6 π 7π/4 26π/3 19π/6 sinx
cosx
II. Ecrire en fonction de sin x ou cos x :
cos(−x) = cos(π − x) = cos(π + x) = cos(−π − x) =
sin(−x) = sin(π − x) = sin(π + x) = sin(−π − x) =
cos(π
2 − x) = cos(π
2 + x) = cos(x − π
2 ) = cos(−π
2 − x) = sin(π
2 − x) = sin(π
2 + x) = sin(x − π
2 ) = sin(−π
2 − x) =
III. x est un réel tel que −π/2 < x < 0 et cos x = 4/5. Déterminer sin x.
IV. Dans (O ; i→; j→) orthonormé positif, u→ et v→ sont deux vecteurs tels que : ||u→ || = 2 ; ( i→ ; u→ ) = π
3 +2kπ ; ||v→ || = 3 ; ( j→ ; v→ ) = 5π 6 +2kπ.
1.Montrer que u→ et v→ sont colinéaires et déterminer le réel a tel que v→ = a u→ .
2. déterminer la mesure principale de ( i→ ; v→ )
V. Dans chacun des cas suivant, trouver UN réel a tel que :
1. cos a = - cos(π/8)
sin a = sin(π/8) 2. cos a = - cos(π/9)
sin a = -sin(π/9)
3. cos a = cos(π/4)
sin a = -sin(π/4) 4. cos a = sin(π/12)
sin a = cos(π/12)
VI. Dans (O ; i→ ; j→) orthonormé positif :
1. Déterminer des coordonnées cartésiennes de A(3 ; −5π/6) et B(2 ; π/3).
2. Déterminer la mesure principale de (OA→ ; OB→ )
3. Déterminer les coordonnées polaires de C(− 2 2 ;2 2 ) et D( 3 ; −1)
4. Déterminer la mesure principale de (OC→ ; OD→ )
5. Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires du point A’ tel que OA'→ soit le vecteur directement orthogonal à OA→ .
VII. Calculer A = cos π
12 + cos 5π
12 + cos 7π
12 +cos 11π 12
Vendredi 6 Février 2009. Corrigé.
I. Compléter le tableau suivant :
x π/6 π/4 π/3 π/2 −2π/3 3π/4 −5π/6 π 7π/4 26π/3 19π/6
sinx 1/2 2 /2 3 /2 1 − 3 /2 2 /2 −1/2 0 − 2 /2 3 /2 −1/2
cosx 3 /2 2 /2 1/2 0 −1/2 − 2 /2 − 3 /2 −1 2 /2 −1/2 − 3 /2
II. Ecrire en fonction de sin x ou cos x :
cos(−x) = cosx cos(π − x) = −cosx cos(π + x) = − cosx cos(−π − x) = −cosx
sin(−x) = − sinx sin(π − x) = sinx sin(π + x) = −sinx sin(−π − x) = sinx
cos(π
2 − x) = sinx cos(π
2 + x) = −sinx cos(x − π
2 ) = sinx cos(−π
2 − x) = −sinx sin(π
2 − x) = cosx sin(π
2 + x) = cosx sin(x − π
2 ) = −cosx sin(−π
2 − x) = −cosx
III. x est un réel tel que −ππππ/2 < x < 0 et cos x = 4/5. Déterminer sin x.
sin²x = 1 – cos²x = 1 – 16/24 = 9/25 donc sinx = 3/5 ou sinx = −3/5 mais −π/2 < x < 0 donc sinx < 0 d’où sinx = − 3/5
IV. Dans (O ; i→→→→; j→→→→) orthonormé positif, u→→→→ et v→→→→ sont deux vecteurs tels que : ||u→→→→ || = 2 ; ( i→→→→ ; u→→→→ ) = ππππ
3 +2kππππ ; ||v→→→→ || = 3 ; ( j→→→→ ; v→→→→ ) = 5ππππ 6 +2kππππ.
1. Montrer que u→→→→ et v→→→→ sont colinéaires et déterminer le réel a tel que v→→→→ = a u→→→→ . (u→ ; v→ ) = (u→ ; i→ ) + ( i→ ; j→ ) + ( j→ ; v→ ) +
2kπ
= − ( i→ ; u→ ) + ( i→ ; j→ ) + ( j→ ; v→ ) +
2kπ
= −
π3 + π 2 + 5π6 +
2kπ
= -2π + 3π + 5π
6
+2k
π = π +2k
π ce qui prouve que u→ et v→ sont colinéaires et de sens contraires donc il existe un réel a négatif tel que v→ = a u→or ||v→ || = || a u→ || ⇔ ||v→ || = |a| × || u→ || ⇔ ||v→ || = −a || u→ || (puisque a est négatif) ⇔ 3 = −2a ⇔ a = −3/2 donc v→ = (−3/2)u→ .
2. déterminer la mesure principale de ( i→→→→ ; v→→→→ ) ( i→ ; v→ ) = ( i→ ; j→ ) + ( j→ ;v→ ) +
2kπ
= π 2 + 5π
6 +
2k
π= 8π
6 +
2k
π = 4π3 +2k
π or 4π3 = 6π - 2π3 = 2π − 2π
3 et − 2π
3 ∈ ]−π ; π]
donc la mesure principale de ( i→ ; v→ ) est − 2π 3 V. Dans chacun des cas suivant, trouver UN réel a tel que :
Il suffit de se référer au II.
1. cos a = - cos(π/8)
sin a = sin(π/8) a = π − π/8 = 7π/8 2. cos a = - cos(π/9)
sin a = -sin(π/9) a = π/9 – π = −8π/9
3. cos a = cos(π/4)
sin a = -sin(π/4) a = −π/4 4. cos a = sin(π/12)
sin a = cos(π/12) a = π/2 – π/12 = 5π/12
VI. Dans (O ; i→→→→ ; j→→→→) orthonormé positif :
1. Déterminer des coordonnées cartésiennes de A(3 ; −5ππππ/6) et B(2 ; ππππ/3).
xA = 3 cos(-5π/6) = 3(- 3/2) = -3 3/2 yA = 3 sin(-5π/6) = 3(-1/2) = -3/2
xB = 2 cos(π/3) = 2(1/2) = 1 yB = 2 sin(π/3) = 2( 3/2) = 3 2. Déterminer la mesure principale de (OA→→→→ ; OB→→→→ )
On sait que ( i→ ; OA→ ) = −5π/6 et ( i→ ; OB→ ) = π/3 (OA→ ; OB→ ) = (OA→ , i→ ) + ( i→ ; OB→ ) +
2kπ
= − ( i→ ; OA→ ) + ( i→ ; OB→ ) +
2k
π= 5π/6 + π/3 +
2k
π= 7π/6 +
2kπ
7π/6 = 2π − 5π/6 et −5π/6 ∈ ]−π ; π] donc la mesure principale de (OA→ ; OB→ ) est −5π/6 3. Déterminer les coordonnées polaires de C(−−−− 2 2 ;2 2 ) et D( 3 ; −−−−1)||OC→ || = 8 + 8 = 4.
Notons α une mesure de ( i→ ; OC→ )
-2 2 = 4 cosα 2 2 = 4 sinα donc
cosα = - 2/2
sinα = 2/2 d’où ( i→ ; OC→ ) = α = 3π/4 Donc C a pour coordonnées polaires : 4 et 3π/4
||OD→ || = 3 + 1 = 2.
Notons β une mesure de ( i→ ; OD→ )
3 = 2 cosβ -1 = 2 sinβ donc
cosβ = 3/2
sinβ = -1/2 d’où ( i→ ; OD→ ) = β = −π/6 Donc D a pour coordonnées polaires : 2 et –π/6
4. Déterminer la mesure principale de (OC→→→→ ; OD→→→→ ) (OC→ ; OD→ ) = (OC→ ; i→ ) + ( i→ ; OD→ ) +
2k
π= − ( i→ ; OC→ ) + ( i→ ; OD→ ) +
2k
π= −3π/4 – π/6 + 2kπ
= − 11π/12 + 2kπ or −11π/12
∈ ]−π ; π] donc la mesure principale de (OC→ ; OD→ ) est – 11π/125. Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires du point A’ tel que OA'→→→→ soit le vecteur directement orthogonal à OA→→→→ .
OA'→ est le vecteur directement orthogonal à OA→ donc ||OA'→ || = ||OA→ || = 3 et (OA→ ; OA'→ ) = π/2 ( i→ ; OA'→ ) = ( i→ ; OA→ ) + (OA→ ; OA'→ ) +
2kπ
= −5π/6 + π/2 +
2k
π= −π/3 +
2k
π Les coordonnées polaires de A’ sont donc 3 et −π/3
xA' = 3 cos(-π/3) = 3(1/2) = 3/2
yA' = 3 sin(-π/3) = 3(- 3/2) = -3 3/2 Les coordonnées cartésiennes de A sont 3/2 et −3 3 /2
VII. Calculer A = cos ππππ
12 + cos 5ππππ
12 + cos 7ππππ
12 + cos 11ππππ 12 5π
12 = 6π 12 − π
12 = π 2 − π
12 donc cos 5π 12 = sinπ
12 7π
12 = 6π 12 + π
12 = π 2 + π
12 donc cos 7π
12 = − sinπ 12 11π
12 = π − π
12 donc cos 11π
12 = − cos π 12 On a alors A = cos π
12 + sinπ
12 − sinπ
12 − cos π 12 = 0
